שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מי המציאו את ספרות החשבון?
מהו פרדוקס החץ הנע של זנון?
הפרדוקס של החץ הנע (The Arrow paradox) הוא עוד אחד מפרדוקסי התנועה המפורסמים של הפילוסוף היווני זנון.
הפרדוקס מדבר על כך שאם חץ נורה אל מטרה, בכל רגע שנבדוק אותו במעופו, הוא נמצא במקום מסוים והוא במצב של מנוחה. כך נוכל לבדוק כל רגע בודד במהלך מעוף החץ. אם כך, אומר זנון, החץ נמצא תמיד במנוחה, לאורך כל מעופו. לכן החץ אינו נע בעצם...
ברור לנו שזה לא הגיוני, שכם אנו מבינים שהחץ נע מהמקום שבו הוא נורה ועד למקום הפגיעה. מכאן שהפתרון צריך להגיע מהמתמטיקה. ממושג הגבול בחשבון האינפיניטסימלי אנו יודעים שגם כשאורכו של הרגע שואף לאפס, אין בעיה שמהירות החץ תהיה גדולה מאפס, מה שאומר שהחץ לא ממש נמצא במנוחה. זהו מושג שמתקבל מגזירת מיקום החץ כפונקציה של הזמן ונקרא בפיזיקה "המהירות הרגעית".
הנה סרטון שמסביר את פרדוקס החץ הנע:
https://youtu.be/cw3V5BruAwI
פילוסוף מציג את הניגוד בין מה שאנו רואים ובין המדע:
https://youtu.be/CjP2VM-1l_o
והסבר נוסף לפרדוקס של החץ הנע:
http://youtu.be/ZfArTozRTLI
אפס
איך הגיעו הספרות הערביות לחשבון בכל העולם?
מי הביא את ספרות החשבון הערביות למערב?
מה מקורם של עשרת הסימנים (9,8,7,6,5,4,3,2,1,0) המוכרים כל כך בחשבון?
האם הן ספרות ערביות, כמו שמכנים אותן לא פעם?
ובכן, ספרות החשבון שהן כה חשובות במתמטיקה העולמית נקראות כיום ספרות הודיות-ערביות או הינדו-ערביות. השיטה העשרונית היא עתיקה מאד ומופיעה אפילו בתנ"ך, אבל את ספרות החשבון ואת שיטת הספירה שבהן משתמש העולם כולו אנו חבים להודים.
ההודים היו גם הראשונים שהקצו סימן למספר אפס. שיטת סימון הספרות ההודיות חוללה מהפכה בחישובים המתמטיים ואפשרה לראשונה חישובים במספרים גדולים מאד. החידוש בשיטת הספרות הזו היה הייצוג של המספרים על ידי מיקומה של הספרה, מיחידות ועשרות, מאות, אלפים וכן הלאה... עובדה זו פישטה את השימוש במספרים וקידמה את המתמטיקה באופן משמעותי.
מההודים למדו את הספרות הללו מתמטיקאים ומדענים ערביים. ספר בערבית שפרסם במאה ה-8 המתמטיקאי הפרסי הנודע וממציא האלגוריתם מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי, הביא לאימוץ ספרות החשבון ההודיות באופן משמעותי בידי הערבים. ח'ואריזמי היה זה שהכניס את המתמטיקה לשימוש בעולם המדע הערבי, המדע המתקדם ביותר של ימי הביניים. הוא גם הטמיע את ספרת האפס, שהפכה להיות מהחשובות והשימושיות במתמטיקה העשרונית ובמדע.
כ-300 שנה לאחר מכן, כשכבשו במאה ה-11 המורים (ערבים מצפון אפריקה) את ספרד, הם הביאו את הספרות לאירופה. בתחילת המאה ה-13 השתמש בהן המתמטיקאי האיטלקי הידוע לאונרדו פיבונאצ'י ב"ספר החשבונייה" (Liber abbaci) שפירסם. כך, בדיוק בשלב שבו אירופה הופכת למרכז מדעי ותרבותי, יהיה זה פיבונאצ'י שיפיץ את הספרות ההודיות ערביות לשימוש באירופה ובכך ידחוף להחלפה סופית של הספרות הרומיות, המיושנות והלא יעילות לחישובים מורכבים. ובכך הם יהפכו לספרות החשבון שבהן משתמשים בעולם כולו עד היום.
