שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מי המציא את האפס וכיצד הפך כל כך חשוב במתמטיקה?
האֶפֶס (Zero) שאנו משתמשים בו היום לא הגיע אלינו כהמצאה פתאומית של אדם בודד, אלא כתוצר של התפתחות הדרגתית שחצתה תרבויות ויבשות, עיצב את המתמטיקה, המדע והטכנולוגיה מהתרבויות העתיקות ועד לעידן הדיגיטלי.
ההתחלה, מראשית התרבות הייתה בלעדיו. מכיוון שמספרים שימשו רק לספירת עצמים מוחשיים, נעדר האפס אלפי ומאות שנים מהחשבון.
מערכות מספרים ללא אפס שימשו את התרבויות העתיקות, מהאימפריה הבבלית במסופוטמיה ועד האימפריה הרומית. הבבלים אמנם עשו צעד לקראת אפס והציגו מציין ראשוני שתפקידו לסמן בחשבון שלהם את הדימוי הראשון של ה"כלום".
מסע האפס מתחיל בהודו העתיקה, שם במאה ה-6 לספירה הופיעו הסימנים הראשונים המייחדים את האפס כמושג עצמאי.
בשנת 628, המתמטיקאי והאסטרונום ההודי בראהמגופטה (Brahmagupta) תיעד את האפס בחיבורו המפורסם "בראהמספהוטסידהאנטה" (Brahmasphutasiddhanta), שם כונה האפס "סוניה" (Sunya) - מילה שמשמעותה "ריק".
בתחילה, האפס לא נתפס כמספר ממש אלא כשומר מקום במערכת הספרות, שעזר להבחין בין מספרים כמו 52 ל-502.
מהודו התגלגל האפס לעולם הערבי, שם אימצו אותו המתמטיקאים וסימנו אותו כעיגול ריק שכונה "סיפר" (Sifr). מילה זו היא שהפכה בסופו של דבר ל"zero" בשפות המערביות. המתמטיקאי הפרסי אל-ח'ואריזמי (Al-Khwarizmi) תרם משמעותית להפצת רעיון האפס בעולם המדע של ימי הביניים.
אל אירופה הגיע האפס רק במאה ה-11 דרך אנדלוסיה, ספרד המוסלמית של אותם ימים. אך הייתה זו דמותו של פיבונאצ'י (Fibonacci), המתמטיקאי האיטלקי בן המאה ה-13, שעזרה להטמיע את האפס והספרות ההודו-ערביות בתרבות המערב.
האפס עיצב את המתמטיקה וחולל בו מהפכה אמיתית, ומעבר להיותו סמל טכני, הוא אפשר את יצירתה של מערכת המספרים העשרונית הפוזיציונלית. במערכת זו, למיקום של כל ספרה יש משמעות קריטית, והאפס מסייע להבדיל בין מספרים שונים. ללא האפס, היה בלתי אפשרי לפתח תחומים מתמטיים מתקדמים כמו אלגברה וחשבון אינפיניטסימלי.
התפתחות האפס כמספר עצמאי, ולא רק כסמל שמייצג חוסר, פתחה דלתות לתפיסות מתמטיות מורכבות. האפס מאפשר לפתור משוואות בסיסיות כמו x + 7 = 7, להבין את מושג הקבוצה הריקה, ולהגדיר גבולות במתמטיקה גבוהה. הוא גם משמש כנקודת מוצא בציר המספרים, המפרידה בין חיוביים לשליליים.
לאפס תכונות מתמטיות ייחודיות שמבדילות אותו מכל מספר אחר: הוא האיבר הניטרלי בפעולת החיבור, כך שכל מספר ועוד אפס שווה לעצמו. כל מספר כפול אפס שווה אפס. לעומת זאת, חלוקה באפס אינה מוגדרת כלל במתמטיקה. אחת התכונות המעניינות היא שכל מספר (שאינו אפס עצמו) בחזקת אפס שווה ל-1.
מעניין שלמרות חשיבותו, רבים מתקשים לתפוס את האפס כמספר "אמיתי" - אולי בגלל שהוא מסמל "שום דבר" בעולם המוחשי. קושי זה מופיע אצל ילדים לומדים אבל גם אצל מבוגרים, ומוביל לעתים לשגיאות בחשיבה מתמטית.
כבר מזמן הפך האפס ליסוד ולבסיס של המתמטיקה המודרנית והתפשט על פני תרבויות. אך בעולם הטכנולוגי של ימינו הפך מה שהתחיל כרעיון מופשט לציר האופן של העולם המודרני.
המחשבים שאנו משתמשים בהם מבוססים על שפה בינארית של אפסים ואחדים בלבד. ללא האפס, לא היה קיים העולם הדיגיטלי, הממוחשב, המקושר והמפותח כל כך וכל מה שמסביבו. כך, הפך מושג שהתחיל כסמל לריק והפך ליסוד שעליו נבנו המדע והטכנולוגיה העכשוויים.
הנה מושג האפס, או מהו האפס? (מתורגם)
https://youtu.be/9Y7gAzTMdMA
התפתחות האפס:
https://youtu.be/vIv1CoHwkTE
תולדות המתמטיקה העתיקה והמצאת האפס בידי ההודי ברהמהגופטה (עברית):
https://youtu.be/vOA4nelKn7s
חשיבות הגילוי של האפס או המצאתו:
https://youtu.be/oNeAhT5FMHs
פריצת הדרך שפתח האפס בעולם המתמטי:
https://youtu.be/D-oxsEknlIc
ותולדות האפס במתמטיקה:
https://youtu.be/z8_Xj-DIpTY
איך הומצא הביוב בתרבות עמק האינדוס ההודי?
