שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מה ההסתברות ללדת תאומים זהים?
תאומים זהים הם עוברים שנוצרו בלידה אחת, עם מטען גנטי זהה. זהו המקרה היחידי בטבע שבו קיימים שני יצורים נפרדים שיש להם מטען גנטי זהה. כמו כל עובר, גם התאומים הזהים הם שילוב של ביצית וזרעון, רק שהם נוצרים כתוצאה מהפריה אחת - ביצית אחת מופרית מזרעון אחד ונחלקת לשניים. כלומר, תאומים זהים מתפתחים כתוצאה מפיצול של עובר בודד, מספר ימים לאחר שההפריה מתרחשת.
תאומים זהים נוצרים אחת למאתיים וחמישים לידות. בישראל נולדים כ-400-500 זוגות תאומים זהים מדי שנה.
הנה תצפית מדהימה על התהליך הביולוגי שבו ביצית מתפצלת ויוצרת תאומים זהים:
http://youtu.be/sOBvRhXIJN4
תופעה מדהימה של עיירה ברזילאית המלאה בזוגות תאומים:
https://youtu.be/_YxjdfP4qBU
אחוז התאומים בעיירה הזו גדול ב-1000 אחוז מעל הממוצע העולמי:
https://youtu.be/ItHrNPxRY-A
ומתיחות שאפשר לעשות רק עם תאומים זהים:
http://youtu.be/GRHeiVmUR5w
מהי הסתברות?
אי-ודאות היא אחד הדברים שמלווים אותנו בחיים. לא פעם אנו חשים בחוסר וודאות, מכיוון שאין לנו יכולת לחזות את מזג האוויר, תוצאות של אירועי ספורט, או תוצאות של בחירות. למצבים כאלו יש כלי שיכול לסייע - הִסְתַּבְּרוּת (Probability).
הסתברות היא מושג מתמטי שמבטא את הסבירות שמאורע מסוים יתרחש. לעיתים יש לנו מושג מה סביר שיקרה, גם אם איננו יודעים בודאות מה יקרה. תורת ההסתברות מכמתת את "הסביר" ומודדת אותו באופן מדויק.
מדידת הסתברות של מאורע מסוים היא בסקאלה שבין 0 ל־1. מאורע בלתי אפשרי מקבל הסתברות 0, בעוד הסתברות 1 ניתנת למאורע שיש ודאות מוחלטת שיקרה. לעיתים קורה שמשתמשים באחוזים, בין 0% ל־100%, כדי לבטא הסתברות.
היסטורית יש להסתברות עבר ארוך. עוד במאה ה-16 עסקו בחישובי הסתברויות. מאז הלך הענף הזה במתמטיקה והתפתח, כשהשימוש בו מסייע בתחומי הכלכלה, העסקים, ההימורים ועוד.
כך למשל קובעות חברות ביטוח את מחיר ביטוח החיים על פי ההסתברות שהמבוטח ייפגע או ימות במהלך תקופת הביטוח. חזאי מזג אוויר בוחנים את ההסתברות לגשם, בכדי להציע תחזית אמינה.
גם מהמרים נעזרים בחישובים כדי לדעת את הסיכויים שיזכו בהגרלות או במשחקים וכך הלאה.
הנה הדרך שבה ניתן לראות הסתברות (מתורגם):
https://youtu.be/Kgudt4PXs28
הדגמת ההסתברות דרך ניחושים (מתורגם):
https://youtu.be/3V2omKRX9gc
בעיית מונטי הול מדגימה יפה את ההסתברות וכמה שאינה אינטואיטיבית (עברית):
https://youtu.be/4stFDiXWuYk
מה ההסתברות לזכות בפיס כלומר בלוטו (עברית)?
https://youtu.be/_vyjrgU7hng
ודוגמה להסתברות שנוגדת את האינטואיציה שלנו (מתורגם):
https://youtu.be/Ghbkv0MKV-w
מה הקשר בין קופים לגאונות?
משפט הקוף המקליד גורס שבסופה של הקלדת כל רצף ארוך מספיק של תווים אקראיים, יופיע כמעט בוודאות, כל טקסט אפשרי. התאוריה אומרת שאם תהיה ההקלדה אינסופית, יווצר בוודאות כל טקסט שהוא, כולל נבואות, טקסטים של שייקספיר ורשימות מכולת מאתמול. זהו סדר שנוצר מתוך כאוס.
