שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מהם הממדים וכמה כאלה יש?
מימד (dimension) הוא כיוון, שניתן לדמיין כקו. כדי שהכיוון שלנו יהיה מימד. כל מימד חדש יהיה צריך להיות בזווית ישרה לכל מימד אחר, מה שאומר שקו הוא חלל חד-מימדי. מישור הוא חלל דו-מימדי והוא יוגדר על ידי שני קווים אנכיים, המתארים מישור. אופיו כמובן שטוח.
חלל תלת מימדי הוא כזה שנוסף לו קו אנכי נוסף, מה שיוצר גם גובה. כזה הוא למעשה העולם שבו אנחנו חיים וזה שאנו מכירים. אם דף הוא דו ממד (בואו נשכח לרגע שיש לו עובי זעיר), אז קוביה למשל היא אובייקט תלת ממדי. גם אני, אתה ואת - כולנו בתלת מימד.
אז אם משהו הוא עצם מוצק, אז הוא בעל שלושה מימדים. לצורך הדיוק - גם דף נייר הוא עצם מוצק ולכן בעל 3 מימדים.
נסכם - במימד אחד נוכל לטייל רק לאורכו.
בשני מימדים, יהיו לנו שני צירים, X וY ולכן נוכל לטייל בצורה אנכית ואופקית גם יחד.
בשלושה מימדים יש לנו שלושה צירים: X , Y ו-Z. בהם נוכל לטייל אנכית, אופקית ולעומק או לגובה, שזה הביטוי לציר השלישי. בסרטי תלת ממד אנו מרגישים בממד השלישי, באמצעות הטעיה אופטית, עם משקפיים מיוחדים או אמצעים דומים.
ורגע, האם יש אפס מימד. כן! - נקודה היא בעלת אפס מימדים.
הנה סרטון על הממדים (מתורגם):
https://youtu.be/C6kn6nXMWF0
מה מאפיין מלבן?
מלבן (Rectangle) הוא מרובע שכל הזוויות שבו ישרות. זהו סוג מסוים של מקבילית וטרפז שווה-שוקיים (שהצלעות שלו שוות). האורך של כל שתי צלעות נגדיות במלבן הוא זהה והן גם מקבילות זו לזו.
יש מלבנים שכל שתי צלעות סמוכות בהם הן שוות. הם נקראים ריבוע.
משימה קטנה:
=========
נסו למצוא 5 דברים מסביבכם שצורתם מלבנית.
הנה דברים בצורה של מלבן:
https://youtu.be/2WHJio4TRNY
ולילדים קטנים:
https://youtu.be/cW5muVaoK4I
מהו משולש?
משולש (Triangle) הוא מצולע בעל שלוש צלעות. הצלעות בין 3 קודקודים, שלא נמצאים על קו ישר אחד.
במשולש 3 זוויות.
בתרבות הפך המשולש לאחד המרכיבים המעניינים. מהמשולש שיוצר את הפירמידות שנבנו במצרים ועד למשולש פנרוז (Penrose triangle), אותו משולש בלתי אפשרי ומרתק, שכל הזוויות שבו הן זוויות ישרות.
משולש זה מוצג בהקשרים שונים, כולל בציוריו של הצייר מ. ס. אשר.
הנה המשולש המפורסם בעולם - משולש ברמודה:
http://youtu.be/FfsQBeXWktU
ניסוי של בניית משולש רועם:
http://youtu.be/_d-VN3jenNg
ומשולש פנרוז:
https://youtu.be/gcw1IIGSGMM
מהו עיגול ומה זה המעגל שמקיף אותו?
כל כך הרבה דברים בעולם הם עגולים.. מכדור הארץ, הירח, השמש, הכיפות של המסגדים והראש של חלק גדול מאיתנו.. אבל מהו בדיוק המעגל ומה זה עיגול?
אז בואו נעשה סדר. מעגל הוא הקו העגול שאנו מכירים, בעוד העיגול הוא השטח שבתוכו, התחום החסום על ידי המעגל.
אז אם המעגל הוא שפתו של העִגול, ברור עכשיו מדוע מדברים תמיד על היקף המעגל, או האורך שלו, לעומת שטח העיגול.
אם היינו מסמנים את כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת זהה, היינו רואים שהן יוצרות מעגל. הנקודה עצמה הייתה במרכז המעגל. ואכן, מעגל (Circle) הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות על פני המישור, שמרחקן מנקודה מסוימת, מרכז המעגל, הוא מרחק זהה.
למעגל יש כמה מרכיבים שניתן למדוד:
רדיוס (Radius) - הוא המרחק שבין מרכז המעגל לכל נקודה בקצוות שלו.
קוטר (Diameter) - זהו קו שמחבר שתי נקודות במעגל ועובר במרכזו. הוא שווה לפעמיים הרדיוס.
היקף (Circumference) - זהו אורך הקו שסוגר את העיגול.
היחס בין היקף העיגול לקוטרו הוא קבוע בכל המעגלים שבעולם. המתמטיקאים מסמנים אותו בעזרת האות היוונית π (פיי).
הנה המעגל - המקיף הקווי של העיגול:
https://youtu.be/BPnP_EEZvQc
שיר שמסביר את המעגל באנגלית:
https://youtu.be/Z0dlK16I60k?t=34s
והמעגל המושלם הוא זה שתוכלו לצייר ביד, תוך שנייה:
https://youtu.be/oDcr0yXpkk8
מי היה אויקלידס, אבי הגאומטריה?