לא רבים יודעים שביחד עם האימפריות של מסופוטמיה ושל מצרים העתיקה נולדה בהודו אחת התרבויות המתקדמות בעולם העתיק, תרבות שהתגלתה רק במאה ה-20 ומסתבר שהיא הייתה מהתרבויות העירוניות הקדומות ביותר בעולם.
זוהי תרבות עמק האינדוס (Indus), תרבות עתיקה ומסתורית שמעט מאוד ידוע עליה, אבל יודעים שהיא הייתה של עם משוכלל, יודע קרוא וכתוב ובעל יכולות הנדסיות פורצות דרך לזמנו.
ציביליזציית האינדוס התקיימה בשנים 2,800 לפני הספירה ועד 1,700 לפנה"ס, בעיר מוהנג'ו-דארו, בשטח שמצוי כיום בפקיסטן ומערב הודו.
תרבות האינדוס הייתה תרבות עירונית מתקדמת מאד ואולי גם התרבות העירונית הראשונה בהיסטוריה. תכנון העיר שלה מפגין ידע בתכנון עירוני ובממשל, שבמרכזו עמדה ההיגיינה. בבתים היו חדרי אמבטיה והמים זרמו בצינורות אל הבתים, הישר ממכלי מים שהוצבו על הגגות. רחובות עריה נבנו בצורת רשת, כמו בערים מודרניות דוגמת ניו-יורק. הבתים תוכננו באופן כזה שהם היו שקטים מרעש ומוגנים מריחות וגנבות.
את שיא הקדמה הפגינו בני התרבות הזו ב... מערכות הביוב שבערי האינדוס. אלה היו מתקדמות ביותר, בהשוואה למערכות ביוב של אותם זמנים. למעשה גם כיום הן יכולות היו להיחשב משוכללות יחסית.
מה קרה לציביליזציה של עמק האינדוס?
תרבות ההינדוס נעלמה בפתאומיות בשנים שסביב 1900 לפני הספירה, עת נמחתה העיר הגדולה מוהנג'ו-דארו. הסיבה להיעלמותה של התרבות המתקדמת הזו אינן ידועות ולא מפוענחות, מה עוד שמי שחיסל את העיר והתרבות העתיקה ניפץ והשמיד את הפסלים ואיתם כמעט כל ממצא תרבותי שיכולה הייתה להותיר אחריה.
מכל מקום, זו הייתה תרבות בעלת בעלת פוטנציאל לגדול ולהתפשט על האזורים הפוריים שמסביבה. אבל היא נעלמה ללא ממצאים המעידים מדוע. אחת הסברות היא שהיו אלה פולשים אריים מאזור אחר בהודו, שתוארו ב-Rig Veda כהורסי מבצרים מיומנים.
הנה סקירה על תרבות עמק האינדוס:
http://youtu.be/KhDY4KJuvc0
מערכת המים והביוב בעמק האינדוס של אותם ימים:
https://youtu.be/gpLbRr5Efcg
עמק ההינדוס כיום (עברית):
http://youtu.be/oGCRdp-rDnM
מצגת וידאו על הביוב והיעלמות תרבות עמק האינדוס ההודי:
https://youtu.be/hIsrV6lHjgk
הסבר על תרבות עמק האינדוס:
http://youtu.be/n7ndRwqJYDM?t=2m56s
ותכנית חינוכית על תולדות השירותים עברית):
https://youtu.be/bvChd5xo9K0?long=yes
מהי השיטה העשרונית ומאיפה באו ספרות החשבון?
מה מקורם של עשרת ספרות החשבון (9,8,7,6,5,4,3,2,1,0) המוכרות כל כך בחשבון?
האם הן ספרות ערביות, כמו שמכנים אותן לא פעם?
ובכן, ספרות החשבון שהן כה חשובות במתמטיקה העולמית נקראות כיום ספרות הודיות-ערביות או הינדו-ערביות. השיטה העשרונית היא עתיקה מאד ומופיעה אפילו בתנ"ך, אבל את ספרות החשבון ואת שיטת הספירה שבהן משתמש העולם כולו אנו חבים להודים.
ההודים היו גם הראשונים שהקצו סימן למספר אפס. שיטת סימון הספרות ההודיות חוללה מהפכה בחישובים המתמטיים ואפשרה לראשונה חישובים במספרים גדולים מאד. החידוש בשיטת הספרות הזו היה הייצוג של המספרים על ידי מיקומה של הספרה, מיחידות ועשרות, מאות, אלפים וכן הלאה... עובדה זו פישטה את השימוש במספרים וקידמה את המתמטיקה באופן משמעותי.
מההודים למדו את הספרות הללו מתמטיקאים ומדענים ערביים. ספר בערבית שפרסם במאה ה-8 המתמטיקאי הפרסי הנודע וממציא האלגוריתם מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי, הביא לאימוץ ספרות החשבון ההודיות באופן משמעותי בידי הערבים. ח'ואריזמי היה זה שהכניס את המתמטיקה לשימוש בעולם המדע הערבי, המדע המתקדם ביותר של ימי הביניים. הוא גם הטמיע את ספרת האפס, שהפכה להיות מהחשובות והשימושיות במתמטיקה העשרונית ובמדע.
כ-300 שנה לאחר מכן, כשכבשו במאה ה-11 המורים (ערבים מצפון אפריקה) את ספרד, הם הביאו את הספרות לאירופה. בתחילת המאה ה-13 השתמש בהן המתמטיקאי האיטלקי הידוע לאונרדו פיבונאצ'י ב"ספר החשבונייה" (Liber abbaci) שפירסם. כך, בדיוק בשלב שבו אירופה הופכת למרכז מדעי ותרבותי, יהיה זה פיבונאצ'י שיפיץ את הספרות ההודיות ערביות לשימוש באירופה ובכך ידחוף להחלפה סופית של הספרות הרומיות, המיושנות והלא יעילות לחישובים מורכבים. ובכך הם יהפכו לספרות החשבון שבהן משתמשים בעולם כולו עד היום.