מתמטיקאי צרפתי בשם אמיל בורל היה הראשון שכתב את הדברים. הוא ניסח זאת כך שניתן לומר שאם קוף יקליד תווים אקראיים במכונת כתיבה, לבסוף הוא יקליד גם את כל כתבי וויליאם שייקספיר.
בגישה זו ניתן לענות גם לטענה שנבואות קדומות ניבאו כל מיני אירועים שקרו במאה האחרונה (כולל עלית היטלר, רצח רבין ועוד). הם גורסים בפשטות שבתנ"ך ניתן למצוא "רמזים" לאירועים אלה ואחרים, אם רק מחפשים מספיק...
אבל מה ניתן להפיק מהקלדות אקראיות כמו מה שהקופים מקלידים? - משפט הקוף המקליד הוא ניסוי מחשבתי בלבד. בניסוי שערכו ב-2003 בגן חיות, הסתבר שקופי המקוק שקיבלו 6 מכונות כתיבה למשך חודש כתבו רק 5 עמודים, שרובם היו מלאים באות "S" והרסו את מכונות הכתיבה.
אתר שמדמה את הקופים המקלידים בעזרת תוכנה שיוצרת אינספור הקלדות אקראיות, הצליח להפיק 24 אותיות רצופות מתוך המחזה "הנרי הרביעי" של שייקספיר.
על תיאורמת הקוף האינסופי, או משפט הקוף המקליד (ללא מילים):
http://youtu.be/Imd_Vhg8Afk?t=13s
תיאור ציורי של תיאורת הקופים האינסופיים:
http://youtu.be/ipdRhgLWGXo
על תוצאותיו של הניסוי עם קופים ומכונות כתיבה:
http://youtu.be/pDUn7dDigvI
וסימולטור שמדמה את תיאורמת הקופים האינסופיים:
http://youtu.be/iSn8L6Uj5L8
מהי אקראיות והאם מחשב מסוגל לייצר אותה?
אקראיות היא אי-סדר. כשאין שום תבנית או סדר מוגדרים, נוצרת אקראיות. מספר אקראי למשל, הוא מספר ש"הוגרל" ללא שום יכולת לחזות אותו, באופן מקרי לחלוטין.
מחשב לעומת זאת הוא דטרמיניסטי. כל מספר שהמחשב יעלה על הדעת נקבע על ידי אירועים קודמים, או על ידי תכנות מראש. אין בו הגרלה או התנהגות בלתי צפויה. זה חלק מהיתרון שבו וסוד היציבות שלו, אבל בתחום האקראיות הוא לא משהו ואין בו שמץ של אקראיות. ומכיוון שהמחשב אינו מסוגל לייצר אקראיות של ממש, כדי לקבל ממחשב מספר אקראי, או סדרת מספרים שונה בכל הרצה של תכנית, על המחשב להשתמש במקור שתמיד יתן ערך שונה. המספרים שיופקו ממנו נראים אקראיים, על אף שאינם כאלה.
כזה הוא למשל השעון הפנימי של המחשב, שמדמה מחולל אקראיות בצורה טובה מאד. אם ניקח למשל את מספר השניות שעבר מאז תאריך מסויים יתקבל ערך שהוא בלתי תלוי ולכן הוא קרוב לאקראיות של ממש. הפעלת מחולל, אלגוריתם שעוד יותר "מבלבל" אותו, יהפוך אותו למספר דומה ביותר למספר אקראי של ממש. בצורה דומה גם תנועות העכבר יכולות לספק מספרים שמדמים מספרים אקראיים.
הנה הדרך שבה מחשבים מתמודדים עם אקראיות (עברית):
http://youtu.be/Td3MUJ3I1Io
מהי בעיית מונטי הול?
זו אחת החידות המתמטיות המפורסמות בעולם, שמקורה בתורת המשחקים ויש לה הסבר סטטיסטי די פשוט, אבל רבים מתקשים לקבל ולהבין אותו והוא נתפס אצלם כפרדוקסלי ונוגד את ההיגיון.
בעיית "מונטי הול" (Monty Hall problem) היא בעיה מפורסמת בתורת ההסתברות, שפתרונה אינו אינטואיטיבי, כלומר סותר את האינטואיציה שלנו (ההיגיון העממי).