כדי להבין את גודל החידוש בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, המייחסת משמעות למיקום הספרה במספר, נשווה אותה לשיטת הספירה הרומית שהייתה פופולרית ביותר בעולם באותה התקופה. השיטה הרומית התבססה על עיקרון ההקבצה לפיו יש לחבר את הספרות המוצגות לקבלת המספר הסופי, בשיטה זו למיקום הספרות אין השפעה על המספר עצמו. לדוגמא בספרות רומיות המספר 18 נכתב כך: XVIII. האות X - מייצגת את המספר 10. האות V - מייצגת את המספר 5. והאות I - מייצגת את המספר 1. שיטת ההקבצה משמעותה שהמספר XVIII מיוצג על ידי חיבור הספרות X+V+I+I+I, כלומר, 10+5+1+1+1, ותוצאת חיבור הספרות היא המספר המיוצג ובמקרה שלנו - 18.
ישנן כמה בעיות בשיטת הספרות הרומית, אחת מהם היא שהיא מקשה מאוד על שימוש במספרים גדולים, לדוגמא המספר 1888 יכתב בספרות רומיות כ-MDCCCLXXXVIII. לעומת זאת בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, הספרות מקבלות משקל שונה בגלל המיקום שלהם. ספרה במיקום 2 תקבל אפס אחד נוסף, ספרה במיקום 3 תקבל 2 אפסים, ספרה במיקום 4 תקבל 3 אפסים וכן הלאה. לדוגמא הסימון 1888 משמעותו בעצם 1000+800+80+8. ומובן מדוע השימוש בספרות ההודיות-ערביות, מבוססות המיקום, נוח יותר להבנה, לכתיבה ולביצוע חישובים מתמטיים, בהשוואה לשיטה הרומית.
הנה סרטון שמספר על הספרות ההודיות-ערביות:
http://youtu.be/gulApUKih2w?t=1m34s
המספרים הללו יצרו את מערכת המספרים המודרנית (מתורגם):
https://youtu.be/cZH0YnFpjwU
הספרות הרומיות שהיו נהוגות לפני כן (מתורגם):
https://youtu.be/1Rhd1OQcTGA
תולדות המתמטיקה העתיקה והמצאת האפס בידי ההודי ברהמהגופטה (עברית):
https://youtu.be/vOA4nelKn7s
תרומתו של פיבונאצ'י:
http://youtu.be/03uC9bhX0Rc
מצגת וידאו שמלמדת על הספרות ההודיות-ערביות:
http://youtu.be/gs4DCei79N8
הסבר להיגיון שבספרות, כשבכל אחת יש את מספר הזוויות שהיא מציינת:
http://youtu.be/XvekfZ0uTpc
ותולדות החשבון או ההיסטוריה של המתמטיקה, שמראה את חשיבותן בהתפתחות המדע הזה:
http://youtu.be/cy-8lPVKLIo
מי הביא את ספרות החשבון הערביות למערב?
מה מקורם של עשרת הסימנים (9,8,7,6,5,4,3,2,1,0) המוכרים כל כך בחשבון?
האם הן ספרות ערביות, כמו שמכנים אותן לא פעם?
ובכן, ספרות החשבון שהן כה חשובות במתמטיקה העולמית נקראות כיום ספרות הודיות-ערביות או הינדו-ערביות. השיטה העשרונית היא עתיקה מאד ומופיעה אפילו בתנ"ך, אבל את ספרות החשבון ואת שיטת הספירה שבהן משתמש העולם כולו אנו חבים להודים.
ההודים היו גם הראשונים שהקצו סימן למספר אפס. שיטת סימון הספרות ההודיות חוללה מהפכה בחישובים המתמטיים ואפשרה לראשונה חישובים במספרים גדולים מאד. החידוש בשיטת הספרות הזו היה הייצוג של המספרים על ידי מיקומה של הספרה, מיחידות ועשרות, מאות, אלפים וכן הלאה... עובדה זו פישטה את השימוש במספרים וקידמה את המתמטיקה באופן משמעותי.
מההודים למדו את הספרות הללו מתמטיקאים ומדענים ערביים. ספר בערבית שפרסם במאה ה-8 המתמטיקאי הפרסי הנודע וממציא האלגוריתם מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי, הביא לאימוץ ספרות החשבון ההודיות באופן משמעותי בידי הערבים. ח'ואריזמי היה זה שהכניס את המתמטיקה לשימוש בעולם המדע הערבי, המדע המתקדם ביותר של ימי הביניים. הוא גם הטמיע את ספרת האפס, שהפכה להיות מהחשובות והשימושיות במתמטיקה העשרונית ובמדע.
כ-300 שנה לאחר מכן, כשכבשו במאה ה-11 המורים (ערבים מצפון אפריקה) את ספרד, הם הביאו את הספרות לאירופה. בתחילת המאה ה-13 השתמש בהן המתמטיקאי האיטלקי הידוע לאונרדו פיבונאצ'י ב"ספר החשבונייה" (Liber abbaci) שפירסם. כך, בדיוק בשלב שבו אירופה הופכת למרכז מדעי ותרבותי, יהיה זה פיבונאצ'י שיפיץ את הספרות ההודיות ערביות לשימוש באירופה ובכך ידחוף להחלפה סופית של הספרות הרומיות, המיושנות והלא יעילות לחישובים מורכבים. ובכך הם יהפכו לספרות החשבון שבהן משתמשים בעולם כולו עד היום.