אוקלידס (Euclid), או אויקלידס, היה מתמטיקאי יווני שהתחנך באקדמיה של אפלטון באתונה ונחשב לאבי הגאומטריה.
הוא היה פעיל בעיר אלכסנדריה שבמצרים במהלך שלטונו של תלמי הראשון, בסביבות המאה ה-3 לפני הספירה. בסדרת ספרי "היסודות", ערך אוקלידס בצורה שיטתית את מרבית הידע המתמטי והתוצאות המתמטיות שהיו ידועים בתקופתו ואת פרי מחקריהם ורעיונותיהם של מיטב המתמטיקאים שחיו ופעלו ביוון לפניו.
סדרת "היסודות" מחולקת ל-13 כרכים:
כרכים 1-6 עוסקים בגאומטריה של המישור.
כרכים 7-9 עוסקים בתורת המספרים.
כרך 10 עוסק במספרים אי-רציונליים.
כרכים 11-13 עוסקים בגאומטריה של המרחב.
הסדרה הפכה לספר שהוא אחת היצירות המשמעותיות והמשפיעות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה ושעד תחילת המאה ה-20, במשך כמעט 2300 שנה שימש כספר הלימוד המרכזי למתמטיקה ולגאומטריה!
אגב, אויקלידס גם פיתח את האלגוריתם העתיק ביותר שאנו מכירים כיום. האלגוריתם הזה נועד לפתור בעיה מתמטית, של מציאת המחלק המשותף המקסימלי, כלומר המספר הגדול ביותר שיתחלק בשני מספרים אחרים, מבלי להשאיר שארית. זוהי הגאומטריה האויקלידית.
הנה סרטון על אוקלידס (עברית):
http://youtu.be/r9nVXApKHoY
הסיפור של אוקלידס והגאומטריה:
https://youtu.be/_KUGLOiZyK8
ואקסיומת המקבילים שלו (מתורגם):
https://youtu.be/LPET_HhN0VM
מהו משפט פיתגורס?
משפט פיתגורס הוא משפט מפורסם בגאומטריה ובמתמטיקה. המשפט מתייחס ליחס בין שלוש צלעותיו של משולש ישר-זווית. על פי משפט משפט פיתגורס "אם נבנה ריבועים על הצלעות של משולש ישר זווית, סכום שטחי הריבועים הקטנים הללו יהיה שווה תמיד לשטח הריבוע הגדול - אותו ריבוע שבנוי על היתר".
כלומר, במשולש ישר זווית נסמן את אורכי הניצבים ב-a ו-b ואת אורך היתר ב-c, על פי משפט פיתגורס מתקיים a² + b² = c².
המשפט עצמו נולד הרבה לפני זמנו של פיתגורס, בתרבויות העתיקות של סין, בבל ומצרים העתיקה. אך בכל השנים שבהם ידעו את העובדה הזו לא הצליחו להוכיח אותה מתמטית. ביוון העתיקה ניסו רבים להוכיח את הטענה. המתמטיקאי והפילוסוף פיתגורס הוא שהצליח במאה ה-6 לפני הספירה להוכיחה ומאז קרוי המשפט על שמו. אגב, יש טענות שההוכחה קדמה לו ושהיא אפילו לא התגלתה ביוון. יש טענה שכבר בתקופה הניאוליתית, במאה ה-25 לפני הספירה, הוכיחו את המשפט באיים הבריטיים. מבנים פרהיסטוריים שבנויים בזוויות ישרות ובצלעות ביחסים כאלה נמצאו כבר שם.
מאז פיתגורס הצליחו להוכיח מאות הוכחות מתמטיות שונות לבעיה.
הנה הסבר יפה על משפט פיתגורס (עברית):
http://youtu.be/2B7oxgYqfd8?t=1m12s
בכמה דרכים אפשר להוכיח את המשפט המפורסם בגאומטריה? (מתורגם)
https://youtu.be/YompsDlEdtc
והוכחה משעשעת למשפט פיתגורס (עברית):
http://youtu.be/kzsQxIU9ZkY
מהי סימטריה?
הסימטריה (Symmetric) הפשוטה שאנו מכירים היא שיקוף של צד אחד בצד השני, משני צידי קו דמיוני העובר ביניהם.
הסימטריה מופיעה בטבע כצורה של סדר, בתוך מגוון של צורות לא מסודרות, האדם שהוקף במגוון אדיר של צורות מסביבו, זיהה כבר מימי קדם את הסדר והיופי שבסימטריה והשתמש בהם באמנות ובבניה. הסימטריה היא גם אחד הדברים שמקשרים בין אמנות למדע.
מסתבר שאנו מתוכנתים ביולוגית לראות בסימטריה יופי. גם אם זה אינו המרכיב היחידי של היופי, אנשים עם מבנה פנים סימטרי נתפסים על ידינו בתור יפים יותר.
ניתן לראות סימטריה בטבע ובעצמים שונים בחיי היום יום. כנפי הפרפר ועלי הפרח הם דוגמאות טבעיות לסימטריה. אפילו בנופים המשתקפים במים ניתן לראות סימטריה מרהיבה.
בגאומטריה יש שני סוגים של סימטריה - סימטריה שיקופית וסיבובית. "סימטריה שיקופית" היא סימטריה שבה יש מעין השתקפות של צד אחד בצד השני. קו השיקוף נקרא קו סימטריה. זהו קו דמיוני שחותך את העצם לשניים. שני הצדדים שבצידי קו זה דומים. יש גם צורות שיש להן "סימטריה סיבובית". היא קיימת כשקיים סיבוב כלשהו (אך לא סיבוב שלם) שבו הצורה מועתקת בדייקנות.