החידה, שיש הקוראים לה "הפרדוקס של מונטי הול", מבוססת על שעשועון טלוויזיה אמריקאי פופולרי משנות ה-60 שנקרא "Let's Make a Deal".
שמו של מנחה התכנית היה מונטי הול והוא גילם את תפקיד המנחה הערמומי בהצלחה כה רבה, שהבעיה נקראת על שמו. ואגב, הבעיה היא ממש לא חדשה ומקורה עוד במאה ה-19 כשבסוף שנות ה-50 פרסם אותה מחדש מרטין גרדנר.
בישראל קראו לתכנית הטלוויזיה הזו "עשינו עסק" ומכאן שיש המכנים אותה "בעיית עשינו עסק".
#מה הבעיה?
נציג את הבעיה באופן כזה:
ישנן 3 דלתות סגורות. מאחורי אחת מהן יש פרס יקר ערך, בדרך כלל מכונית, ומאחורי שתי האחרות יש עזים. מן הסתם הן גם לא נוסעות טוב וערכן גם נמוך צזה של מכונית.
המשתתף, או "השחקן" בשעשועון, בוחר באקראי דלת אחת. לאחר שבחר, פותח המנחה, שיודע מה מסתתר מאחורי כל דלת, דלת אחרת שבה בוודאות יש עז.
עכשיו, משנפתחה דלת עם עז, מקבל השחקן את האפשרות לשנות את בחירתו ולבחור בדלת הנותרת הסגורה במקום בדלת שבחר בה בתחילה.
וכאן נשאלת השאלה המרכזית: האם כדאי לו לשנות את הבחירה?
לא נשאיר אתכם במתח ונאמר מיד שכן.
כדאי לו לשנות את בחירתו, מכיוון ש:
- בהתחלה הסיכוי שהמכונית מאחורי הדלת שבחרת הוא 1/3.
- הסיכוי שהמכונית מאחורי אחת מהדלתות האחרות הוא 2/3.
- כשהמנחה פותח דלת עם עז ומאפשר לשחקן לבחור שוב, הסיכוי שהמכונית נמצאת מאחורי הדלת שלא נבחרה וטרם נפתחה הוא 2/3.
וזו בדיוק הסיבה שהעברת הבחירה לדלת השנייה מגדילה את סיכוייו לזכות במכונית מסיכוי של 1/3 לסיכוי טוב יותר - של 2/3.
#הסבר
הבעיה מבהירה כיצד הידע הנוסף של המנחה (הידיעה מה מאחורי הדלתות) משנה את ההסתברויות, וזה לא אינטואיטיבי בהתחלה. אם נחשב את האפשרויות עם מספר גדול של דלתות (למשל 1,000 דלתות), יהיה קל לראות שהחלפת הבחירה כמעט תמיד מביאה להצלחה.
כך שברור שברוב המקרים כדאי לשנות את הבחירה לאחר שהמנחה חושף דלת עם עז.
#אנקדוטה היסטורית
מי שאחראית לפרסום של הבעיה היא בעלת הטור האמריקאית מרילין ווס סוונט (Vos Savant), מי שלפי ספר השיאים של גינס נחשבה לבעלת ה-IQ הגבוה ביותר בעולם.
בטור השאלות והתשובות שלה סוונט התייחסה לבעיית מונטי הול וגם נתנה לה את הפתרון הנכון, שאומר שעדיף להחליף את הבחירה. בימים שאחרי הפרסום והתקיפו אותה המוני קוראים, אלפים שלעגו ומיהרו להוקיע אותה, על מה שהם הגדירו כ“טעות”. ביניהם היו גם מספר מתמטיקאים מכובדים.
כמובן שבסוף הסתבר שהיא צדקה ומי שטעו הם דווקא הלועגים. במהלך השנים, אגב, הופיע הספר “המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה”, בו תוארה התנפלות הקןראים עליה וצוטטו אמירות מתוך חלק מאותם מכתבים נזעמים שהם שלחו לה.
הנה דילמת מונטי הול (עברית):
https://youtu.be/4stFDiXWuYk
במה תבחרו? (מתורגם)
https://youtu.be/9vRUxbzJZ9Y
סיפורו של שעשועון הטלוויזיה הזה:
https://youtu.be/4Lb-6rxZxx0
הסבר של פרדוקס מונטי הול (עברית):
https://youtu.be/I4dlT9s2zP8
ודוגמה לפתרון מעולם הסרטים (מתורגם):
https://youtu.be/Q5nCtgcL4jU
את העניין הזה מלמדים בקורסים לסטטיסטיקה (עברית):
https://youtu.be/m6S91Uh7rEg?long=yes
מהי תוחלת חיים ואיך מודדים אותה?