כדי להבין את גודל החידוש בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, המייחסת משמעות למיקום הספרה במספר, נשווה אותה לשיטת הספירה הרומית שהייתה פופולרית ביותר בעולם באותה התקופה. השיטה הרומית התבססה על עיקרון ההקבצה לפיו יש לחבר את הספרות המוצגות לקבלת המספר הסופי, בשיטה זו למיקום הספרות אין השפעה על המספר עצמו. לדוגמא בספרות רומיות המספר 18 נכתב כך: XVIII. האות X - מייצגת את המספר 10. האות V - מייצגת את המספר 5. והאות I - מייצגת את המספר 1. שיטת ההקבצה משמעותה שהמספר XVIII מיוצג על ידי חיבור הספרות X+V+I+I+I, כלומר, 10+5+1+1+1, ותוצאת חיבור הספרות היא המספר המיוצג ובמקרה שלנו - 18.
ישנן כמה בעיות בשיטת הספרות הרומית, אחת מהם היא שהיא מקשה מאוד על שימוש במספרים גדולים, לדוגמא המספר 1888 יכתב בספרות רומיות כ-MDCCCLXXXVIII. לעומת זאת בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, הספרות מקבלות משקל שונה בגלל המיקום שלהם. ספרה במיקום 2 תקבל אפס אחד נוסף, ספרה במיקום 3 תקבל 2 אפסים, ספרה במיקום 4 תקבל 3 אפסים וכן הלאה. לדוגמא הסימון 1888 משמעותו בעצם 1000+800+80+8. ומובן מדוע השימוש בספרות ההודיות-ערביות, מבוססות המיקום, נוח יותר להבנה, לכתיבה ולביצוע חישובים מתמטיים, בהשוואה לשיטה הרומית.
הנה סרטון שמספר על הספרות ההודיות-ערביות:
http://youtu.be/gulApUKih2w?t=1m34s
המספרים הללו יצרו את מערכת המספרים המודרנית (מתורגם):
https://youtu.be/cZH0YnFpjwU
הספרות הרומיות שהיו נהוגות לפני כן (מתורגם):
https://youtu.be/1Rhd1OQcTGA
תולדות המתמטיקה העתיקה והמצאת האפס בידי ההודי ברהמהגופטה (עברית):
https://youtu.be/vOA4nelKn7s
תרומתו של פיבונאצ'י:
http://youtu.be/03uC9bhX0Rc
מצגת וידאו שמלמדת על הספרות ההודיות-ערביות:
http://youtu.be/gs4DCei79N8
הסבר להיגיון שבספרות, כשבכל אחת יש את מספר הזוויות שהיא מציינת:
http://youtu.be/XvekfZ0uTpc
תולדות החשבון או ההיסטוריה של המתמטיקה, שמראה את חשיבותן בהתפתחות המדע הזה:
http://youtu.be/cy-8lPVKLIo
ואיך נוצרו והתפתחו המספרים?
https://youtu.be/ggOPJ8gafPo?long=yes
מהו משחק השחמט ואיפה הוא נולד?
השחמט הוא משחק לוח שמיועד לשני שחקנים. אפשר לומר עליו שהוא "ספורט למוח", משחק של חוכמה וסבלנות. כיום שחמט הוא גם ענף ספורט של ממש ומתקיימות תחרויות שחמט בכל העולם.
השחמט הוא מהמשחקים הנפוצים והמורכבים ביותר שהתפתחו בתרבות האנושית. אדם העוסק במשחק שחמט באופן מקצועי נקרא שחמטאי ואלופי השחמט נאבקים על תארים של "אמנים" ו" רבי-אמנים".
ניצחון במשחק השחמט מושג כשהמלך של אחד הצדדים מאוים ואינו יכול להימלט מהאיום או להתגבר עליו. ובאמת המקור ההיסטורי של השם "שחמט" בא מפרסית: "שאה מט". פירושו בפרסית הוא "מארב למלך" או "המלך חסר אונים".
#תולדות השחמט
מקורו של השחמט לא מובהר לחלוטין. משערים שהתפתח באימפריה כלשהי בעולם העתיק: סין, הודו, מצרים, או פרס. הערכות רבות גורסות שדמיונו הרב למשחק הלוח ההודי צ'טורנגה קושר אותו להודו.
ההשערה היא שמקורותיו הם בסביבות 1,500 שנה אחורה, במאה ה-6 לספירה. משערים שמשם המשחק עבר למדינות בדרום מזרח אסיה והגיע גם לפרס, למזרח התיכון ולאירופה.
השטרנג', גרסתו הפרסית של המשחק, היא שהגיעה לאירופה, כנראה עם כיבוש ספרד.
בתקופת הרנסנס המשחק כבש כמה מהגדולים של אותם ימים. איוריו של לאונרדו דה וינצ'י זוהו בספרו משנת 1500 של המתמטיקאי האיטלקי לוקה פאצ'ולי, בו ניתח מי שידוע כחלוץ החשבונאות יותר מ-100 מהלכים ואסטרטגיות בשחמט. בימינו נותר רק עותק אחד של הספר.
השחמט, המכונה לא פעם "משחק המלכים", היה פופולרי גם בקרב גנרלים. אפילו נפוליאון שיחק בו, אף שגילה שהקשר בין ניצחון בשדה הקרב להצלחה על הלוח הוא קלוש במיוחד. פעם הוא אפילו ניסה להימלט מגלותו באי סנט הלנה כשהוא מסתתר בתוך מערכת שחמט משנהב.