#פעילות קטנה:
נסו למצוא ולצלם 5 חפצים סימטריים שיש בביתכם או בכיתה.
הנה הסבר על הסימטריה וסימטריות מסוגים שונים בטבע (מתורגם):
http://youtu.be/3drtbPZF9yc
על הסימטריה וקו הסימטריה:
http://youtu.be/6qNB2LsgC8Y
סרטון אמנותי שמציג סימטריה בנושאים וההתייחסות של מרכיבים שאנו רואים בו:
http://youtu.be/zEQskIsHKT8
קטעים מסרטיו של במאי הקולנוע ווס אנדרסון שסגנונו הסימטרי הפך לסימן ההיכר שלו:
https://youtu.be/fq4sN2vqKq4
בואו נבדוק את הסימטריה בתמונות שונות:
http://youtu.be/_TdOD2f_KEk
יש מי שהחליטו בעולם התעופה לשבור את הסימטריה (עברית):
https://youtu.be/djRAfVSgLWY
והרצאה ארוכה ומעניינת באנגלית על הסימטריה במדע הגאומטריה ועל המתמטיקאי אווריסט גלואה שעסק בה (מתורגם):
http://youtu.be/415VX3QX4cU?long=yes
מהי הגאומטריה של מנדלברוט?
בנואה מנדלברוט היה מתמטיקאי שמצא שיש צורות רבות שכל חלק שלהן הוא כמו השלם, או מזכיר אותו. מדידה של שטח הפנים של צורות כאלה תלוייה ביכולת שלנו לבחון אותו, מכיוון שככל שנתקרב אל העצם, נגלה חספוס הולך וגובר, שיגדיל את שטח הפנים.
מנדלברוט מצא שכלל מתמטי פשוט, או נוסחה פשוטה, יכולים להגדיר מצוין את העצם שנראה שאין בו חוקיות או היגיון כלשהם.
אגב, בנואה מנדלברוט עצמו מעדיף את המונח "חספוס" ולא אי-יציבות או אי-סדר, מכיוון שהוא רואה סדר בכל דבר ואין בעיניו שום דבר שאין בו סדר מסוים. להוכחה, המילה "פרקטל" שהוא בחר לתיאור של המחוספס והשבור באה מהמילה הלטינית פרקטוס (fractus), שפירושה "שבור".
למשל בכרובית הוא רואה גם תחכום וגם פשטות. אותם קונוסים שאנו רואים בברוקולי, חוזרים גם אם נביט בחלק מקונוס כזה ויחזרו שוב ושוב בכל קנה מידה שנביט בו. כך יהיה גם בעננים, בקווי חוף עם מפרצים בגדלים (מפיורדים עצומים ועד מפרצונים בגוגל מילימטרים), עצים (בהם עורקי העלה נראים כענפים וענפי העץ דומים לעצים) ועוד המון צורות שהן לכאורה אקראיות ולא בנויות בסדר של ממש, אבל כשנביט בחלק מהם נראה בגדלים שונים, תבנית דומה לזו שראינו בעצם המלא.
איך זה מסתדר? - ובכן, בכולם יש מרכיב שניתן למצוא והוא "הדמיון העצמי" (Self similarity), שבו אותה צורה חוזרת שוב ושוב, ככל שנתקרב. ומסתבר שאותה צורה שבה ענפים יוצאים מענפים בעץ, היא גם הצורה של צינורות הדם בגופנו, נימי העלים של העץ, נהרות על פני כדור הארץ וכן הלאה. מסתבר שהטבע עושה שימוש בחוק זהה להמון מקרים שאינם קשורים זה בזה ושכביכול אין בהם שום סדר הגיוני.
ל"דמיון העצמי" מנדלברוט קרא "פרקטל". הוא גם הבין שניתן לעבוד עם הפרקטלים הפוך ולהשתמש בסדרה של חוקים מתמטיים פשוטים, כדי לייצר צורות כאלה. בסוף שנות ה-50 הוא השתמש במחשב כדי לייצר צורות כאלה. הוא עשה מהפכה של ממש בגאומטריה, שכן הוא החל לקרב אותה לעולם הטבע.
אם קודם לפרקטלים לא סייעה הגאומטריה לתאר את הצורות של גורמים בטבע, כמו הרים, עננים, עצים, ירקות וקווי חוף, הרי שהפרקטל, שמסייע למצוא סדר בדפוסים מורכבים ביותר, שינה את זה והראה את הסדר המתמטי שבו מתנהל הטבע והעולם הכאוטי. או במילים שלו כפי שכתב בהקדמת ספרו "עננים הם לא כדורים, הרים אינם בעלי צורה של חרוט, קו החוף לא עשוי ממעגלים, קליפת העץ איננה חלקה והברק אינו מתקדם בקו ישר".
בחייו סבל מנדלברוט לא מעט בשל הפרקטלים. הממסד המתמטי ממש נידה אותו בשל ההתעסקות בתמונות, שלא יאה למתמטיקאי רציני. מי שהצילה אותו מחוסר תעסוקה הייתה חברת IBM, שלא זו בלבד שהעסיקה אותו במרכז המחקר שלה, אלא אף נתנה לו לעשות כרצונו. בעזרת חוק רקורסיבי פשוט מאוד הוא מצליח עתה לייצר תמונות בעלות מורכבות הולכת וגדלה, בה רואים ברמות שונות, כאמור, צורות דומות.