האם סטטיסטיקה יכולה להאריך את חיינו? - נראה שלא ממש. אבל היא בהחלט יכולה לזהות שינויים בתוחלת החיים שלנו ולהצביע על הסיכויים שלנו לחיות יותר או פחות.
אבל מהי תוחלת חיים?
תוחלת החיים (Life expectancy), בפשטות, אומרת עד איזה גיל יש לנו את הסיכוי לחיות.
במונחים סטטיסטיים, "תוחלת" ערך נצפה (Expected value) של ממוצע הערכים אותם צפוי משתנה לקבל. במקרה הזה מדובר במדד סטטיסטי שמנבא את הזמן שנותר לפרטים מתוך קבוצה נתונה להישאר בחיים.
כמדד סטטיסטי כמובן שהתוחלת היא סוג של ממוצע. כל ניבוי סטטיסטי מנסה להציע את התחזית המדויקת ביותר אך הוא עדיין סטטיסטי. כפרטים בחברה אנו חיים את חיינו הפרטיים באופן אחר, מטפלים אחרת בגופנו, ניזונים מאוכל שונה, חשופים לזיהומים, סיכונים או סגנונות חיים המשתנים מאדם לאדם וכך הלאה.
אבל כללית, תוחלת החיים היא מדד מצוין לקבלת החלטות והשקעה בעתיד של חברה.
במהלך הדורות למד המין האנושי לחיות יותר ויותר שנים. כיום ברור שבקצב התפתחות המדע והטכנולוגיה ואם לא יתרחשו התפתחויות קשות, חלקן נובעות לצערנו מההתנהגות האנושית כלפי כדור הארץ, תמשיך מגמת הגדילה של תוחלת החיים האנושית.
דוגמאות למגמה הזו? - הבה נביט לשינויים ההיסטוריים בתוחלת החיים. חוקרים מעריכים שבתקופת האבן הקדומה הייתה תוחלת החיים 18 שנה בלבד. בתקופת הברונזה היא עלתה ל-33 שנה, בתקופה הרומית כ-25 שנה, תוחלת חיים שנמשכה פחות או יותר עד ימי הביניים, בשל היגיינה לקויה ותמותת תינוקות גבוהה.
היו אלה המהפכה המדעית ועידן ההשכלה שהביאו לשיפור בתנאי החיים והבריאות האנושית וכך מגיעה בסוף המאה ה-19 תוחלת החיים בארצות המפותחות לכ-50 שנה. חצי מאה אחר כך היא עולה לכ-65 שנה וכך הלאה.
יש סיכוי שהילדים הגדלים בימינו יהיו הדור הראשון שתוחלת החיים שלו תעבור את מחסום 100 השנים.
עוד על הארכת תוחלת החיים אפשר ללמוד בתגית "תוחלת חיים, היסטוריה".
#שתי הערות
צריך לומר שיש אי דיוק מודע במונח "תוחלת חיים". איננו יכולים לחשב את הזמן הצפוי שנותר לאדם לחיות, שזו תוחלת החיים עצמה. מה שאנו כן יכולים לבצע הוא אומדן של תוחלת החיים. ועדיין, לשם קיצור, נהוג לכנות את אומדן תוחלת החיים בשם "תוחלת חיים".
בנוסף, חשוב לדעת שהמושג "תוחלת חיים" מתייחס תמיד לתוחלת החיים בזמן הלידה. זוהי בעצם התוחלת של מספר שנות החיים הצפויות לתינוק ביום היוולדו.
