» «
פרקטל
מהם פרקטלים?



הפרקטל הוא צורה שככל שנביט בה קרוב יותר, נראה את אותה הצורה חוזרת על עצמה בכל קנה מידה. זוהי צורה גאומטרית שמורכבת פנימה, שוב ושוב, מעותקים של עצמה, מוקטנים יותר ויותר. ככל שנתבונן לתוך חלקי הפרקטל, נראה שם תמיד חלקים הדומים לו, כך שכל פרט זעיר בצורה, דומה לצורה המקורית והגדולה ביותר.

בגרפיקה ממוחשבת עושים המון שימוש בפרקטלים. הסיבה היא שנוסחאות מתמטיות קלות יחסית מאפשרות ליצור הרים ומרקמים מורכבים ליצירה בצורה אחרת. גם בפיזיקה משתמשים בפרקטלים למחקרים על תורת הכאוס וכדומה.

בטבע אפשר לראות מבנים שונים שדומים לפרקטלים. מבנים בטבע כמו צורת הכרובית, מבנה העורקים של העלה, התפצלות כלי הדם בגוף, פתית שלג או צורת קו חוף (במיוחד של הפיורדים בנורווגיה) - כל אלה מזכירים מאד את הפרקטלים ומראים שבטבע יש שיטה גם בדברים שאינם מובנים בצורה מתמטית.


הנה סרטון הסבר למושג הפרקטל:

http://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q


הנה הסבר מילולי על הפרקטלים - מהתבניות היותר מעניינות שבטבע:

http://youtu.be/ofA2tBvcbhw?t=3m38s


הנה המתמטיקה של הפרקטלים בסרט מקסים (ומתורגם) לפי הז׳אנר של הסרט האפל:

https://youtu.be/0C75vRVL5lE


הפרקטלים שבטבע:

https://youtu.be/XwWyTts06tU


ועוד פרקטלים בטבע:

https://youtu.be/dZM45mfJQ40


ולהדגמת הרקורסיה הפשוטה, הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר:

http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
משולש שרפינסקי
מהו משולש סירפינסקי?



משולש שרפינסקי, שנקרא גם ספוג שרפינסקי או משולש סירפינסקי, הוא אחד הפרקטלים המפורסמים. את ההיכרות עימו עשו המתמטיקאים בשנת 1915. המשולש קיבל את שמו מהמתמטיקאי הפולני שתיאר אותו לראשונה, ואצלב שרפינסקי.

משולש שרפינסקי הוא דוגמה מצוינת ופשוטה במיוחד לפרקטל, צורה שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה, עד אינסוף. הוא בנוי משלושה עותקים שלו שהוקטנו בחצי שוב ושוב.


הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר, להדגמת הרקורסיה הפשוטה:

http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s


הנה סרט אפל מתורגם ומדהים על הפרקטלים ומשולש שרפינסקי בתוכם:

https://youtu.be/0C75vRVL5lE


והנה סרטון בגרפיקת מחשב של "משולש סירפינסקי" שנבנה ברקורסיה בתלת-מימד:

http://youtu.be/P5EkdJRtF-4


הנה משולש שרפינסקי מסוכריות של החג הנוצרי המעט מפחיד "ליל כל הקדושים":

http://youtu.be/z8ZWlUamNPI


סרטון שמראה איך יוצרים פרקטלים כמו משולש סרפינסקי:

http://youtu.be/XwWyTts06tU?t=1m22s
רקורסיה
מהי רקורסיה?



רקורסיה היא קצת מורכבת להסבר אבל מאד פשוטה להבנה. מגדירים אותה כמיקוד של בעיה כללית אל בעיה "קטנה" יותר, אך זהה לזו המקורית. כך גם הגדרה רקורסיבית היא הגדרה שחייבת לפנות לאותה הגדרה, אבל בתנאים שונים. ותמיד יהיה שם תנאי עצירה, כדי שהרקורסיה לא תהיה אינסופית..

הגדרה אחרת לרקורסיה היא "הגדרת בעיה במונחים של עצמה".

רוצים דוגמה:
"אם הבנת מהי רקורסיה, חזור אל הדף ממנו הגעת. אם לא – קרא בדף זה מהי רקורסיה".