כדי להבין את גודל החידוש בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, המייחסת משמעות למיקום הספרה במספר, נשווה אותה לשיטת הספירה הרומית שהייתה פופולרית ביותר בעולם באותה התקופה. השיטה הרומית התבססה על עיקרון ההקבצה לפיו יש לחבר את הספרות המוצגות לקבלת המספר הסופי, בשיטה זו למיקום הספרות אין השפעה על המספר עצמו. לדוגמא בספרות רומיות המספר 18 נכתב כך: XVIII. האות X - מייצגת את המספר 10. האות V - מייצגת את המספר 5. והאות I - מייצגת את המספר 1. שיטת ההקבצה משמעותה שהמספר XVIII מיוצג על ידי חיבור הספרות X+V+I+I+I, כלומר, 10+5+1+1+1, ותוצאת חיבור הספרות היא המספר המיוצג ובמקרה שלנו - 18.
ישנן כמה בעיות בשיטת הספרות הרומית, אחת מהם היא שהיא מקשה מאוד על שימוש במספרים גדולים, לדוגמא המספר 1888 יכתב בספרות רומיות כ-MDCCCLXXXVIII. לעומת זאת בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, הספרות מקבלות משקל שונה בגלל המיקום שלהם. ספרה במיקום 2 תקבל אפס אחד נוסף, ספרה במיקום 3 תקבל 2 אפסים, ספרה במיקום 4 תקבל 3 אפסים וכן הלאה. לדוגמא הסימון 1888 משמעותו בעצם 1000+800+80+8. ומובן מדוע השימוש בספרות ההודיות-ערביות, מבוססות המיקום, נוח יותר להבנה, לכתיבה ולביצוע חישובים מתמטיים, בהשוואה לשיטה הרומית.
הנה סרטון שמספר על הספרות ההודיות-ערביות:
http://youtu.be/gulApUKih2w?t=1m34s
המספרים הללו יצרו את מערכת המספרים המודרנית (מתורגם):
https://youtu.be/cZH0YnFpjwU
הספרות הרומיות שהיו נהוגות לפני כן (מתורגם):
https://youtu.be/1Rhd1OQcTGA
תולדות המתמטיקה העתיקה והמצאת האפס בידי ההודי ברהמהגופטה (עברית):
https://youtu.be/vOA4nelKn7s
תרומתו של פיבונאצ'י:
http://youtu.be/03uC9bhX0Rc
מצגת וידאו שמלמדת על הספרות ההודיות-ערביות:
http://youtu.be/gs4DCei79N8
הסבר להיגיון שבספרות, כשבכל אחת יש את מספר הזוויות שהיא מציינת:
http://youtu.be/XvekfZ0uTpc
ותולדות החשבון או ההיסטוריה של המתמטיקה, שמראה את חשיבותן בהתפתחות המדע הזה:
http://youtu.be/cy-8lPVKLIo
הפרדוקס של החץ הנע (The Arrow paradox) הוא עוד אחד מפרדוקסי התנועה המפורסמים של הפילוסוף היווני זנון.
הפרדוקס מדבר על כך שאם חץ נורה אל מטרה, בכל רגע שנבדוק אותו במעופו, הוא נמצא במקום מסוים והוא במצב של מנוחה. כך נוכל לבדוק כל רגע בודד במהלך מעוף החץ. אם כך, אומר זנון, החץ נמצא תמיד במנוחה, לאורך כל מעופו. לכן החץ אינו נע בעצם...
ברור לנו שזה לא הגיוני, שכם אנו מבינים שהחץ נע מהמקום שבו הוא נורה ועד למקום הפגיעה. מכאן שהפתרון צריך להגיע מהמתמטיקה. ממושג הגבול בחשבון האינפיניטסימלי אנו יודעים שגם כשאורכו של הרגע שואף לאפס, אין בעיה שמהירות החץ תהיה גדולה מאפס, מה שאומר שהחץ לא ממש נמצא במנוחה. זהו מושג שמתקבל מגזירת מיקום החץ כפונקציה של הזמן ונקרא בפיזיקה "המהירות הרגעית".
הנה סרטון שמסביר את פרדוקס החץ הנע:
https://youtu.be/cw3V5BruAwI
פילוסוף מציג את הניגוד בין מה שאנו רואים ובין המדע:
https://youtu.be/CjP2VM-1l_o
והסבר נוסף לפרדוקס של החץ הנע:
http://youtu.be/ZfArTozRTLI