הנה תוחלת החיים ומדידתה:
https://youtu.be/7qFyX6KLCoY
כמה זמן אנו עתידים לחיות?
https://youtu.be/vjlRc1lEIvk
לסטטיסטיקה של מדינות יש תפקיד חשוב בחקר העתיד (מתורגם):
https://youtu.be/RLmKfXwWQtE
למקום בו אדם נולד וחי יש השפעה על תוחלת החיים:
https://youtu.be/KvwIW2dlUj8
וכתבת טלוויזיה על הארכת תוחלת החיים (עברית):
https://youtu.be/_b0rNa-ts2g?t=21s
תאומים זהים הם עוברים שנוצרו בלידה אחת, עם מטען גנטי זהה. זהו המקרה היחידי בטבע שבו קיימים שני יצורים נפרדים שיש להם מטען גנטי זהה. כמו כל עובר, גם התאומים הזהים הם שילוב של ביצית וזרעון, רק שהם נוצרים כתוצאה מהפריה אחת - ביצית אחת מופרית מזרעון אחד ונחלקת לשניים. כלומר, תאומים זהים מתפתחים כתוצאה מפיצול של עובר בודד, מספר ימים לאחר שההפריה מתרחשת.
תאומים זהים נוצרים אחת למאתיים וחמישים לידות. בישראל נולדים כ-400-500 זוגות תאומים זהים מדי שנה.
הנה תצפית מדהימה על התהליך הביולוגי שבו ביצית מתפצלת ויוצרת תאומים זהים:
http://youtu.be/sOBvRhXIJN4
תופעה מדהימה של עיירה ברזילאית המלאה בזוגות תאומים:
https://youtu.be/_YxjdfP4qBU
אחוז התאומים בעיירה הזו גדול ב-1000 אחוז מעל הממוצע העולמי:
https://youtu.be/ItHrNPxRY-A
ומתיחות שאפשר לעשות רק עם תאומים זהים:
http://youtu.be/GRHeiVmUR5w
אי-ודאות היא אחד הדברים שמלווים אותנו בחיים. לא פעם אנו חשים בחוסר וודאות, מכיוון שאין לנו יכולת לחזות את מזג האוויר, תוצאות של אירועי ספורט, או תוצאות של בחירות. למצבים כאלו יש כלי שיכול לסייע - הִסְתַּבְּרוּת (Probability).
הסתברות היא מושג מתמטי שמבטא את הסבירות שמאורע מסוים יתרחש. לעיתים יש לנו מושג מה סביר שיקרה, גם אם איננו יודעים בודאות מה יקרה. תורת ההסתברות מכמתת את "הסביר" ומודדת אותו באופן מדויק.
מדידת הסתברות של מאורע מסוים היא בסקאלה שבין 0 ל־1. מאורע בלתי אפשרי מקבל הסתברות 0, בעוד הסתברות 1 ניתנת למאורע שיש ודאות מוחלטת שיקרה. לעיתים קורה שמשתמשים באחוזים, בין 0% ל־100%, כדי לבטא הסתברות.
היסטורית יש להסתברות עבר ארוך. עוד במאה ה-16 עסקו בחישובי הסתברויות. מאז הלך הענף הזה במתמטיקה והתפתח, כשהשימוש בו מסייע בתחומי הכלכלה, העסקים, ההימורים ועוד.
כך למשל קובעות חברות ביטוח את מחיר ביטוח החיים על פי ההסתברות שהמבוטח ייפגע או ימות במהלך תקופת הביטוח. חזאי מזג אוויר בוחנים את ההסתברות לגשם, בכדי להציע תחזית אמינה.
גם מהמרים נעזרים בחישובים כדי לדעת את הסיכויים שיזכו בהגרלות או במשחקים וכך הלאה.
הנה הדרך שבה ניתן לראות הסתברות (מתורגם):
https://youtu.be/Kgudt4PXs28
הדגמת ההסתברות דרך ניחושים (מתורגם):
https://youtu.be/3V2omKRX9gc
בעיית מונטי הול מדגימה יפה את ההסתברות וכמה שאינה אינטואיטיבית (עברית):
https://youtu.be/4stFDiXWuYk
מה ההסתברות לזכות בפיס כלומר בלוטו (עברית)?
https://youtu.be/_vyjrgU7hng
ודוגמה להסתברות שנוגדת את האינטואיציה שלנו (מתורגם):
https://youtu.be/Ghbkv0MKV-w
משפט הקוף המקליד גורס שבסופה של הקלדת כל רצף ארוך מספיק של תווים אקראיים, יופיע כמעט בוודאות, כל טקסט אפשרי. התאוריה אומרת שאם תהיה ההקלדה אינסופית, יווצר בוודאות כל טקסט שהוא, כולל נבואות, טקסטים של שייקספיר ורשימות מכולת מאתמול. זהו סדר שנוצר מתוך כאוס.