גם הציבור הרחב מתחיל להתחבר לרעיונות שלו, שבניגוד לרעיונות מתמטיים רגילים, קל להבינם. מה עוד שניתן היה לראותם לפתע, בתוצרי מחשב מודפסים. את הצד הגרפי של הפרקטלים ניתן היה גם לחקור וליישם באדריכלות, בעיצוב מוצר ובתעשיות שונות.
וכך זוכה מי שכילד בן 12 הפך לפליט פולני בצרפת ולימד את עצמו מתמטיקה לבדו, הוא זוכה בשלב מסוים בציבור לכינוי "כוכב הרוק של המתמטיקה". כי גם אם רעיונותיו על הפרקטלים עדיין לא מתקבלים אצל הקהילה המדעית, מעל ראשם הוא הופך די מהר לאחד המתמטיקאים המשפיעים בהיסטוריה.
הנה סרטון שמסביר זאת היטב:
http://youtu.be/Dm-zy5f4qIo
הדמיון העצמי של פרקטל:
http://youtu.be/9G6uO7ZHtK8
הסבריו של מנדלברוט עצמו:
http://youtu.be/pDajf3PXpNI
ודוגמאות שונות לסט מנדלברוט, שמערב סיבוכיות, הרמוניה ויופי בשימוש בנוסחאות פשוטות:
http://youtu.be/G_GBwuYuOOs
מהו המחומש?
מחומש, או פֶּנְטַאגוֹן (Pentagon) הוא מצולע שיש לו 5 צלעות. מבחינה הנדסית המחומש הוא בעל 5 אלכסונים. סכום הזוויות הפנימיות שלו הוא 540 מעלות.
אבל התכונה המדהימה של המחומש הוא הימצאותו בטבע בשלל מקרים, באחת מההתגלויות המעניינות שלו - בצורת פנטגרם, מה שמוכר בעברית כ"כוכב" מחומש. הפנטגרם המחומש מופיע בפרחים כמו יסמין, פטוניה ועוד.
המחומש מופיע גם בכוכב הים, בכל החיים המחומש ובמיוחד כל כך.
גם לתרבות המחומש נכנס, גם בדימוי הכוכב וגם בציורים שונים, כמו האדם הוויטרובי של לאונרדו דה וינצ'י.
הנה הכוכב המחומש בטבע והקשר שלו לחיתוך הזהב:
http://youtu.be/atSvERhcNcw
מימד (dimension) הוא כיוון, שניתן לדמיין כקו. כדי שהכיוון שלנו יהיה מימד. כל מימד חדש יהיה צריך להיות בזווית ישרה לכל מימד אחר, מה שאומר שקו הוא חלל חד-מימדי. מישור הוא חלל דו-מימדי והוא יוגדר על ידי שני קווים אנכיים, המתארים מישור. אופיו כמובן שטוח.
חלל תלת מימדי הוא כזה שנוסף לו קו אנכי נוסף, מה שיוצר גם גובה. כזה הוא למעשה העולם שבו אנחנו חיים וזה שאנו מכירים. אם דף הוא דו ממד (בואו נשכח לרגע שיש לו עובי זעיר), אז קוביה למשל היא אובייקט תלת ממדי. גם אני, אתה ואת - כולנו בתלת מימד.
אז אם משהו הוא עצם מוצק, אז הוא בעל שלושה מימדים. לצורך הדיוק - גם דף נייר הוא עצם מוצק ולכן בעל 3 מימדים.
נסכם - במימד אחד נוכל לטייל רק לאורכו.
בשני מימדים, יהיו לנו שני צירים, X וY ולכן נוכל לטייל בצורה אנכית ואופקית גם יחד.
בשלושה מימדים יש לנו שלושה צירים: X , Y ו-Z. בהם נוכל לטייל אנכית, אופקית ולעומק או לגובה, שזה הביטוי לציר השלישי. בסרטי תלת ממד אנו מרגישים בממד השלישי, באמצעות הטעיה אופטית, עם משקפיים מיוחדים או אמצעים דומים.
ורגע, האם יש אפס מימד. כן! - נקודה היא בעלת אפס מימדים.
הנה סרטון על הממדים (מתורגם):
https://youtu.be/C6kn6nXMWF0
מלבן (Rectangle) הוא מרובע שכל הזוויות שבו ישרות. זהו סוג מסוים של מקבילית וטרפז שווה-שוקיים (שהצלעות שלו שוות). האורך של כל שתי צלעות נגדיות במלבן הוא זהה והן גם מקבילות זו לזו.
יש מלבנים שכל שתי צלעות סמוכות בהם הן שוות. הם נקראים ריבוע.
משימה קטנה:
=========
נסו למצוא 5 דברים מסביבכם שצורתם מלבנית.
הנה דברים בצורה של מלבן:
https://youtu.be/2WHJio4TRNY
ולילדים קטנים:
https://youtu.be/cW5muVaoK4I
משולש (Triangle) הוא מצולע בעל שלוש צלעות. הצלעות בין 3 קודקודים, שלא נמצאים על קו ישר אחד.
במשולש 3 זוויות.
בתרבות הפך המשולש לאחד המרכיבים המעניינים. מהמשולש שיוצר את הפירמידות שנבנו במצרים ועד למשולש פנרוז (Penrose triangle), אותו משולש בלתי אפשרי ומרתק, שכל הזוויות שבו הן זוויות ישרות.
