פרדוקס (Paradox) הוא טענה שסותרת את עצמה, אמת שכוללת סתירה.

ברוב המקרים הפרדוקס כולל סתירה פנימית. במקרה כזה נובעים מהפרדוקס עצמו דבר והיפוכו. לעתים כולל הפרדוקס דווקא סתירה חיצונית ואז הוא סותר ידע קודם, או הנחה קודמת. נואמים נעזרים לעתים בפרדוקסים, על מנת לשכנע את השומעים לנטוש את דעותיהם.

דוגמה לסתירה פנימית שיוצרת פרדוקס הוא למשל "פרדוקס השקרן". בבסיס פרדוקס עומד המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" - ננסה לברר... האם המשפט שקר? או שמה המשפט אמת?

ראשית נניח כי המשפט אמת, כלומר, המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" הוא אמת. כעת נבדוק, האם ההנחה שלנו מתקיימת? - כמובן שלא. הנחה שלנו כי המשפט אמת איננה מתקיימת, מכיוון שהיא עומדת בסתירה לטענת המשפט כי המשפט הוא שקר. וקיבלנו סתירה להנחה שלנו כי המשפט אמת.

כעת ננסה להניח שהמשפט שקר, כלומר, המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" הוא שקר. כעת נבדוק, האם ההנחה שלנו מתקיימת? - גם במקרה הזה, ההנחה איננה מתקיימת. הנחנו כי המשפט הוא שקר, וטענת המשפט היא שהמשפט הוא שקר. הרי שקיבלנו סתירה, כי אם המשפט הוא שקר אזי טענת המשפט כי המשפט הוא שקר תהיה טענת אמת, ולכן המשפט יהיה אמת וזה בסתירה להנחה שלנו כי המשפט הוא שקר.

למעשה, לא ניתן לקבוע האם המשפט "משפט זה הוא משפט שקר", הוא משפט אמת או משפט שקר. המשפט הוא משפט פרדוקסלי הסותר את עצמו וזו היא דוגמא ל"פרדוקס השקרן".

המילה פרדוקס באה מיוונית: para = מעבר למשהו ו-doxa = אמונה, דעה. בפילוסופיה יש לא מעט פרדוקסים מפורסמים (כמה מהם ניתן למצוא באאוריקה בתגית "פרדוקסים").


הנה הסבר מושג הפרדוקס:

http://youtu.be/tye7vejSY7k

דילמת האסיר היא פרדוקס קלאסי שהפך לבסיס של תורת המשחקים. הדילמה, שנוסחה ב-1950 על ידי 2 כלכלנים אמריקאיים, ממחישה מצבי יום-יום של התלבטויות חברתיות.

הנה הדוגמה:

נניח ששני פושעים ביצעו פשע ביחד ונחקרים על ידי המשטרה. אם יורשעו, הם יודעים שכל אחד מהם ייכנס לכלא ל-15 שנה. אם לא יהיו בידי המשטרה ראיות, ברור להם שהם יועמדו לדין על עבירה משנית וייכנסו לכלא לשנה אחת כל אחד. בהיעדר ראיות, מציעה המשטרה לכל אחד מהם להעיד נגד חברו ולהכנס לכלא לחמש שנים. אם רק אחד מהם יעיד וחברו לא יעיד כנגדו, זה שהעיד ייצא מיד לחופשי וחברו ייכנס לכלא למשך 15 שנה. מה עליהם לעשות?

הפתרון פשוט - על כל אחד מהם, בלי קשר להתנהגותו חברו, להסכים להעיד. כך הוא ישפר בכל מקרה את מצבו המשפטי. אבל הפרדוקס, הוא שאם שניהם יחליטו לא להעיד, יהיה מצבם הכי טוב (כזכור, הם ייכנסו לכלא לשנה אחת בלבד).

במקרה הזה תורת המשחקים קובעת שהטקטיקה המנצחת היא לבגוד בשותפך לדבר עבירה ולהעיד. כך יהיה הסיכוי לעונש פחות בהרבה.