מתמטיקאי צרפתי בשם אמיל בורל היה הראשון שכתב את הדברים. הוא ניסח זאת כך שניתן לומר שאם קוף יקליד תווים אקראיים במכונת כתיבה, לבסוף הוא יקליד גם את כל כתבי וויליאם שייקספיר.
בגישה זו ניתן לענות גם לטענה שנבואות קדומות ניבאו כל מיני אירועים שקרו במאה האחרונה (כולל עלית היטלר, רצח רבין ועוד). הם גורסים בפשטות שבתנ"ך ניתן למצוא "רמזים" לאירועים אלה ואחרים, אם רק מחפשים מספיק...
אבל מה ניתן להפיק מהקלדות אקראיות כמו מה שהקופים מקלידים? - משפט הקוף המקליד הוא ניסוי מחשבתי בלבד. בניסוי שערכו ב-2003 בגן חיות, הסתבר שקופי המקוק שקיבלו 6 מכונות כתיבה למשך חודש כתבו רק 5 עמודים, שרובם היו מלאים באות "S" והרסו את מכונות הכתיבה.
אתר שמדמה את הקופים המקלידים בעזרת תוכנה שיוצרת אינספור הקלדות אקראיות, הצליח להפיק 24 אותיות רצופות מתוך המחזה "הנרי הרביעי" של שייקספיר.
על תיאורמת הקוף האינסופי, או משפט הקוף המקליד (ללא מילים):
http://youtu.be/Imd_Vhg8Afk?t=13s
תיאור ציורי של תיאורת הקופים האינסופיים:
http://youtu.be/ipdRhgLWGXo
על תוצאותיו של הניסוי עם קופים ומכונות כתיבה:
http://youtu.be/pDUn7dDigvI
וסימולטור שמדמה את תיאורמת הקופים האינסופיים:
http://youtu.be/iSn8L6Uj5L8
אקראיות היא אי-סדר. כשאין שום תבנית או סדר מוגדרים, נוצרת אקראיות. מספר אקראי למשל, הוא מספר ש"הוגרל" ללא שום יכולת לחזות אותו, באופן מקרי לחלוטין.
מחשב לעומת זאת הוא דטרמיניסטי. כל מספר שהמחשב יעלה על הדעת נקבע על ידי אירועים קודמים, או על ידי תכנות מראש. אין בו הגרלה או התנהגות בלתי צפויה. זה חלק מהיתרון שבו וסוד היציבות שלו, אבל בתחום האקראיות הוא לא משהו ואין בו שמץ של אקראיות. ומכיוון שהמחשב אינו מסוגל לייצר אקראיות של ממש, כדי לקבל ממחשב מספר אקראי, או סדרת מספרים שונה בכל הרצה של תכנית, על המחשב להשתמש במקור שתמיד יתן ערך שונה. המספרים שיופקו ממנו נראים אקראיים, על אף שאינם כאלה.
כזה הוא למשל השעון הפנימי של המחשב, שמדמה מחולל אקראיות בצורה טובה מאד. אם ניקח למשל את מספר השניות שעבר מאז תאריך מסויים יתקבל ערך שהוא בלתי תלוי ולכן הוא קרוב לאקראיות של ממש. הפעלת מחולל, אלגוריתם שעוד יותר "מבלבל" אותו, יהפוך אותו למספר דומה ביותר למספר אקראי של ממש. בצורה דומה גם תנועות העכבר יכולות לספק מספרים שמדמים מספרים אקראיים.
הנה הדרך שבה מחשבים מתמודדים עם אקראיות (עברית):
http://youtu.be/Td3MUJ3I1Io
הסתברות
זו אחת החידות המתמטיות המפורסמות בעולם, שמקורה בתורת המשחקים ויש לה הסבר סטטיסטי די פשוט, אבל רבים מתקשים לקבל ולהבין אותו והוא נתפס אצלם כפרדוקסלי ונוגד את ההיגיון.
בעיית "מונטי הול" (Monty Hall problem) היא בעיה מפורסמת בתורת ההסתברות, שפתרונה אינו אינטואיטיבי, כלומר סותר את האינטואיציה שלנו (ההיגיון העממי).
