שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מהו משולש סירפינסקי?
משולש שרפינסקי, שנקרא גם ספוג שרפינסקי או משולש סירפינסקי, הוא אחד הפרקטלים המפורסמים. את ההיכרות עימו עשו המתמטיקאים בשנת 1915. המשולש קיבל את שמו מהמתמטיקאי הפולני שתיאר אותו לראשונה, ואצלב שרפינסקי.
משולש שרפינסקי הוא דוגמה מצוינת ופשוטה במיוחד לפרקטל, צורה שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה, עד אינסוף. הוא בנוי משלושה עותקים שלו שהוקטנו בחצי שוב ושוב.
הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר, להדגמת הרקורסיה הפשוטה:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
סרט אפל מתורגם ומדהים על הפרקטלים ומשולש שרפינסקי בתוכם (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
סרטון בגרפיקת מחשב של "משולש סירפינסקי" שנבנה ברקורסיה בתלת-מימד:
http://youtu.be/P5EkdJRtF-4
משולש שרפינסקי מסוכריות של החג הנוצרי המעט מפחיד "ליל כל הקדושים":
http://youtu.be/z8ZWlUamNPI
וכך יוצרים פרקטלים כמו משולש סרפינסקי:
http://youtu.be/XwWyTts06tU?t=1m22s
מהם פרקטלים?
הפרקטל הוא צורה שככל שנביט בה קרוב יותר, נראה את אותה הצורה חוזרת על עצמה בכל קנה מידה. זוהי צורה גאומטרית שמורכבת פנימה, שוב ושוב, מעותקים של עצמה, מוקטנים יותר ויותר. ככל שנתבונן לתוך חלקי הפרקטל, נראה שם תמיד חלקים הדומים לו, כך שכל פרט זעיר בצורה, דומה לצורה המקורית והגדולה ביותר.
בגרפיקה ממוחשבת עושים המון שימוש בפרקטלים. הסיבה היא שנוסחאות מתמטיות קלות יחסית מאפשרות ליצור הרים ומרקמים מורכבים ליצירה בצורה אחרת. גם בפיזיקה משתמשים בפרקטלים למחקרים על תורת הכאוס וכדומה.
בטבע אפשר לראות מבנים שונים שדומים לפרקטלים. מבנים בטבע כמו צורת הכרובית, מבנה העורקים של העלה, התפצלות כלי הדם בגוף, פתית שלג או צורת קו חוף (במיוחד של הפיורדים בנורווגיה) - כל אלה מזכירים מאד את הפרקטלים ומראים שבטבע יש שיטה גם בדברים שאינם מובנים בצורה מתמטית.
הנה סרטון הסבר למושג הפרקטל (מתורגם):
http://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
הסבר מילולי על הפרקטלים - מהתבניות היותר מעניינות שבטבע (עברית):
http://youtu.be/ofA2tBvcbhw?t=3m38s
המתמטיקה של הפרקטלים בסרטון מקסים לפי ז'אנר הסרט האפל (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
להדגמת הרקורסיה הפשוטה, הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
ופרקטל מתמטי ללא סוף, בגרפיקה ממוחשבת ואנימציה מוסיקה נהדרים:
https://youtu.be/hRrBnI5L0u8?long=yes
איפה יש פרקטלים בטבע?
ודאי היכרתם או קראתם באאוריקה על הפרקטלים, אותן צורות מתמטיות מיוחדות שהתגלו על ידי חוקר הפרקטלים בנואה מנדלברוט והעסיקו חוקרים רבים מתחילת המאה ה-20.
את הפרקטלים ניתן לזהות בכך שיש להם דמיון עצמי. כלומר, כל חלק בהם דומה לדבר השלם. גם בטבע ישנם לא מעט דברים שאם נביט בחלק קטן מהם נגלה את אותה צורה של השלם - בקנה מידה קטן. וגם בחלק הקטן הזה, אם נביט בעזרת זכוכית מגדלת, נוכל לראות שחלקיו שלו דומים גם הם לשלם וחלק הזה וכך זה יכול להמשיך עוד ועוד פנימה. תמיד אותה צורה ושמה...
אז אומרים לכם שכל כך הרבה פרקטלים יש בטבע ואפשר לראותם כמעט בכל מקום. אבל איפה זה בדיוק בכל מקום?
ובכן, בכרובית, בברקים, בריאות, שרכים, מפלים, בפתיתי שלג, בנימי העלה, בענפי העצים, גבישי הקרח, בענני קומולוס, בכלי הדם שלנו, בבועות סבון, בחופי ים מפורצים של פיורדים נורווגיים או בחופי אגמים כמו אגם נאצר שבמצרים, בשוניות אלמוגים במעמקי הים ועד לגלקסיות הענקיות שבחלל.