הפרדוקס מציג כשל בזרימת מידע בין אנשים או גופים, שנאלצים לקבל החלטות, ללא מידע חיוני. דוגמאות לא חסרות לדילמת האסיר בהקשרים היסטוריים ועכשוויים. בתקופת השואה למשל, הודגמה דילמת האסיר שוב ושוב בהתנהגותם של אסירים שהתלבטו אם להימלט ולסכן את חבריהם לפלוגת עבודה או הבלוק.

להבדיל, בעולם העיסקי יש החלטות רבות שאופיין דומה, אך כאן מתלבטות הנהלות של חברות עיסקיות כיצד לנהוג למול החלטות אפשריות של המתחרים, או קבוצות אחרות בקרב בעלי המניות או מקבלי ההחלטות.


הנה דילמת האסיר (מתורגם):

https://youtu.be/t9Lo2fgxWHw


דילמת האסיר מוסברת:

https://youtu.be/emyi4z-O0ls


ועם מעט חיוך, מה קורה כשנכנסים עם הדילמה של האסיר ל... שירותים (עברית):

https://youtu.be/G-jSgLRD_kg

בתחילת המאה ה-20, כשהוא כבר בן 42, גיל לא צעיר למלחין בתקופתו, פרסם אדוארד אלגר את היצירה הסימפונית הראשונה שלו, "וריאציות אניגמה". ביצוע הבכורה שלה בלונדון, בניצוחו של המנצח הגרמני הנודע הנס ריכטר, היה הצלחה אדירה והפכה את אלגר לאחד המלחינים המפורסמים בתולדות בריטניה.

הווריאציות הללו הן שהפכו את אלגר לדמות בינלאומית מפורסמת ולכשרון מוכר כמלחין. המוסיקה הנהדרת שהוא כתב בהן הפכה אותן לאחת היצירות האהובות גם על המאזין הקלאסי וגם על מארגני טקסים בממלכה הגדולה, שהייתה בתקופתו האימפריה הגדולה בעולם.

אבל השבחים הרבים שקצרה יצירתו התזמורתית הראשונה של אלגר "וריאציות אניגמה", היו לא רק בגלל איכותה המוסיקלית. היה שם עוד משהו וכנראה שהרבה מהעניין שהיא מעוררת עד היום קשורה מעט גם בסיבה הזו.

כי מירב תשומת הלב ניתנה לאניגמה של "אניגמה", כלומר התעלומה או החידה של "אניגמה".

הכירו מילה: "אניגמה" באנגלית פירושה חידה. דבר "אנגימטי" הוא דבר חידתי.

ב"ווריאציות אניגמה" מסתתרת חידה שגלומה בה ואיש עדיין לא פתר. החידה היא על אודות הנושא שעליו מבוססות הווריאציות.

בואו נבין רגע מהם נושא ווריאציות.

בכל יצירה של נושא ווריאציות במוסיקה קלאסית מחברים המלחינים וריאציות, כלומר שינויים או פיתוחים מוסיקליים על נושא.

הנושא הוא בעצם מנגינה קיימת שאותה לוקח המלחין ועליה הוא מתבסס, כשהוא מלחין ווריאציות שונות. לכל וריאציה יש סוג או אופי אחר של שינוי בנושא, או של פיתוח שלו.

ב"וריאציות אניגמה" אלגר לא גילה מהו הנושא שלקח ושעליו כתב את הווריאציות.

ההשערות המושמעות מדי פעם לגבי המנגינה הזו התבדו כולן. איש לא הצליח לפענח עד היום מהי המלודיה שעליה מתבססות הווריאציות, או במילים של מוזיקאים - מהו הנושא שעליו מבוססות הווריאציות.

השערות, אגב, לא חסרו. הסברות אודות פתרון החידה הגלומה בווריאציות נעו ממלודיה מתוך סימפוניית "פראג" של מוצרט ועד לנעימות של שופן ואפילו שירי-עם שונים.

היו שטענו גם שבעצם הידידות היא הנושא של הווריאציות, שכן הווריאציות הוקדשו לידידיו וחבריו של אלגר.

היו עוד ניסיונות וניחושים רבים, אך החידה של המנגינה המסתורית החסרה לא נפתרה מעולם. איש לא יודע עד היום מהו הנושא.

כלומר האניגמה, החידה, היא מהי המנגינה שאלגר כתב לה וריאציות יפות ונהדרות כל כך.