בשלבים שונים היו הבריטים, האמריקאים והרוסים למובילים עולמיים בעולם השחמט, כל אחת בתורה.
עד שנות ה -70 של המאה ה-20 שחמט היה משחק איטי. כללים חדשים שהוכנסו אז הפכו אותו למהיר ואגרסיבי יותר.
החל משנות ה-90 התמודדו אלופים עם מחשב שהתבססו על בינה מלאכותית. ב-1996 ניצח בקלות אלוף העולם, רב האמן גארי קספרוב, את Deep Blue של IBM. שנה אחר כך הוא כבר ספג תבוסה מוחצת. עוד 6 שנים, ב-2003, התחרה קספרוב שוב, הפעם במחשב Deep Junior המשופר, וה"שניים" סיימו את הטורניר בתיקו.
הנה תולדות משחק השחמט (מתורגם):
https://youtu.be/YeB-1F-UKO0
ילד בן 9, הצעיר ביותר בתולדות ארה"ב שהפך לאמן שחמט, משחק משחק סימולטני, נגד שחקנים רבים במקביל:
http://youtu.be/UGvdLm-eF-g
סרטון אנימציה שמראה משחק שחמט בתור מלחמה של ממש:
http://youtu.be/UkOgGdZIdCc
ותכנית חינוכית על תולדות השחמט (עברית):
https://youtu.be/YP75dZgWmHQ?long=yes
מהן מנדלות? מהי מנדלה?
מַנְדָּלָה היא ציור מעגל שנובע ממרכזו. המנדלה מורכבת מעיגול שבו מוצג ציור, או סימן גרפי דומה. אמונות שונות ותרבויות שונות, במיוחד הבודהיזם וההינדואיזם, קידשו את המנדלה וראו בה סמל מרכזי.
בדתות של הודו ראו בה סמל ליקום ולצורה שלו.
יש למנדלה שימוש חשוב בטיפולים באמנות, בעבודה טיפולית והיא משמשת ככלי להתפתחות רוחנית בהינדואיזם ובבודהיזם.
מקור המילה מנדלה הוא משפת הסנסקריט ההודית, שבה פירושה הוא "מרכז", או "מעגל", רמז למעגל המקודש של ההודים.
הנה הסבר על המנדלה (עברית):
http://youtu.be/dezE3_aCGHQ?t=42s
על המנדלה באנגלית:
https://youtu.be/gYBBsxrsJOw
הכהן הגדול של המנדלות בישראל, מסביר על המנדלה (עברית):
http://youtu.be/eZWKJf4JxDE
ומדריך ראשוני לציור מנדלות (עברית):
http://youtu.be/cCyBqOBCSeE
מהי מנדלת החול הטיבטית שיוצרים נזירים?
מנדלה היא סוג של ציור פולחני רוחני, בצורת מעגל שמתחיל או נובע מהמרכז שלו. הפירוש של מַנְדָּלָה בסנסקריט הוא "מרכז" או "מעגל" והוא מסמל את העולם המתקיים.
אחד הטקסים המרתקים בתבל הוא זה של מנדלת החול הטיבטית (Sand Mandala). בטקס יוצרים מנדלה ענקית במשך זמן רב ואז מחריבים אותה.
מנדלות החול הללו הן חלק מפולחן דתי שבו הנזירים יוצרים מנדלה זמנית, אמנות שנולדת כל פעם מחדש ולא מתקיימת יותר. מדובר בחלק ממסורת טיבטית בודהיסטית שבמרכזה יצירה ולאחר מכן הרס של מנדלות שקושטו בחול צבעוני.
הטקס נפתח בשרטוט של הצורות הגיאומטריות, על ידי הנזירים. הצורות הללו הן שיוצרות את תבנית המנדלה וישמשו לאחר מכן להנחת החול.
בהמשך מתבצע החלק הכולל את עבודת הנזירים הבודהיסטים בטיבט, שעמלים במשך שבועות על יצירת המנדלה המרהיבה שעשויה מגרגרי חול. באמצעות צינורות דקיקים, שופכים הנזירים את גרגרי החול הצבעוניים, לפי התבנית של המנדלה.
במקור, אגב, נהגו הנזירים להשתמש בגרגרים כתושים של אבן צבעונית. כיום הם משתמשים בחול צבוע בצבעים עזים, מה שהופך את המנדלה לססגונית אף יותר.
שיא התהליך הוא טקס בו הנזירים מתפללים, לאחר סיום יצירת המנדלה, במלמולים מסקרנים, חלקם בקול נמוך מאוד, תוך ליווי של עצמם בפעמוני יד עדינים.
אחרי שהם מסיימים להתפלל, הורסים הנזירים, ברגע אחד, את המנדלה שיצרו בעמל כה רב ומתמשך.
ההשתתפות בטקס המסקרן והמרתק היא חוויה של ממש. כל התהליך נועד מבחינה רוחנית לסמל את ארעיות הטבע החומרי, לעומת נצחיות הרוח.
הנה סיפורה של מנדלת החול בטיבט (עברית):
https://youtu.be/WBrYUlOYK0U
הסבר על המנדלה הקדושה הזו באנגלית:
https://youtu.be/G58Pujijsqc
כך מייצרים הנזירים את מנדלות החול עם סימונים גיאומטריים מדויקים:
https://youtu.be/IYVcjFhpsHc
אמן ישראלי מתאר את מנדלות החול שהוא עושה ומטרתן (עברית):
https://youtu.be/eZWKJf4JxDE
מנדלת חול בטיבט נוצרת בהילוך מהיר:
https://youtu.be/BOQHk24GDL0
והטקס בסיום העבודה על מנדלת החול הטיבטית:
https://youtu.be/GA3su0ECdPc
האֶפֶס (Zero) שאנו משתמשים בו היום לא הגיע אלינו כהמצאה פתאומית של אדם בודד, אלא כתוצר של התפתחות הדרגתית שחצתה תרבויות ויבשות, עיצב את המתמטיקה, המדע והטכנולוגיה מהתרבויות העתיקות ועד לעידן הדיגיטלי.