הדוגמה הזו מסבירה בדיוק את הרקורסיה, כי תנאי העצירה הוא "אם הבנת.." ואם לא אז חוזרים לאותה דוגמה כדי ללמוד מהי רקורסיה מחדש ולבסוף מבינים שהרקורסיה היא מה שאתה מתבקש לעשות..

גם מתכנתים משתמשים ברקורסיה והם מתארים פונקציה רקורסיבית כ"פונקציה שקוראת לעצמה". נכון היה יותר לומר שפונקציה כזו קוראת לעותק של עצמה. לרוב נותנים לרקורסיה כזו את הדוגמה של חישוב n-עצרת במתמטיקה (=מכפלת 1 כפול 2 כפול 3… עד כפול n).

ואגב, הנה משפט משעשע ונכון: "כדי להגדיר רקורסיה, קודם-כל צריך להגדיר רקורסיה.."


הנה סרטון שמדגים איך רקורסיה עובדת כשעושים בעזרתה גרפיקה ממוחשבת:

http://youtu.be/ghZKKaZkzrE


הנה כניסה פנימה לפרקטל - צורה גרפית שנקראת "משולש סירפינסקי" שנבנתה בפונקציה רקורסיבית:

http://youtu.be/P5EkdJRtF-4
לוליין לוגריתמי
מה זה לוליין לוגריתמי?



לוליין לוגריתמי, ספירלה לוגריתמית, או ספירלת הזהב, הם שמות של אחת התופעות המרהיבות בטבע. מדובר בצורה גיאומטרית, של קו עקום ומעגלי המתחיל מנקודה כלשהי ומסתחרר בצורה מעגלית כלפי חוץ, כשהרדיוס של המעגל הולך וגדל, כמו חילזון (ספירלה).

צורה זו היא מעין צורה בסיסית של יופי. היא כוללת סימטריה והרמוניה - שתי התכונות שגורמות לבני אדם לזהות דבר יפה, כבר ממבט ראשון. כבר דורות מתואר הלוליין הלוגריתמי בתור "הפרופורציה האלוהית". כזו שיכולה להקנות לדברים שהאדם עושה את תכונות היופי הכי מוכרות, סימטריה והרמוניה.

שתי התוכנות הללו מתמזגות בלוליין הלוגריתמי. בזכותו הופכים הפרחים, למשל, ליפים בעינינו, כמו גם בעיני בעלי חיים. בזכות היופי ההרמוני והסימטריה המושלמת נמשכים אליהם הדבורים, הפרפרים והחרקים ומוצאים בהם מקור למזון וחיים.

השלמות והיופי הללו, של מה שקיבל את השם "יחס הזהב", גלומים בכל פינה בטבע. מפרחים כמו חמנית או ורד, פירות דוגמת אננס, ירקות כמו הכרוב והכרובית, צמחים כמו ברוקולי ואצל בעלי חיים כמו במראה קרני האיילים, פרפרים, שבלולים, קונכיות וחלזונות - כולם מתפתחים כך. גם בתופעות טבע כמו מערבולות מים ואוויר ואפילו גלקסיות עם מיליארדי כוכבים. כל אלה נראים כך. הסיבה היא שהאנרגיה הדרושה לכל אלה היא המינימלית. גדילה כזו של יצורים חיים, או קיומן של תופעות כמו מערבולת או אפילו גלקסיה, תובעות אנרגיה רבה. לכן חסכון טבעי בה הוא הכי טוב.

התופעות הללו משכו את תשומת לב האמנים ומתכנני המבנים, שכן יופיים לא משתנה והם נחשבים יפים בכל תקופה ובכל תרבות שהן. מקרני האיילים שהיו לקורות עמודים רומיים, אזור המפתחות בכלי המיתר ועד ללוליינים לוגריתמיים שהיו לכלי אמנותי בציור ובעיצוב והאדריכלות של מוזיאון גוגנהיים.

בצמחים ופרפרים רבים, גם כשהתכונות הללו לא נראות במבט ראשון, אפשר לדמיין את הצורה הלוליינית ומיד מזהים את ההרמוניה והסימטריה שהעין כה אוהבת.