משולש זה מוצג בהקשרים שונים, כולל בציוריו של הצייר מ. ס. אשר.
הנה המשולש המפורסם בעולם - משולש ברמודה:
http://youtu.be/FfsQBeXWktU
ניסוי של בניית משולש רועם:
http://youtu.be/_d-VN3jenNg
ומשולש פנרוז:
https://youtu.be/gcw1IIGSGMM
כל כך הרבה דברים בעולם הם עגולים.. מכדור הארץ, הירח, השמש, הכיפות של המסגדים והראש של חלק גדול מאיתנו.. אבל מהו בדיוק המעגל ומה זה עיגול?
אז בואו נעשה סדר. מעגל הוא הקו העגול שאנו מכירים, בעוד העיגול הוא השטח שבתוכו, התחום החסום על ידי המעגל.
אז אם המעגל הוא שפתו של העִגול, ברור עכשיו מדוע מדברים תמיד על היקף המעגל, או האורך שלו, לעומת שטח העיגול.
אם היינו מסמנים את כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת זהה, היינו רואים שהן יוצרות מעגל. הנקודה עצמה הייתה במרכז המעגל. ואכן, מעגל (Circle) הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות על פני המישור, שמרחקן מנקודה מסוימת, מרכז המעגל, הוא מרחק זהה.
למעגל יש כמה מרכיבים שניתן למדוד:
רדיוס (Radius) - הוא המרחק שבין מרכז המעגל לכל נקודה בקצוות שלו.
קוטר (Diameter) - זהו קו שמחבר שתי נקודות במעגל ועובר במרכזו. הוא שווה לפעמיים הרדיוס.
היקף (Circumference) - זהו אורך הקו שסוגר את העיגול.
היחס בין היקף העיגול לקוטרו הוא קבוע בכל המעגלים שבעולם. המתמטיקאים מסמנים אותו בעזרת האות היוונית π (פיי).
הנה המעגל - המקיף הקווי של העיגול:
https://youtu.be/BPnP_EEZvQc
שיר שמסביר את המעגל באנגלית:
https://youtu.be/Z0dlK16I60k?t=34s
והמעגל המושלם הוא זה שתוכלו לצייר ביד, תוך שנייה:
https://youtu.be/oDcr0yXpkk8
גאומטריה
אוקלידס (Euclid), או אויקלידס, היה מתמטיקאי יווני שהתחנך באקדמיה של אפלטון באתונה ונחשב לאבי הגאומטריה.
הוא היה פעיל בעיר אלכסנדריה שבמצרים במהלך שלטונו של תלמי הראשון, בסביבות המאה ה-3 לפני הספירה. בסדרת ספרי "היסודות", ערך אוקלידס בצורה שיטתית את מרבית הידע המתמטי והתוצאות המתמטיות שהיו ידועים בתקופתו ואת פרי מחקריהם ורעיונותיהם של מיטב המתמטיקאים שחיו ופעלו ביוון לפניו.
סדרת "היסודות" מחולקת ל-13 כרכים:
כרכים 1-6 עוסקים בגאומטריה של המישור.
כרכים 7-9 עוסקים בתורת המספרים.
כרך 10 עוסק במספרים אי-רציונליים.
כרכים 11-13 עוסקים בגאומטריה של המרחב.
הסדרה הפכה לספר שהוא אחת היצירות המשמעותיות והמשפיעות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה ושעד תחילת המאה ה-20, במשך כמעט 2300 שנה שימש כספר הלימוד המרכזי למתמטיקה ולגאומטריה!
אגב, אויקלידס גם פיתח את האלגוריתם העתיק ביותר שאנו מכירים כיום. האלגוריתם הזה נועד לפתור בעיה מתמטית, של מציאת המחלק המשותף המקסימלי, כלומר המספר הגדול ביותר שיתחלק בשני מספרים אחרים, מבלי להשאיר שארית. זוהי הגאומטריה האויקלידית.
הנה סרטון על אוקלידס (עברית):
http://youtu.be/r9nVXApKHoY
הסיפור של אוקלידס והגאומטריה:
https://youtu.be/_KUGLOiZyK8
ואקסיומת המקבילים שלו (מתורגם):
https://youtu.be/LPET_HhN0VM
משפט פיתגורס הוא משפט מפורסם בגאומטריה ובמתמטיקה. המשפט מתייחס ליחס בין שלוש צלעותיו של משולש ישר-זווית. על פי משפט משפט פיתגורס "אם נבנה ריבועים על הצלעות של משולש ישר זווית, סכום שטחי הריבועים הקטנים הללו יהיה שווה תמיד לשטח הריבוע הגדול - אותו ריבוע שבנוי על היתר".
כלומר, במשולש ישר זווית נסמן את אורכי הניצבים ב-a ו-b ואת אורך היתר ב-c, על פי משפט פיתגורס מתקיים a² + b² = c².
המשפט עצמו נולד הרבה לפני זמנו של פיתגורס, בתרבויות העתיקות של סין, בבל ומצרים העתיקה. אך בכל השנים שבהם ידעו את העובדה הזו לא הצליחו להוכיח אותה מתמטית. ביוון העתיקה ניסו רבים להוכיח את הטענה. המתמטיקאי והפילוסוף פיתגורס הוא שהצליח במאה ה-6 לפני הספירה להוכיחה ומאז קרוי המשפט על שמו. אגב, יש טענות שההוכחה קדמה לו ושהיא אפילו לא התגלתה ביוון. יש טענה שכבר בתקופה הניאוליתית, במאה ה-25 לפני הספירה, הוכיחו את המשפט באיים הבריטיים. מבנים פרהיסטוריים שבנויים בזוויות ישרות ובצלעות ביחסים כאלה נמצאו כבר שם.