ההתחלה, מראשית התרבות הייתה בלעדיו. מכיוון שמספרים שימשו רק לספירת עצמים מוחשיים, נעדר האפס אלפי ומאות שנים מהחשבון.
מערכות מספרים ללא אפס שימשו את התרבויות העתיקות, מהאימפריה הבבלית במסופוטמיה ועד האימפריה הרומית. הבבלים אמנם עשו צעד לקראת אפס והציגו מציין ראשוני שתפקידו לסמן בחשבון שלהם את הדימוי הראשון של ה"כלום".
מסע האפס מתחיל בהודו העתיקה, שם במאה ה-6 לספירה הופיעו הסימנים הראשונים המייחדים את האפס כמושג עצמאי.
בשנת 628, המתמטיקאי והאסטרונום ההודי בראהמגופטה (Brahmagupta) תיעד את האפס בחיבורו המפורסם "בראהמספהוטסידהאנטה" (Brahmasphutasiddhanta), שם כונה האפס "סוניה" (Sunya) - מילה שמשמעותה "ריק".
בתחילה, האפס לא נתפס כמספר ממש אלא כשומר מקום במערכת הספרות, שעזר להבחין בין מספרים כמו 52 ל-502.
מהודו התגלגל האפס לעולם הערבי, שם אימצו אותו המתמטיקאים וסימנו אותו כעיגול ריק שכונה "סיפר" (Sifr). מילה זו היא שהפכה בסופו של דבר ל"zero" בשפות המערביות. המתמטיקאי הפרסי אל-ח'ואריזמי (Al-Khwarizmi) תרם משמעותית להפצת רעיון האפס בעולם המדע של ימי הביניים.
אל אירופה הגיע האפס רק במאה ה-11 דרך אנדלוסיה, ספרד המוסלמית של אותם ימים. אך הייתה זו דמותו של פיבונאצ'י (Fibonacci), המתמטיקאי האיטלקי בן המאה ה-13, שעזרה להטמיע את האפס והספרות ההודו-ערביות בתרבות המערב.
האפס עיצב את המתמטיקה וחולל בו מהפכה אמיתית, ומעבר להיותו סמל טכני, הוא אפשר את יצירתה של מערכת המספרים העשרונית הפוזיציונלית. במערכת זו, למיקום של כל ספרה יש משמעות קריטית, והאפס מסייע להבדיל בין מספרים שונים. ללא האפס, היה בלתי אפשרי לפתח תחומים מתמטיים מתקדמים כמו אלגברה וחשבון אינפיניטסימלי.
התפתחות האפס כמספר עצמאי, ולא רק כסמל שמייצג חוסר, פתחה דלתות לתפיסות מתמטיות מורכבות. האפס מאפשר לפתור משוואות בסיסיות כמו x + 7 = 7, להבין את מושג הקבוצה הריקה, ולהגדיר גבולות במתמטיקה גבוהה. הוא גם משמש כנקודת מוצא בציר המספרים, המפרידה בין חיוביים לשליליים.
לאפס תכונות מתמטיות ייחודיות שמבדילות אותו מכל מספר אחר: הוא האיבר הניטרלי בפעולת החיבור, כך שכל מספר ועוד אפס שווה לעצמו. כל מספר כפול אפס שווה אפס. לעומת זאת, חלוקה באפס אינה מוגדרת כלל במתמטיקה. אחת התכונות המעניינות היא שכל מספר (שאינו אפס עצמו) בחזקת אפס שווה ל-1.
מעניין שלמרות חשיבותו, רבים מתקשים לתפוס את האפס כמספר "אמיתי" - אולי בגלל שהוא מסמל "שום דבר" בעולם המוחשי. קושי זה מופיע אצל ילדים לומדים אבל גם אצל מבוגרים, ומוביל לעתים לשגיאות בחשיבה מתמטית.
כבר מזמן הפך האפס ליסוד ולבסיס של המתמטיקה המודרנית והתפשט על פני תרבויות. אך בעולם הטכנולוגי של ימינו הפך מה שהתחיל כרעיון מופשט לציר האופן של העולם המודרני.
המחשבים שאנו משתמשים בהם מבוססים על שפה בינארית של אפסים ואחדים בלבד. ללא האפס, לא היה קיים העולם הדיגיטלי, הממוחשב, המקושר והמפותח כל כך וכל מה שמסביבו. כך, הפך מושג שהתחיל כסמל לריק והפך ליסוד שעליו נבנו המדע והטכנולוגיה העכשוויים.
הנה מושג האפס, או מהו האפס? (מתורגם)
https://youtu.be/9Y7gAzTMdMA
התפתחות האפס:
https://youtu.be/vIv1CoHwkTE
תולדות המתמטיקה העתיקה והמצאת האפס בידי ההודי ברהמהגופטה (עברית):
https://youtu.be/vOA4nelKn7s
חשיבות הגילוי של האפס או המצאתו:
https://youtu.be/oNeAhT5FMHs
פריצת הדרך שפתח האפס בעולם המתמטי:
https://youtu.be/D-oxsEknlIc
ותולדות האפס במתמטיקה:
https://youtu.be/z8_Xj-DIpTY
לא רבים יודעים שביחד עם האימפריות של מסופוטמיה ושל מצרים העתיקה נולדה בהודו אחת התרבויות המתקדמות בעולם העתיק, תרבות שהתגלתה רק במאה ה-20 ומסתבר שהיא הייתה מהתרבויות העירוניות הקדומות ביותר בעולם.