החידה, שיש הקוראים לה "הפרדוקס של מונטי הול", מבוססת על שעשועון טלוויזיה אמריקאי פופולרי משנות ה-60 שנקרא "Let's Make a Deal".
שמו של מנחה התכנית היה מונטי הול והוא גילם את תפקיד המנחה הערמומי בהצלחה כה רבה, שהבעיה נקראת על שמו. ואגב, הבעיה היא ממש לא חדשה ומקורה עוד במאה ה-19 כשבסוף שנות ה-50 פרסם אותה מחדש מרטין גרדנר.
בישראל קראו לתכנית הטלוויזיה הזו "עשינו עסק" ומכאן שיש המכנים אותה "בעיית עשינו עסק".
#מה הבעיה?
נציג את הבעיה באופן כזה:
ישנן 3 דלתות סגורות. מאחורי אחת מהן יש פרס יקר ערך, בדרך כלל מכונית, ומאחורי שתי האחרות יש עזים. מן הסתם הן גם לא נוסעות טוב וערכן גם נמוך צזה של מכונית.
המשתתף, או "השחקן" בשעשועון, בוחר באקראי דלת אחת. לאחר שבחר, פותח המנחה, שיודע מה מסתתר מאחורי כל דלת, דלת אחרת שבה בוודאות יש עז.
עכשיו, משנפתחה דלת עם עז, מקבל השחקן את האפשרות לשנות את בחירתו ולבחור בדלת הנותרת הסגורה במקום בדלת שבחר בה בתחילה.
וכאן נשאלת השאלה המרכזית: האם כדאי לו לשנות את הבחירה?
לא נשאיר אתכם במתח ונאמר מיד שכן.
כדאי לו לשנות את בחירתו, מכיוון ש:
- בהתחלה הסיכוי שהמכונית מאחורי הדלת שבחרת הוא 1/3.
- הסיכוי שהמכונית מאחורי אחת מהדלתות האחרות הוא 2/3.
- כשהמנחה פותח דלת עם עז ומאפשר לשחקן לבחור שוב, הסיכוי שהמכונית נמצאת מאחורי הדלת שלא נבחרה וטרם נפתחה הוא 2/3.
וזו בדיוק הסיבה שהעברת הבחירה לדלת השנייה מגדילה את סיכוייו לזכות במכונית מסיכוי של 1/3 לסיכוי טוב יותר - של 2/3.
#הסבר
הבעיה מבהירה כיצד הידע הנוסף של המנחה (הידיעה מה מאחורי הדלתות) משנה את ההסתברויות, וזה לא אינטואיטיבי בהתחלה. אם נחשב את האפשרויות עם מספר גדול של דלתות (למשל 1,000 דלתות), יהיה קל לראות שהחלפת הבחירה כמעט תמיד מביאה להצלחה.
כך שברור שברוב המקרים כדאי לשנות את הבחירה לאחר שהמנחה חושף דלת עם עז.
#אנקדוטה היסטורית
מי שאחראית לפרסום של הבעיה היא בעלת הטור האמריקאית מרילין ווס סוונט (Vos Savant), מי שלפי ספר השיאים של גינס נחשבה לבעלת ה-IQ הגבוה ביותר בעולם.
בטור השאלות והתשובות שלה סוונט התייחסה לבעיית מונטי הול וגם נתנה לה את הפתרון הנכון, שאומר שעדיף להחליף את הבחירה. בימים שאחרי הפרסום והתקיפו אותה המוני קוראים, אלפים שלעגו ומיהרו להוקיע אותה, על מה שהם הגדירו כ“טעות”. ביניהם היו גם מספר מתמטיקאים מכובדים.
כמובן שבסוף הסתבר שהיא צדקה ומי שטעו הם דווקא הלועגים. במהלך השנים, אגב, הופיע הספר “המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה”, בו תוארה התנפלות הקןראים עליה וצוטטו אמירות מתוך חלק מאותם מכתבים נזעמים שהם שלחו לה.