הנה הספירלה של הלוליין הלוגריתמי שמופיעה בטבע בכל מקום:

https://youtu.be/nt2OlMAJj6o


הנה ספירלת הזהב על פי פיבונאצ'י, היא הלוליין הלוגריתמי:

https://youtu.be/RKdrI9MZXHQ


תיאור של לוליין לוגריתמי בעזרת תוכנה מתמטית:

https://youtu.be/gXU1D2aF8QI


הנה מצגת וידאו של מרכיבים לולייניים שונים בטבע:

https://youtu.be/Qq7nU62ww0U

פרקטל

גלקסיה ספירלית
מהן גלקסיות לולייניות?



גלקסיית שביל החלב, הגלקסיה שבה נמצא כדור הארץ היא גלקסיה ספירלית, חלזונית. גם הגלקסיה השכנה, גלקסיית אנדרומדה, שייכת לסוג זה. גלקסיות ספירליות, או גלקסיות לולייניות, הן גלקסיות שיש להן צורה לוליינית, דמוית חילזון. במרכז של גלקסיה כזו יש מעין עיגול שטוח בצורת דיסקה ולו זרועות שיוצרות מבנה ספירלי.

הצורה האופיינית לגלקסיות כאלה היא של חילזון והיא מתקבלת מהאופן שבו נעים הכוכבים בגלקסיה, צורת תנועה שהיא אמנם אטית מאוד ונמדדת במשכי זמן של מאות מיליוני שנים, אך בבסיסה היא דומה לתנועה של המים במערבולות מים, לתנועת האוויר בסופות טורנדו או לחול הנע בעמודי חול כמו עלעול.

כמו בחלזונות וביצירות אמנות, מבנים אדריכליים ויצירות מוסיקליות מרתקות, מדהים לגלות שגם בצורתן של גלקסיות כאלה, על מיליארדי הכוכבים שבהן, ניתן לראות את היחס המתמטי המופלא של "חיתוך הזהב" (או "יחס הזהב"). יחס מופלא זה, שמתקבל מחלוקת האורך של מלבן הזהב ברוחב שלו, זכה לשם "הפרופורציה האלוהית". קראו עליו באאוריקה בתגית "יחס הזהב".

ברוב המקרים נמצאות הגלקסיות הספירליות בשולי צבירי גלקסיות ולא במרכזן.


הנה הגלקסיות לולייניות:

https://youtu.be/5sGKuoBnTn0


הנה תצוגה גרפית של גלקסיית שביל החלב הספירלית:

https://youtu.be/C4V-ooITrws?t=30s


הנה צילומים של גלקסיות ספירליות רבות:

https://youtu.be/ro-nOVFhjV0


התבוננות בפרטים בצילום של M81 - גלקסיה חלזונית מרוחקת הנמצאת מעל 11 מיליון שנות אור מכדור הארץ:

https://youtu.be/0seVq5ydqzk


והדגמת מחשב של היווצרות גלקסיה לוליינית (במהירות מואצת כמובן, כי במציאות התהליך נמשך מיליוני שנים):

https://youtu.be/LTlSLVbYFso


ועוד אחת:

https://youtu.be/hVNuwAtnKeg


הנה הצגה של המבנה הפרקטלי של הגלקסיה החלזונית וכמה שהוא דומה למבנים טבעיים רבים:

https://youtu.be/vGq3x31ex1Y
מגדלי האנוי
מהם מגדלי האנוי?



מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.

החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".

אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..


ישנם כללים להעברה:

א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.

ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.


הנה סרטון שמראה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:

http://youtu.be/BMkOBNZHcIs
כרובית
מה מלכותי בכרובית?



כרובית (Cauliflower) היא אחד מ"הפרחים האכילים", מיני מזון שהם למעשה פרחים. הירק הבריא הזה נחשב לחבר האריסטוקרטי של משפחת הכרוב. אמנם מבחינה ביולוגית קרובה הכרובית לכרוב, אבל הם עשו את דרכם אל שולחננו בנפרד.