מאז פיתגורס הצליחו להוכיח מאות הוכחות מתמטיות שונות לבעיה.
הנה הסבר יפה על משפט פיתגורס (עברית):
http://youtu.be/2B7oxgYqfd8?t=1m12s
בכמה דרכים אפשר להוכיח את המשפט המפורסם בגאומטריה? (מתורגם)
https://youtu.be/YompsDlEdtc
והוכחה משעשעת למשפט פיתגורס (עברית):
http://youtu.be/kzsQxIU9ZkY
הסימטריה (Symmetric) הפשוטה שאנו מכירים היא שיקוף של צד אחד בצד השני, משני צידי קו דמיוני העובר ביניהם.
הסימטריה מופיעה בטבע כצורה של סדר, בתוך מגוון של צורות לא מסודרות, האדם שהוקף במגוון אדיר של צורות מסביבו, זיהה כבר מימי קדם את הסדר והיופי שבסימטריה והשתמש בהם באמנות ובבניה. הסימטריה היא גם אחד הדברים שמקשרים בין אמנות למדע.
מסתבר שאנו מתוכנתים ביולוגית לראות בסימטריה יופי. גם אם זה אינו המרכיב היחידי של היופי, אנשים עם מבנה פנים סימטרי נתפסים על ידינו בתור יפים יותר.
ניתן לראות סימטריה בטבע ובעצמים שונים בחיי היום יום. כנפי הפרפר ועלי הפרח הם דוגמאות טבעיות לסימטריה. אפילו בנופים המשתקפים במים ניתן לראות סימטריה מרהיבה.
בגאומטריה יש שני סוגים של סימטריה - סימטריה שיקופית וסיבובית. "סימטריה שיקופית" היא סימטריה שבה יש מעין השתקפות של צד אחד בצד השני. קו השיקוף נקרא קו סימטריה. זהו קו דמיוני שחותך את העצם לשניים. שני הצדדים שבצידי קו זה דומים. יש גם צורות שיש להן "סימטריה סיבובית". היא קיימת כשקיים סיבוב כלשהו (אך לא סיבוב שלם) שבו הצורה מועתקת בדייקנות.
#פעילות קטנה:
נסו למצוא ולצלם 5 חפצים סימטריים שיש בביתכם או בכיתה.
הנה הסבר על הסימטריה וסימטריות מסוגים שונים בטבע (מתורגם):
http://youtu.be/3drtbPZF9yc
על הסימטריה וקו הסימטריה:
http://youtu.be/6qNB2LsgC8Y
סרטון אמנותי שמציג סימטריה בנושאים וההתייחסות של מרכיבים שאנו רואים בו:
http://youtu.be/zEQskIsHKT8
קטעים מסרטיו של במאי הקולנוע ווס אנדרסון שסגנונו הסימטרי הפך לסימן ההיכר שלו:
https://youtu.be/fq4sN2vqKq4
בואו נבדוק את הסימטריה בתמונות שונות:
http://youtu.be/_TdOD2f_KEk
יש מי שהחליטו בעולם התעופה לשבור את הסימטריה (עברית):
https://youtu.be/djRAfVSgLWY
והרצאה ארוכה ומעניינת באנגלית על הסימטריה במדע הגאומטריה ועל המתמטיקאי אווריסט גלואה שעסק בה (מתורגם):
http://youtu.be/415VX3QX4cU?long=yes
בנואה מנדלברוט היה מתמטיקאי שמצא שיש צורות רבות שכל חלק שלהן הוא כמו השלם, או מזכיר אותו. מדידה של שטח הפנים של צורות כאלה תלוייה ביכולת שלנו לבחון אותו, מכיוון שככל שנתקרב אל העצם, נגלה חספוס הולך וגובר, שיגדיל את שטח הפנים.
מנדלברוט מצא שכלל מתמטי פשוט, או נוסחה פשוטה, יכולים להגדיר מצוין את העצם שנראה שאין בו חוקיות או היגיון כלשהם.
אגב, בנואה מנדלברוט עצמו מעדיף את המונח "חספוס" ולא אי-יציבות או אי-סדר, מכיוון שהוא רואה סדר בכל דבר ואין בעיניו שום דבר שאין בו סדר מסוים. להוכחה, המילה "פרקטל" שהוא בחר לתיאור של המחוספס והשבור באה מהמילה הלטינית פרקטוס (fractus), שפירושה "שבור".
למשל בכרובית הוא רואה גם תחכום וגם פשטות. אותם קונוסים שאנו רואים בברוקולי, חוזרים גם אם נביט בחלק מקונוס כזה ויחזרו שוב ושוב בכל קנה מידה שנביט בו. כך יהיה גם בעננים, בקווי חוף עם מפרצים בגדלים (מפיורדים עצומים ועד מפרצונים בגוגל מילימטרים), עצים (בהם עורקי העלה נראים כענפים וענפי העץ דומים לעצים) ועוד המון צורות שהן לכאורה אקראיות ולא בנויות בסדר של ממש, אבל כשנביט בחלק מהם נראה בגדלים שונים, תבנית דומה לזו שראינו בעצם המלא.