ברור, עם זאת, שאלגר השיג את תשומת הלב שרצה להשיג ליצירתו המרשימה. אולי זה הפתרון האמיתי, כי יתכן שמבלי לדעת הוא היה איש שיווק מעולה שזרק טיזר לאוויר, כזה שכולם מדברים עליו עד היום, נמשכים ליצירה הזו כמו במגנט ולא מצליחים לעזוב.


כל וריאציה מוקדשת, כאמור, לאחד מרעיו של אלגר:

1. רעייתו האהובה של אלגר

2. פסנתרן שהיה מנגן עם אלגר בשלישיה ומוצג באופן פארודי

3. חבר של אלגר שהוא בעל קול נמוך והבאסון מייצגו כאן

4. בעל אחוזה הקורא לאורחיו את מקומם וסוגר את הדלת

5. בנו של משורר עם הערות פקחיות וחילופי מצב-רוח

6. ויולנית חובבת המתאמצת לתרגל נגינה מצויינת ב...ויולה

7. פסנתרן תלמיד שמורהו מנסה להשליט סדר בנגינתו

8. גברת חיננית וקלת -דעת

9. נמרוד, הוריאציה המפורסמת מכולן ומוקדשת לחברו הטוב, נמרוד הצייד. הקטע משמש כנעימת אבל בלוויות רשמיות, כמו זו של הנסיכה דיאנה או הנסיך פיליפ ולטקסים המוקדשים לחיילים שנפלו.

10. הנעימה "דורַבֶּלה" העדינה והרוגעת

11. האורגניסט מהכנסיה וכלבו השוחה כנגד הזרם בנהר אליו נפל

12. הצ'לן משלישייתו של אלגר עליה נמנה גם הפסנתרן מוריאציה 2

13. ידידה שהכיר אלגר בספינה בה שט והוא מצטט קטע מ"שלוות הים" של מנדלסון

14. הווראציה בה מתאר המלחין את עצמו - נלחם ומנצח וזוכה לתהילה המגיעה לו


הנה וריאציית נמרוד, המפורסמת מבין וריאציות אניגמה, בניצוח לאונרד ברנשטיין:

https://youtu.be/_8NOVGHJmRs


ביצוע נוסף בניצוחו של דודמל:

https://youtu.be/Cn9oXU8k5qE


וריאציית נמרוד מספר 9 על ידי תזמורת כלי נשיפה בטקס בבריטניה:

https://youtu.be/Aen4P1bCJlw


וריאציות אניגמה במלואן:

https://youtu.be/vLNLvcBmoqo?long=yes

מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.

החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".

אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..


ישנם כללים להעברה:

א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.

ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.


הנה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:

http://youtu.be/BMkOBNZHcIs

התזמורת הסימפונית (Symphonic Orchestra), או בשמה הנרדף תזמורת פילהרמונית, היא תזמורת המנגנת מוסיקה קלאסית, התזמורת הכי נפוצה מבין התזמורות והגדולה מכל התזמורות.

לרוב מנגנת התזמורת הסימפונית מוסיקה קלאסית, מהתקופות השונות בתולדות המוסיקה, החל מתקופת הבארוק ועד למוסיקה בת זמננו.

בתזמורת זו נכללים עשרות או אף מאות נגנים, מ-60 נגנים ויותר. בתזמורת הפילהרמונית הישראלית, למשל, יש כ-100 נגנים.

בתזמורת הסימפונית מיוצגות כל מחלקות המוסיקה (מה שקרוי סקציות). בכל קבוצת כלים כזו יש נגן ראשון, נגן שאחראי לסקציה כולה ומנגן מפעם לפעם קטעי סולו ביצירות שונות.

את התזמורת מנהל מוסיקלית המנצח (ראו בתגית "מנצח תזמורת"). הוא מכין אותה לביצוע ומנצח במהלך הקונצרט. אך בראש התזמורת עומד ומסייע למנצח הכנר הראשי, המכונה מסורתית "קונצרטמייסטר".


#סקציות - מחלקות הכלים
בין קבוצות הכלים התזמורת הסימפונית נכללים:

כלי קשת - נכללים בהם כינור, ויולה, צ'לו וקונטרבס. זו קבוצת הקשתים, הסקציה הגדולה ביותר בתזמורת.