זוהי תרבות עמק האינדוס (Indus), תרבות עתיקה ומסתורית שמעט מאוד ידוע עליה, אבל יודעים שהיא הייתה של עם משוכלל, יודע קרוא וכתוב ובעל יכולות הנדסיות פורצות דרך לזמנו.
ציביליזציית האינדוס התקיימה בשנים 2,800 לפני הספירה ועד 1,700 לפנה"ס, בעיר מוהנג'ו-דארו, בשטח שמצוי כיום בפקיסטן ומערב הודו.
תרבות האינדוס הייתה תרבות עירונית מתקדמת מאד ואולי גם התרבות העירונית הראשונה בהיסטוריה. תכנון העיר שלה מפגין ידע בתכנון עירוני ובממשל, שבמרכזו עמדה ההיגיינה. בבתים היו חדרי אמבטיה והמים זרמו בצינורות אל הבתים, הישר ממכלי מים שהוצבו על הגגות. רחובות עריה נבנו בצורת רשת, כמו בערים מודרניות דוגמת ניו-יורק. הבתים תוכננו באופן כזה שהם היו שקטים מרעש ומוגנים מריחות וגנבות.
את שיא הקדמה הפגינו בני התרבות הזו ב... מערכות הביוב שבערי האינדוס. אלה היו מתקדמות ביותר, בהשוואה למערכות ביוב של אותם זמנים. למעשה גם כיום הן יכולות היו להיחשב משוכללות יחסית.
מה קרה לציביליזציה של עמק האינדוס?
תרבות ההינדוס נעלמה בפתאומיות בשנים שסביב 1900 לפני הספירה, עת נמחתה העיר הגדולה מוהנג'ו-דארו. הסיבה להיעלמותה של התרבות המתקדמת הזו אינן ידועות ולא מפוענחות, מה עוד שמי שחיסל את העיר והתרבות העתיקה ניפץ והשמיד את הפסלים ואיתם כמעט כל ממצא תרבותי שיכולה הייתה להותיר אחריה.
מכל מקום, זו הייתה תרבות בעלת בעלת פוטנציאל לגדול ולהתפשט על האזורים הפוריים שמסביבה. אבל היא נעלמה ללא ממצאים המעידים מדוע. אחת הסברות היא שהיו אלה פולשים אריים מאזור אחר בהודו, שתוארו ב-Rig Veda כהורסי מבצרים מיומנים.
הנה סקירה על תרבות עמק האינדוס:
http://youtu.be/KhDY4KJuvc0
מערכת המים והביוב בעמק האינדוס של אותם ימים:
https://youtu.be/gpLbRr5Efcg
עמק ההינדוס כיום (עברית):
http://youtu.be/oGCRdp-rDnM
מצגת וידאו על הביוב והיעלמות תרבות עמק האינדוס ההודי:
https://youtu.be/hIsrV6lHjgk
הסבר על תרבות עמק האינדוס:
http://youtu.be/n7ndRwqJYDM?t=2m56s
ותכנית חינוכית על תולדות השירותים עברית):
https://youtu.be/bvChd5xo9K0?long=yes
מה מקורם של עשרת ספרות החשבון (9,8,7,6,5,4,3,2,1,0) המוכרות כל כך בחשבון?
האם הן ספרות ערביות, כמו שמכנים אותן לא פעם?
ובכן, ספרות החשבון שהן כה חשובות במתמטיקה העולמית נקראות כיום ספרות הודיות-ערביות או הינדו-ערביות. השיטה העשרונית היא עתיקה מאד ומופיעה אפילו בתנ"ך, אבל את ספרות החשבון ואת שיטת הספירה שבהן משתמש העולם כולו אנו חבים להודים.
ההודים היו גם הראשונים שהקצו סימן למספר אפס. שיטת סימון הספרות ההודיות חוללה מהפכה בחישובים המתמטיים ואפשרה לראשונה חישובים במספרים גדולים מאד. החידוש בשיטת הספרות הזו היה הייצוג של המספרים על ידי מיקומה של הספרה, מיחידות ועשרות, מאות, אלפים וכן הלאה... עובדה זו פישטה את השימוש במספרים וקידמה את המתמטיקה באופן משמעותי.
מההודים למדו את הספרות הללו מתמטיקאים ומדענים ערביים. ספר בערבית שפרסם במאה ה-8 המתמטיקאי הפרסי הנודע וממציא האלגוריתם מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי, הביא לאימוץ ספרות החשבון ההודיות באופן משמעותי בידי הערבים. ח'ואריזמי היה זה שהכניס את המתמטיקה לשימוש בעולם המדע הערבי, המדע המתקדם ביותר של ימי הביניים. הוא גם הטמיע את ספרת האפס, שהפכה להיות מהחשובות והשימושיות במתמטיקה העשרונית ובמדע.
כ-300 שנה לאחר מכן, כשכבשו במאה ה-11 המורים (ערבים מצפון אפריקה) את ספרד, הם הביאו את הספרות לאירופה. בתחילת המאה ה-13 השתמש בהן המתמטיקאי האיטלקי הידוע לאונרדו פיבונאצ'י ב"ספר החשבונייה" (Liber abbaci) שפירסם. כך, בדיוק בשלב שבו אירופה הופכת למרכז מדעי ותרבותי, יהיה זה פיבונאצ'י שיפיץ את הספרות ההודיות ערביות לשימוש באירופה ובכך ידחוף להחלפה סופית של הספרות הרומיות, המיושנות והלא יעילות לחישובים מורכבים. ובכך הם יהפכו לספרות החשבון שבהן משתמשים בעולם כולו עד היום.