כן. בטבע נוכל למצוא צורות רבות שיש להן תכונות פרקטליות. דוגמה מפורטת היא לצלם את אורכו של חוף ים ממטוס ולראות שצורתו דומה מאד לזו שנראה בטיול לאורך החוף, כשנביט בפרטים הקטנים שלו. גם מדידת אורכו של קו החוף תגלה לנו דבר מדהים - אורכו הוא בפשטות אינסופי. זה קורה משום שקנה המידה משפיע על המדידה. אם נחשב אורך חוף מתמונת לוויין נקבל אורך קטן בהרבה מזה שיתקבל אם נמדוד את הדרך שעושה נמלה ההולכת לאורכו. הסיבה היא שהשיפולים והשיפועים שחווה הנמלה בקו החוף מאריכים לה את הדרך בטירוף. זה סוג של פרקטל - הנמלה רואה את צורת קו החוף, שהיא זהה לצורה שמצלם הלווים מהחלל.
פרקטלית היא גם הכרובית למשל. אם נחתוך אותה לאורך, נראה שיש בה התפצלויות שיוצרות המון כרוביות קטנות, שבעצמן מתפצלות כל אחת לכרוביות זעירות, שבכל אחת יש כרוביות מיקרוסקופיות והלאה.
בצורה דומה מתפצלות הריאות שלנו או כלי הדם שבגופנו. אבל אתם לא יכולים להביט אל תוך הלב, אז קחו עלה של עץ או שיח ושימו לב לנימים של העלה. נכון שהם מסתעפים ומתפצלים עוד ועוד, כשמכל נים יוצאים נימים קטנים, שמהם יוצאים נימים זעירים וכך הלאה? - גם בכלי הדם שבגופנו יוצאים כך עשרות כלי דם קטנים מכל אחד, בתבנית החוזרת על עצמה שוב ושוב, עד לנימים זעירים ודקיקים במיוחד.
הנה הסבר הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
שלל פרקטלים טבעיים:
https://youtu.be/4IRLvYOZD8A
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
ואובייקטים טבעיים שהם פרקטלים:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
משולש שרפינסקי
משולש שרפינסקי, שנקרא גם ספוג שרפינסקי או משולש סירפינסקי, הוא אחד הפרקטלים המפורסמים. את ההיכרות עימו עשו המתמטיקאים בשנת 1915. המשולש קיבל את שמו מהמתמטיקאי הפולני שתיאר אותו לראשונה, ואצלב שרפינסקי.
משולש שרפינסקי הוא דוגמה מצוינת ופשוטה במיוחד לפרקטל, צורה שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה, עד אינסוף. הוא בנוי משלושה עותקים שלו שהוקטנו בחצי שוב ושוב.
הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר, להדגמת הרקורסיה הפשוטה:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
סרט אפל מתורגם ומדהים על הפרקטלים ומשולש שרפינסקי בתוכם (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
סרטון בגרפיקת מחשב של "משולש סירפינסקי" שנבנה ברקורסיה בתלת-מימד:
http://youtu.be/P5EkdJRtF-4
משולש שרפינסקי מסוכריות של החג הנוצרי המעט מפחיד "ליל כל הקדושים":
http://youtu.be/z8ZWlUamNPI
וכך יוצרים פרקטלים כמו משולש סרפינסקי:
http://youtu.be/XwWyTts06tU?t=1m22s
הפרקטל הוא צורה שככל שנביט בה קרוב יותר, נראה את אותה הצורה חוזרת על עצמה בכל קנה מידה. זוהי צורה גאומטרית שמורכבת פנימה, שוב ושוב, מעותקים של עצמה, מוקטנים יותר ויותר. ככל שנתבונן לתוך חלקי הפרקטל, נראה שם תמיד חלקים הדומים לו, כך שכל פרט זעיר בצורה, דומה לצורה המקורית והגדולה ביותר.
בגרפיקה ממוחשבת עושים המון שימוש בפרקטלים. הסיבה היא שנוסחאות מתמטיות קלות יחסית מאפשרות ליצור הרים ומרקמים מורכבים ליצירה בצורה אחרת. גם בפיזיקה משתמשים בפרקטלים למחקרים על תורת הכאוס וכדומה.