הנה דילמת מונטי הול (עברית):
https://youtu.be/4stFDiXWuYk
במה תבחרו? (מתורגם)
https://youtu.be/9vRUxbzJZ9Y
סיפורו של שעשועון הטלוויזיה הזה:
https://youtu.be/4Lb-6rxZxx0
הסבר של פרדוקס מונטי הול (עברית):
https://youtu.be/I4dlT9s2zP8
ודוגמה לפתרון מעולם הסרטים (מתורגם):
https://youtu.be/Q5nCtgcL4jU
את העניין הזה מלמדים בקורסים לסטטיסטיקה (עברית):
https://youtu.be/m6S91Uh7rEg?long=yes
האם סטטיסטיקה יכולה להאריך את חיינו? - נראה שלא ממש. אבל היא בהחלט יכולה לזהות שינויים בתוחלת החיים שלנו ולהצביע על הסיכויים שלנו לחיות יותר או פחות.
אבל מהי תוחלת חיים?
תוחלת החיים (Life expectancy), בפשטות, אומרת עד איזה גיל יש לנו את הסיכוי לחיות.
במונחים סטטיסטיים, "תוחלת" ערך נצפה (Expected value) של ממוצע הערכים אותם צפוי משתנה לקבל. במקרה הזה מדובר במדד סטטיסטי שמנבא את הזמן שנותר לפרטים מתוך קבוצה נתונה להישאר בחיים.
כמדד סטטיסטי כמובן שהתוחלת היא סוג של ממוצע. כל ניבוי סטטיסטי מנסה להציע את התחזית המדויקת ביותר אך הוא עדיין סטטיסטי. כפרטים בחברה אנו חיים את חיינו הפרטיים באופן אחר, מטפלים אחרת בגופנו, ניזונים מאוכל שונה, חשופים לזיהומים, סיכונים או סגנונות חיים המשתנים מאדם לאדם וכך הלאה.
אבל כללית, תוחלת החיים היא מדד מצוין לקבלת החלטות והשקעה בעתיד של חברה.
במהלך הדורות למד המין האנושי לחיות יותר ויותר שנים. כיום ברור שבקצב התפתחות המדע והטכנולוגיה ואם לא יתרחשו התפתחויות קשות, חלקן נובעות לצערנו מההתנהגות האנושית כלפי כדור הארץ, תמשיך מגמת הגדילה של תוחלת החיים האנושית.
דוגמאות למגמה הזו? - הבה נביט לשינויים ההיסטוריים בתוחלת החיים. חוקרים מעריכים שבתקופת האבן הקדומה הייתה תוחלת החיים 18 שנה בלבד. בתקופת הברונזה היא עלתה ל-33 שנה, בתקופה הרומית כ-25 שנה, תוחלת חיים שנמשכה פחות או יותר עד ימי הביניים, בשל היגיינה לקויה ותמותת תינוקות גבוהה.
היו אלה המהפכה המדעית ועידן ההשכלה שהביאו לשיפור בתנאי החיים והבריאות האנושית וכך מגיעה בסוף המאה ה-19 תוחלת החיים בארצות המפותחות לכ-50 שנה. חצי מאה אחר כך היא עולה לכ-65 שנה וכך הלאה.
יש סיכוי שהילדים הגדלים בימינו יהיו הדור הראשון שתוחלת החיים שלו תעבור את מחסום 100 השנים.
עוד על הארכת תוחלת החיים אפשר ללמוד בתגית "תוחלת חיים, היסטוריה".
#שתי הערות
צריך לומר שיש אי דיוק מודע במונח "תוחלת חיים". איננו יכולים לחשב את הזמן הצפוי שנותר לאדם לחיות, שזו תוחלת החיים עצמה. מה שאנו כן יכולים לבצע הוא אומדן של תוחלת החיים. ועדיין, לשם קיצור, נהוג לכנות את אומדן תוחלת החיים בשם "תוחלת חיים".
בנוסף, חשוב לדעת שהמושג "תוחלת חיים" מתייחס תמיד לתוחלת החיים בזמן הלידה. זוהי בעצם התוחלת של מספר שנות החיים הצפויות לתינוק ביום היוולדו.
הנה תוחלת החיים ומדידתה:
https://youtu.be/7qFyX6KLCoY
כמה זמן אנו עתידים לחיות?
https://youtu.be/vjlRc1lEIvk
לסטטיסטיקה של מדינות יש תפקיד חשוב בחקר העתיד (מתורגם):
https://youtu.be/RLmKfXwWQtE
למקום בו אדם נולד וחי יש השפעה על תוחלת החיים:
https://youtu.be/KvwIW2dlUj8
וכתבת טלוויזיה על הארכת תוחלת החיים (עברית):
https://youtu.be/_b0rNa-ts2g?t=21s