איך זה מסתדר? - ובכן, בכולם יש מרכיב שניתן למצוא והוא "הדמיון העצמי" (Self similarity), שבו אותה צורה חוזרת שוב ושוב, ככל שנתקרב. ומסתבר שאותה צורה שבה ענפים יוצאים מענפים בעץ, היא גם הצורה של צינורות הדם בגופנו, נימי העלים של העץ, נהרות על פני כדור הארץ וכן הלאה. מסתבר שהטבע עושה שימוש בחוק זהה להמון מקרים שאינם קשורים זה בזה ושכביכול אין בהם שום סדר הגיוני.
ל"דמיון העצמי" מנדלברוט קרא "פרקטל". הוא גם הבין שניתן לעבוד עם הפרקטלים הפוך ולהשתמש בסדרה של חוקים מתמטיים פשוטים, כדי לייצר צורות כאלה. בסוף שנות ה-50 הוא השתמש במחשב כדי לייצר צורות כאלה. הוא עשה מהפכה של ממש בגאומטריה, שכן הוא החל לקרב אותה לעולם הטבע.
אם קודם לפרקטלים לא סייעה הגאומטריה לתאר את הצורות של גורמים בטבע, כמו הרים, עננים, עצים, ירקות וקווי חוף, הרי שהפרקטל, שמסייע למצוא סדר בדפוסים מורכבים ביותר, שינה את זה והראה את הסדר המתמטי שבו מתנהל הטבע והעולם הכאוטי. או במילים שלו כפי שכתב בהקדמת ספרו "עננים הם לא כדורים, הרים אינם בעלי צורה של חרוט, קו החוף לא עשוי ממעגלים, קליפת העץ איננה חלקה והברק אינו מתקדם בקו ישר".
בחייו סבל מנדלברוט לא מעט בשל הפרקטלים. הממסד המתמטי ממש נידה אותו בשל ההתעסקות בתמונות, שלא יאה למתמטיקאי רציני. מי שהצילה אותו מחוסר תעסוקה הייתה חברת IBM, שלא זו בלבד שהעסיקה אותו במרכז המחקר שלה, אלא אף נתנה לו לעשות כרצונו. בעזרת חוק רקורסיבי פשוט מאוד הוא מצליח עתה לייצר תמונות בעלות מורכבות הולכת וגדלה, בה רואים ברמות שונות, כאמור, צורות דומות.
גם הציבור הרחב מתחיל להתחבר לרעיונות שלו, שבניגוד לרעיונות מתמטיים רגילים, קל להבינם. מה עוד שניתן היה לראותם לפתע, בתוצרי מחשב מודפסים. את הצד הגרפי של הפרקטלים ניתן היה גם לחקור וליישם באדריכלות, בעיצוב מוצר ובתעשיות שונות.
וכך זוכה מי שכילד בן 12 הפך לפליט פולני בצרפת ולימד את עצמו מתמטיקה לבדו, הוא זוכה בשלב מסוים בציבור לכינוי "כוכב הרוק של המתמטיקה". כי גם אם רעיונותיו על הפרקטלים עדיין לא מתקבלים אצל הקהילה המדעית, מעל ראשם הוא הופך די מהר לאחד המתמטיקאים המשפיעים בהיסטוריה.
הנה סרטון שמסביר זאת היטב:
http://youtu.be/Dm-zy5f4qIo
הדמיון העצמי של פרקטל:
http://youtu.be/9G6uO7ZHtK8
הסבריו של מנדלברוט עצמו:
http://youtu.be/pDajf3PXpNI
ודוגמאות שונות לסט מנדלברוט, שמערב סיבוכיות, הרמוניה ויופי בשימוש בנוסחאות פשוטות:
http://youtu.be/G_GBwuYuOOs
מחומש, או פֶּנְטַאגוֹן (Pentagon) הוא מצולע שיש לו 5 צלעות. מבחינה הנדסית המחומש הוא בעל 5 אלכסונים. סכום הזוויות הפנימיות שלו הוא 540 מעלות.
אבל התכונה המדהימה של המחומש הוא הימצאותו בטבע בשלל מקרים, באחת מההתגלויות המעניינות שלו - בצורת פנטגרם, מה שמוכר בעברית כ"כוכב" מחומש. הפנטגרם המחומש מופיע בפרחים כמו יסמין, פטוניה ועוד.
המחומש מופיע גם בכוכב הים, בכל החיים המחומש ובמיוחד כל כך.
גם לתרבות המחומש נכנס, גם בדימוי הכוכב וגם בציורים שונים, כמו האדם הוויטרובי של לאונרדו דה וינצ'י.
הנה הכוכב המחומש בטבע והקשר שלו לחיתוך הזהב:
http://youtu.be/atSvERhcNcw
מהו המשושה?
משושה (Hexagon) הוא מצולע פשוט בגיאומטריה, שיש לו שש צלעות ושישה קודקודים. המשושה המוכר הוא המשושה המשוכלל, שכל צלעותיו שוות זו לזו בגודלן ושכל זוויותיו בנות 120°.
סכום כל הזוויות הפנימיות של המשושה הוא 720 מעלות. כל משושה הוא בעל תשעה אלכסונים שיוצרים שישה משולשים.
המשושה הוא צורה נפוצה בטבע. דוגמאות כמו משושים שנוצרים בהתייבשות של מלח באגמי מלח, או סדקי לבה משושים בסלע הבזלת, דרך כל צורות פתיתי השלג, כולן משושות, וכמובן תאי כוורת הדבורים שהם תמיד משושים.
עוד על משושים בטבע ראו באאוריקה בתגית "משושים".