ויש עוד הבדל ביניהם והוא קשור במבנה של הכרובית. כמו הברוקולי ועוד כמה ירקות, גם לכרובית יש פרחים בעלי צורה פרקטלית. כלומר, אם תביטו בחלק הלבן של הכרובית, תבינו שהוא בעצם פרח גדול. והפרח הזה מורכב, למעשה, מעותקים מוקטנים של עצמו. כל עותק מורכב מעותקים קטנים יותר של הפרח המקורי, וכל עותק מהקטנים מורכב מהמון עותקים קטנים נוספים. כך זה ממשיך ויורד לגדלים קטנים והולכים - כל חלק וחלק של הפרח שנביט בו בהגדלה, יהיה גם הוא דומה לצורת הפרח המקורי.

כיום נוטים לומר על הכרובית שהיא מלכה, אבל מסיבה בריאותית דווקא. מחקרים מודרניים רבים הראו שהכרובית היא סוג של "מזון על", שכן היא עוזרת לגוף בשלל משימות של שמירה והגנה על עצמו. מסיוע לגוף להילחם בתאים סרטניים, דרך סיוע בחיזוק הקיבה ועד לשיפור הלמידה, הזיכרון ותפקודי והגנה על המוח.

היא מוגשת בכל כך הרבה צורות ושילובים טעימים. מכרובית בטחינה ועד לשילוב המצוין של סלט כרובית, ברוקולי, אפונה וגזר. איכלו כרובית!


הנה הכרובית על ההיסטוריה והגידול שלה:

https://youtu.be/EM0AUU5W6iw


כך מגדלים ואוספים את הכרובית:

https://youtu.be/3k-RnD3nHvU


הנה הכרובית גדלה כפרח:

https://youtu.be/B_8RsU7SSOc
כרובית
מה ההיסטוריה של הכרובית?



הכרובית (Cauliflower) היא אחד מסוגי הירק הבריאים ביותר וגם מקור למאכלים טעימים מאד. אבל מאיפה היא באה?

מוצאה המדויק לא ידוע בדיוק, אם כי הסברה היא שהכרובית בויתה מכרוב הבר שבאגן הים התיכון.
איכשהו השתרשה הדעה שהיא נולדה או לפחות התגלתה לראשונה באי קפריסין, אם כי הנושא רחוק מלהיות מוסכם.

כך או כך, אנשי יוון העתיקה כללו אותה בתפריט שלהם. הרומאים, שהמשיכו את המסורת הקלאסית שלהם, גם בתחום הקולינרי, אימצו לשולחנם את הפרח או הלב של הכרובית, כלומר החלק הלבן שלה.

עם הזמן החלו לצרוך אותה בהתלהבות באיטליה, לאחר שהבינו שגם העלים והגבעולים הירוקים שלה הם טעימים - גם בבישול וגם כחלק מסלט נא.

בנדידתה ההיסטורית באירופה הגיעה הכרובית במאה ה-16 לצרפת ולשולחנו של המלך לואי ה-14. היא אומצה בהתלהבות בממלכה הצרפתית וחקלאי חבל ברטאן שבצפון-מערב צרפת הפכו למומחים בגידול כרוביות.

בתחילת המאה ה-19 הגיעה הכרובית עד הודו ואז החלו לגדל שם זן של כרובית שהותאם לאקלים החם והלח של תת היבשת ההודית.

בימינו מגדלים כרובית בעיקר בשל התפרחת שלה. מבושלת או מטוגנת, כבושה, אפויה או טריה וקצוצה לתוך סלט - הכרובית היא ממלכות הבריאות של המטבח שלנו.


הנה תולדות הכרובית והגידול שלה:

https://youtu.be/EM0AUU5W6iw


פתיתי שלג
מהם פתיתי השלג ומהו השלג?



פתיתי שלג הם פתיתי קרח גדולים וגבישיים שנופלים מהעננים אל הקרקע. פתיתי השלג הם קלים בזכות האוויר שיש בהם. פתיתי שלג עשויים מגבישי שלג קטנטנים שנצמדים זה לזה.

הצורות המופלאות של פתיתי השלג עשויות במגוון אדיר וניתן לומר שאין שני פתיתי שלג זהים זה לזה. רבות מצורות פתיתי השלג הם פרקטליות, צורות שבהן ככל שמעמיקים ומתקרבים, רואים עוד ועוד מאותן צורות.