כלי נשיפה ממתכת - חצוצרה, קרן יער, טרומבון, טובה.

כלי נשיפה מעץ - פיקולו, חליל צד, אבוב, קלרנית ובסון.

כלי הקשה - טימפני, צ'לסטה, פעמונים, מצלתיים וקסילופון.


#הרכב התזמורת
הרכבי הכלים משתנים לפי הצורך והיצירה המנוגנת. יש הבדלים ברורים בין יצירות מתקופת הבארוק, כמו המיסות או הפסיון של באך, ליצירות מהתקופה הקלאסית דוגמת העידן ומוצרט ויצירות מהתקופה הרומנטית, כמו אלה של ברליוז, מאהלר ועד ליצירות מהמאה ה-20, כמו אלה של סטרווינסקי או שוסטקוביץ'.

יצירות כמו המיסה בסי מינור או מתאוס פסיון של באך דורשות הרכב שונה של כלים מיצירה של מאהלר, למשל, וביצוע יצירה של יוזף היידן דורש הרכב שונה מזה הדרוש ליצירה של סטרווינסקי.

ביצירות שונות, כמו הקונצ'רטו (יצירה לסולן ולתזמורת), מצטרפים לתזמורת סולנים. ביצירות אחרות מצורפים אליה כלים ייחודיים, שאינם קבועים בתזמורת הסימפונית. ביניהם פסנתר, גיטרה, עוגב ונבל.


הנה התזמורת הסימפונית ירושלים מנגנת:

https://youtu.be/3bi7YnYZWPo


נגן בתזמורת מספר על עצמו ועליה (עברית):

https://youtu.be/YQh8EwPUPFM


תזמורת סימפונית מבצעת קונצ'רטו של באך עם שתי ילדות פלא נהדרות (עברית):

https://youtu.be/cBJXIfYE6i8


התזמורת הסימפונית ירושלים מנגנת את התקווה בקורונה:

https://youtu.be/HY9G3kp5ux0


הנה כלי התזמורת, אחד אחרי השני:

https://youtu.be/EfedK-dqXWc


הכינו את עצמכם לזיהוי הכלים של התזמורת הסימפונית:

https://youtu.be/dcm-1UP5O2Y


ובחנו את עצמכם בזיהוי כלי התזמורת:

https://youtu.be/tb0gHAzpQPE

המתמטיקאי החשוב ביותר של המאה ה-18 היה לאונרד אוֹילֶר השווייצרי, שאת רוב חייו בילה ברוסיה ובגרמניה. עם 886 ספרים ומאמרים שפרסם בחייו, חלק גדול מהם בשנים שבהן סבל מעיוורון, הוא נחשב מהפוריים שבמתמטיקאים.

אוילר תרם תרומה מכרעת לתחומים רבים ומגוונים במתמטיקה. הוא גם היה זה שהכניס לשימוש סימנים מתמטיים רבים שמקובלים כיום, כמו למשל, בקביעת האות היוונית פיי לסימון היחס בין הקף של מעגל לקוטר שלו. אוילר הוא גם המייסד של תורת הגרפים, שחשיבותה בחייו לא נראתה אולי גדולה מדי, אך בעידן המודרני יש לגרפים חשיבות רבה וכמעט אי-אפשר לראות התנהלות מדעית, הנדסית וכלכלית ללא הגרפים שמציגים רעיונות ותהליכים כל כך טוב.

חידת גשרי קניגסברג היא חידה שבה יש מערכת גשרים (בעיר אמיתית, אגב) שבה רצה אוילר למצוא מסלול שעובר בכל הגשרים ופעם אחת בלבד בכל גשר.


הנה סרטון שמציג את בעיית גשרי קניגסברג (מתורגם):

https://youtu.be/nZwSo4vfw6c


קביעתו החכמה של אוילר לגבי פתרונה (עברית):

http://youtu.be/-LqxT1SMgR0?t=3m13s


יצוג מוסרט של בעיית הגשרים של קניגסברג:

http://youtu.be/2qBZ1-9VuLA


וסרטון קצר על לאונרד אוילר:

http://youtu.be/Ty6ejK1rAkg