בטבע אפשר לראות מבנים שונים שדומים לפרקטלים. מבנים בטבע כמו צורת הכרובית, מבנה העורקים של העלה, התפצלות כלי הדם בגוף, פתית שלג או צורת קו חוף (במיוחד של הפיורדים בנורווגיה) - כל אלה מזכירים מאד את הפרקטלים ומראים שבטבע יש שיטה גם בדברים שאינם מובנים בצורה מתמטית.
הנה סרטון הסבר למושג הפרקטל (מתורגם):
http://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
הסבר מילולי על הפרקטלים - מהתבניות היותר מעניינות שבטבע (עברית):
http://youtu.be/ofA2tBvcbhw?t=3m38s
המתמטיקה של הפרקטלים בסרטון מקסים לפי ז'אנר הסרט האפל (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
להדגמת הרקורסיה הפשוטה, הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
ופרקטל מתמטי ללא סוף, בגרפיקה ממוחשבת ואנימציה מוסיקה נהדרים:
https://youtu.be/hRrBnI5L0u8?long=yes
ודאי היכרתם או קראתם באאוריקה על הפרקטלים, אותן צורות מתמטיות מיוחדות שהתגלו על ידי חוקר הפרקטלים בנואה מנדלברוט והעסיקו חוקרים רבים מתחילת המאה ה-20.
את הפרקטלים ניתן לזהות בכך שיש להם דמיון עצמי. כלומר, כל חלק בהם דומה לדבר השלם. גם בטבע ישנם לא מעט דברים שאם נביט בחלק קטן מהם נגלה את אותה צורה של השלם - בקנה מידה קטן. וגם בחלק הקטן הזה, אם נביט בעזרת זכוכית מגדלת, נוכל לראות שחלקיו שלו דומים גם הם לשלם וחלק הזה וכך זה יכול להמשיך עוד ועוד פנימה. תמיד אותה צורה ושמה...
אז אומרים לכם שכל כך הרבה פרקטלים יש בטבע ואפשר לראותם כמעט בכל מקום. אבל איפה זה בדיוק בכל מקום?
ובכן, בכרובית, בברקים, בריאות, שרכים, מפלים, בפתיתי שלג, בנימי העלה, בענפי העצים, גבישי הקרח, בענני קומולוס, בכלי הדם שלנו, בבועות סבון, בחופי ים מפורצים של פיורדים נורווגיים או בחופי אגמים כמו אגם נאצר שבמצרים, בשוניות אלמוגים במעמקי הים ועד לגלקסיות הענקיות שבחלל.
כן. בטבע נוכל למצוא צורות רבות שיש להן תכונות פרקטליות. דוגמה מפורטת היא לצלם את אורכו של חוף ים ממטוס ולראות שצורתו דומה מאד לזו שנראה בטיול לאורך החוף, כשנביט בפרטים הקטנים שלו. גם מדידת אורכו של קו החוף תגלה לנו דבר מדהים - אורכו הוא בפשטות אינסופי. זה קורה משום שקנה המידה משפיע על המדידה. אם נחשב אורך חוף מתמונת לוויין נקבל אורך קטן בהרבה מזה שיתקבל אם נמדוד את הדרך שעושה נמלה ההולכת לאורכו. הסיבה היא שהשיפולים והשיפועים שחווה הנמלה בקו החוף מאריכים לה את הדרך בטירוף. זה סוג של פרקטל - הנמלה רואה את צורת קו החוף, שהיא זהה לצורה שמצלם הלווים מהחלל.
פרקטלית היא גם הכרובית למשל. אם נחתוך אותה לאורך, נראה שיש בה התפצלויות שיוצרות המון כרוביות קטנות, שבעצמן מתפצלות כל אחת לכרוביות זעירות, שבכל אחת יש כרוביות מיקרוסקופיות והלאה.
בצורה דומה מתפצלות הריאות שלנו או כלי הדם שבגופנו. אבל אתם לא יכולים להביט אל תוך הלב, אז קחו עלה של עץ או שיח ושימו לב לנימים של העלה. נכון שהם מסתעפים ומתפצלים עוד ועוד, כשמכל נים יוצאים נימים קטנים, שמהם יוצאים נימים זעירים וכך הלאה? - גם בכלי הדם שבגופנו יוצאים כך עשרות כלי דם קטנים מכל אחד, בתבנית החוזרת על עצמה שוב ושוב, עד לנימים זעירים ודקיקים במיוחד.
הנה הסבר הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
שלל פרקטלים טבעיים:
https://youtu.be/4IRLvYOZD8A
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
ואובייקטים טבעיים שהם פרקטלים:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