כדי להבין את גודל החידוש בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, המייחסת משמעות למיקום הספרה במספר, נשווה אותה לשיטת הספירה הרומית שהייתה פופולרית ביותר בעולם באותה התקופה. השיטה הרומית התבססה על עיקרון ההקבצה לפיו יש לחבר את הספרות המוצגות לקבלת המספר הסופי, בשיטה זו למיקום הספרות אין השפעה על המספר עצמו. לדוגמא בספרות רומיות המספר 18 נכתב כך: XVIII. האות X - מייצגת את המספר 10. האות V - מייצגת את המספר 5. והאות I - מייצגת את המספר 1. שיטת ההקבצה משמעותה שהמספר XVIII מיוצג על ידי חיבור הספרות X+V+I+I+I, כלומר, 10+5+1+1+1, ותוצאת חיבור הספרות היא המספר המיוצג ובמקרה שלנו - 18.
ישנן כמה בעיות בשיטת הספרות הרומית, אחת מהם היא שהיא מקשה מאוד על שימוש במספרים גדולים, לדוגמא המספר 1888 יכתב בספרות רומיות כ-MDCCCLXXXVIII. לעומת זאת בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, הספרות מקבלות משקל שונה בגלל המיקום שלהם. ספרה במיקום 2 תקבל אפס אחד נוסף, ספרה במיקום 3 תקבל 2 אפסים, ספרה במיקום 4 תקבל 3 אפסים וכן הלאה. לדוגמא הסימון 1888 משמעותו בעצם 1000+800+80+8. ומובן מדוע השימוש בספרות ההודיות-ערביות, מבוססות המיקום, נוח יותר להבנה, לכתיבה ולביצוע חישובים מתמטיים, בהשוואה לשיטה הרומית.
הנה סרטון שמספר על הספרות ההודיות-ערביות:
http://youtu.be/gulApUKih2w?t=1m34s
המספרים הללו יצרו את מערכת המספרים המודרנית (מתורגם):
https://youtu.be/cZH0YnFpjwU
הספרות הרומיות שהיו נהוגות לפני כן (מתורגם):
https://youtu.be/1Rhd1OQcTGA
תולדות המתמטיקה העתיקה והמצאת האפס בידי ההודי ברהמהגופטה (עברית):
https://youtu.be/vOA4nelKn7s
תרומתו של פיבונאצ'י:
http://youtu.be/03uC9bhX0Rc
מצגת וידאו שמלמדת על הספרות ההודיות-ערביות:
http://youtu.be/gs4DCei79N8
הסבר להיגיון שבספרות, כשבכל אחת יש את מספר הזוויות שהיא מציינת:
http://youtu.be/XvekfZ0uTpc
תולדות החשבון או ההיסטוריה של המתמטיקה, שמראה את חשיבותן בהתפתחות המדע הזה:
http://youtu.be/cy-8lPVKLIo
ואיך נוצרו והתפתחו המספרים?
https://youtu.be/ggOPJ8gafPo?long=yes
השחמט הוא משחק לוח שמיועד לשני שחקנים. אפשר לומר עליו שהוא "ספורט למוח", משחק של חוכמה וסבלנות. כיום שחמט הוא גם ענף ספורט של ממש ומתקיימות תחרויות שחמט בכל העולם.
השחמט הוא מהמשחקים הנפוצים והמורכבים ביותר שהתפתחו בתרבות האנושית. אדם העוסק במשחק שחמט באופן מקצועי נקרא שחמטאי ואלופי השחמט נאבקים על תארים של "אמנים" ו" רבי-אמנים".
ניצחון במשחק השחמט מושג כשהמלך של אחד הצדדים מאוים ואינו יכול להימלט מהאיום או להתגבר עליו. ובאמת המקור ההיסטורי של השם "שחמט" בא מפרסית: "שאה מט". פירושו בפרסית הוא "מארב למלך" או "המלך חסר אונים".
#תולדות השחמט
מקורו של השחמט לא מובהר לחלוטין. משערים שהתפתח באימפריה כלשהי בעולם העתיק: סין, הודו, מצרים, או פרס. הערכות רבות גורסות שדמיונו הרב למשחק הלוח ההודי צ'טורנגה קושר אותו להודו.
ההשערה היא שמקורותיו הם בסביבות 1,500 שנה אחורה, במאה ה-6 לספירה. משערים שמשם המשחק עבר למדינות בדרום מזרח אסיה והגיע גם לפרס, למזרח התיכון ולאירופה.
השטרנג', גרסתו הפרסית של המשחק, היא שהגיעה לאירופה, כנראה עם כיבוש ספרד.
בתקופת הרנסנס המשחק כבש כמה מהגדולים של אותם ימים. איוריו של לאונרדו דה וינצ'י זוהו בספרו משנת 1500 של המתמטיקאי האיטלקי לוקה פאצ'ולי, בו ניתח מי שידוע כחלוץ החשבונאות יותר מ-100 מהלכים ואסטרטגיות בשחמט. בימינו נותר רק עותק אחד של הספר.
השחמט, המכונה לא פעם "משחק המלכים", היה פופולרי גם בקרב גנרלים. אפילו נפוליאון שיחק בו, אף שגילה שהקשר בין ניצחון בשדה הקרב להצלחה על הלוח הוא קלוש במיוחד. פעם הוא אפילו ניסה להימלט מגלותו באי סנט הלנה כשהוא מסתתר בתוך מערכת שחמט משנהב.