הדוגמאות הנפוצות ביותר בפתיתי השלד הן בצורת המשושה. זו שוב הצורה של המשושים, שכל כך נפוצה בטבע (ראו באאוריקה בתגית "משושים").

חלקים גדולים מכדור הארץ מכוסים בשלג. יש אזורים שבהם השלג מכסה את האדמה רק בעונת החורף ולקראת הקיץ השלגים מפשירים. באזורים אחרים, כמו הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי ופסגות ההרים הגבוהים, האדמה מושלגת בכל עונות השנה.


הנה השלג ופתיתי השלג, שלכל אחד מהם צורה משלו:

http://youtu.be/fd-hb2xzvZI?t=5s


הצורות המופלאות של פתיתי השלג שיורדים בחורף:

http://youtu.be/s1lBbmQmpk0


על תוכנה שפותחה כדי לדמות את פתיתי השלג הללו באופן מדעי:

http://youtu.be/UtHsFVmHdZY


הנה הפשרת השלגים בתחילת הקיץ:

http://youtu.be/MwdWMmFeXIo
מה היופי של הברוקולי?



ברוקולי (Broccoli) הוא ירק עם ראשי פרחים ירוקים כהים, המסודרים בצורה שמזכירה עץ קטן. הוא קצת מזכיר קרובת משפחה שלו - הכרובית. למעשה, החלק שאנו אוכלים בברוקולי, הוא התפרחת הירוקה שלו. כן, הברוקולי הוא פרח אכיל.

אבל ברוקולי הוא גם אחת הדוגמאות היפות בטבע לפרקטלים, דברים שיש בהם דמיון עצמי. מהו דמיון עצמי? - אם תביטו היטב בברוקולי, תוכלו לראות שהוא מורכב מצורות של קונוסים (אצלנו בישראל נפוץ הזן העגול דווקא). מסתבר שאותם קונוסים בנויים על פי הגיון מתמטי מדהים שנקרא "סדרת פיבונאצ'י" (למדו על כך בהרחבה באאוריקה בתגית "סדרת פיבונאצ'י"). אבל הקונוסים שבברוקולי, חוזרים על עצמם בכל גודל בירק הזה. כל קונוס מורכב מחלקים שגם הם בצורת קונוס ובכל אחד מהם יש קונוסים קטנים וכך הלאה - הקונוסים של הברוקולי יחזרו שוב ושוב, בכל קנה מידה שנביט בו. זהו הפרקטל.

החוקרים משערים שאי שם בתקופה הרומית החלו לפתח את הברוקולי, מצמח שנקרא כרוב בר. במשך מאות שנים השביחו אותו בתהליך של ברירה מלאכותית, על ידי דיכוי של התפתחות הפרחים. כך קיבל הגזע את מרב האנרגיה של הצמיחה. רק במאה ה-16 החל הברוקולי לצאת מאיטליה למקומות אחרים באירופה, אבל הכניסה שלו למטבח האמיתי התרחשה במאה ה-20, כשהתגלו יתרונותיו התזונתיים וערכו הרפואי הרב.

מקור המלה "ברוקולי" הוא שיקוף של צורת העץ של הצמח הזה. הוא בא מהמלה הלטינית "ברקיום" שתהפוך באיטלקית ל"ברוקולו". פירושן הוא "ענף" או "זרוע".


הנה הברוקולי:

https://youtu.be/5AVu8XY5Zzw


הברוקולי מדגים היטב מהם פרקטלים:

https://youtu.be/XwWyTts06tU


כך הברוקולי גדל מהפרקטלים שלו:

https://youtu.be/CLiDcYuqT7w


מגדלים ואוספים את הברוקולי בשדות ארצות הברית:

https://youtu.be/kbTb3VRqZsY


קלות העבודה אתו במטבח והערך התזונתי שלו הפכו את הברוקולי להיט:

https://youtu.be/6j3HpvcbimY


אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

העולם הוא צבעוני ומופלא, אאוריקה כאן בשביל שתגלו אותו...

אלפי נושאים, תמונות וסרטונים, מפתיעים, מסקרנים וממוקדים.

ניתן לנווט בין הפריטים במגע, בעכבר, בגלגלת, או במקשי המקלדת

בואו לגלות, לחקור, ולקבל השראה!

אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.