בשלבים שונים היו הבריטים, האמריקאים והרוסים למובילים עולמיים בעולם השחמט, כל אחת בתורה.
עד שנות ה -70 של המאה ה-20 שחמט היה משחק איטי. כללים חדשים שהוכנסו אז הפכו אותו למהיר ואגרסיבי יותר.
החל משנות ה-90 התמודדו אלופים עם מחשב שהתבססו על בינה מלאכותית. ב-1996 ניצח בקלות אלוף העולם, רב האמן גארי קספרוב, את Deep Blue של IBM. שנה אחר כך הוא כבר ספג תבוסה מוחצת. עוד 6 שנים, ב-2003, התחרה קספרוב שוב, הפעם במחשב Deep Junior המשופר, וה"שניים" סיימו את הטורניר בתיקו.
הנה תולדות משחק השחמט (מתורגם):
https://youtu.be/YeB-1F-UKO0
ילד בן 9, הצעיר ביותר בתולדות ארה"ב שהפך לאמן שחמט, משחק משחק סימולטני, נגד שחקנים רבים במקביל:
http://youtu.be/UGvdLm-eF-g
סרטון אנימציה שמראה משחק שחמט בתור מלחמה של ממש:
http://youtu.be/UkOgGdZIdCc
ותכנית חינוכית על תולדות השחמט (עברית):
https://youtu.be/YP75dZgWmHQ?long=yes
המצאות הודיות
מַנְדָּלָה היא ציור מעגל שנובע ממרכזו. המנדלה מורכבת מעיגול שבו מוצג ציור, או סימן גרפי דומה. אמונות שונות ותרבויות שונות, במיוחד הבודהיזם וההינדואיזם, קידשו את המנדלה וראו בה סמל מרכזי.
בדתות של הודו ראו בה סמל ליקום ולצורה שלו.
יש למנדלה שימוש חשוב בטיפולים באמנות, בעבודה טיפולית והיא משמשת ככלי להתפתחות רוחנית בהינדואיזם ובבודהיזם.
מקור המילה מנדלה הוא משפת הסנסקריט ההודית, שבה פירושה הוא "מרכז", או "מעגל", רמז למעגל המקודש של ההודים.
הנה הסבר על המנדלה (עברית):
http://youtu.be/dezE3_aCGHQ?t=42s
על המנדלה באנגלית:
https://youtu.be/gYBBsxrsJOw
הכהן הגדול של המנדלות בישראל, מסביר על המנדלה (עברית):
http://youtu.be/eZWKJf4JxDE
ומדריך ראשוני לציור מנדלות (עברית):
http://youtu.be/cCyBqOBCSeE
מנדלה היא סוג של ציור פולחני רוחני, בצורת מעגל שמתחיל או נובע מהמרכז שלו. הפירוש של מַנְדָּלָה בסנסקריט הוא "מרכז" או "מעגל" והוא מסמל את העולם המתקיים.
אחד הטקסים המרתקים בתבל הוא זה של מנדלת החול הטיבטית (Sand Mandala). בטקס יוצרים מנדלה ענקית במשך זמן רב ואז מחריבים אותה.
מנדלות החול הללו הן חלק מפולחן דתי שבו הנזירים יוצרים מנדלה זמנית, אמנות שנולדת כל פעם מחדש ולא מתקיימת יותר. מדובר בחלק ממסורת טיבטית בודהיסטית שבמרכזה יצירה ולאחר מכן הרס של מנדלות שקושטו בחול צבעוני.
הטקס נפתח בשרטוט של הצורות הגיאומטריות, על ידי הנזירים. הצורות הללו הן שיוצרות את תבנית המנדלה וישמשו לאחר מכן להנחת החול.
בהמשך מתבצע החלק הכולל את עבודת הנזירים הבודהיסטים בטיבט, שעמלים במשך שבועות על יצירת המנדלה המרהיבה שעשויה מגרגרי חול. באמצעות צינורות דקיקים, שופכים הנזירים את גרגרי החול הצבעוניים, לפי התבנית של המנדלה.
במקור, אגב, נהגו הנזירים להשתמש בגרגרים כתושים של אבן צבעונית. כיום הם משתמשים בחול צבוע בצבעים עזים, מה שהופך את המנדלה לססגונית אף יותר.
שיא התהליך הוא טקס בו הנזירים מתפללים, לאחר סיום יצירת המנדלה, במלמולים מסקרנים, חלקם בקול נמוך מאוד, תוך ליווי של עצמם בפעמוני יד עדינים.
אחרי שהם מסיימים להתפלל, הורסים הנזירים, ברגע אחד, את המנדלה שיצרו בעמל כה רב ומתמשך.
ההשתתפות בטקס המסקרן והמרתק היא חוויה של ממש. כל התהליך נועד מבחינה רוחנית לסמל את ארעיות הטבע החומרי, לעומת נצחיות הרוח.
הנה סיפורה של מנדלת החול בטיבט (עברית):
https://youtu.be/WBrYUlOYK0U
הסבר על המנדלה הקדושה הזו באנגלית:
https://youtu.be/G58Pujijsqc
כך מייצרים הנזירים את מנדלות החול עם סימונים גיאומטריים מדויקים:
https://youtu.be/IYVcjFhpsHc
אמן ישראלי מתאר את מנדלות החול שהוא עושה ומטרתן (עברית):
https://youtu.be/eZWKJf4JxDE
מנדלת חול בטיבט נוצרת בהילוך מהיר:
https://youtu.be/BOQHk24GDL0
והטקס בסיום העבודה על מנדלת החול הטיבטית:
https://youtu.be/GA3su0ECdPc