הנה המשושים בישראל ובטבע בו הם נפוצים מאד (עברית):
https://youtu.be/nqKTRRLZxQ0
שימו לב לאהבה של דבורי הדבש לצורה הזו (מתורגם):
https://youtu.be/QEzlsjAqADA
שיר באנגלית על המשושה:
https://youtu.be/WCjtAOGdGFI
אבל למה בעצם הם כל כך נפוצים בטבע?
https://youtu.be/d3nLruKGUb0
והמשושה העצום שנוצר על כוכב הלכת יופיטר:
https://youtu.be/6GK23C8CY7A?long=yes
משושה (Hexagon) הוא מצולע פשוט בגיאומטריה, שיש לו שש צלעות ושישה קודקודים. המשושה המוכר הוא המשושה המשוכלל, שכל צלעותיו שוות זו לזו בגודלן ושכל זוויותיו בנות 120°.
סכום כל הזוויות הפנימיות של המשושה הוא 720 מעלות. כל משושה הוא בעל תשעה אלכסונים שיוצרים שישה משולשים.
המשושה הוא צורה נפוצה בטבע. דוגמאות כמו משושים שנוצרים בהתייבשות של מלח באגמי מלח, או סדקי לבה משושים בסלע הבזלת, דרך כל צורות פתיתי השלג, כולן משושות, וכמובן תאי כוורת הדבורים שהם תמיד משושים.
עוד על משושים בטבע ראו באאוריקה בתגית "משושים".
הנה המשושים בישראל ובטבע בו הם נפוצים מאד (עברית):
https://youtu.be/nqKTRRLZxQ0
שימו לב לאהבה של דבורי הדבש לצורה הזו (מתורגם):
https://youtu.be/QEzlsjAqADA
שיר באנגלית על המשושה:
https://youtu.be/WCjtAOGdGFI
אבל למה בעצם הם כל כך נפוצים בטבע?
https://youtu.be/d3nLruKGUb0
והמשושה העצום שנוצר על כוכב הלכת יופיטר:
https://youtu.be/6GK23C8CY7A?long=yes
מהי קבוצת מנדלברוט?
חבורת מנדלברוט, קבוצת מנדלברוט או סט מנדלברוט, הם שמות לצורות שחוזרות על עצמן ללא סוף. אלה צורות עם דמיון עצמי, כלומר כל חלק שלהן דומה לשלם. במילים אחרות, בכל צורה כזו נוכל לראות את הצורה בחלקים השונים שבה וכך שוב ושוב כשנביט אל חלקי החלקים הללו, ככל שנביט פנימה. כשבוחנים פרקטל בזום, או בזכוכית מגדלת, מגלים את אותו הדפוס בקנה מידה קטן וכך זה הולך וקטן לקני מידה הולכים וקטנים, עד אינסוף.
את הצורות המופלאות הללו יצר המתמטיקאי הצרפתי בנואה מנדלברוט, על פי פרקטלים של ג'וליה, מתמטיקאי שקדם לו. המעניין הוא שאלה צורות המערבות סיבוכיות, הרמוניה ויופי, אבל למעשה משתמשות בנוסחה מתמטית פשוטה. משהו כמו Zn = Z + C^2 כשכל מספר ב-C ייתן צורה שונה לחלוטין.
והתגלית המעניינת היא שהצורות הללו נראות כמו הרבה דברים שאנו מכירים מהטבע. בסטים הללו נוצר מגוון אדיר של צורות קסומות, המזכירות איים קסומים ודימיוניים, קישוטים בארוקיים מדומים, עצים מרהיבים, חופים כפי שהן נראים ממעוף הציפור וכדומה. זו הסיבה שכיום עושים בסט מנדלברוט שימוש ביצירת נופים ועולמות מדומים במשחקי מחשב, בעולמות מדומים, בסרטים ובסימולציות שונות.
הנה הפרקטלים שבטבע וכיצד ניתן ליצור אותם בעצמנו:
http://youtu.be/XwWyTts06tU
הבה נתקרב עוד ועוד לפרקטל הכי מוכר מקבוצת מנדלברוט:
http://youtu.be/gEw8xpb1aRA
הסבר על הפרקטלים של מנדלברוט:
http://youtu.be/STSS3_cVauk
ושיר על הסט של מנדלברוט:
http://youtu.be/ES-yKOYaXq0
חבורת מנדלברוט, קבוצת מנדלברוט או סט מנדלברוט, הם שמות לצורות שחוזרות על עצמן ללא סוף. אלה צורות עם דמיון עצמי, כלומר כל חלק שלהן דומה לשלם. במילים אחרות, בכל צורה כזו נוכל לראות את הצורה בחלקים השונים שבה וכך שוב ושוב כשנביט אל חלקי החלקים הללו, ככל שנביט פנימה. כשבוחנים פרקטל בזום, או בזכוכית מגדלת, מגלים את אותו הדפוס בקנה מידה קטן וכך זה הולך וקטן לקני מידה הולכים וקטנים, עד אינסוף.
את הצורות המופלאות הללו יצר המתמטיקאי הצרפתי בנואה מנדלברוט, על פי פרקטלים של ג'וליה, מתמטיקאי שקדם לו. המעניין הוא שאלה צורות המערבות סיבוכיות, הרמוניה ויופי, אבל למעשה משתמשות בנוסחה מתמטית פשוטה. משהו כמו Zn = Z + C^2 כשכל מספר ב-C ייתן צורה שונה לחלוטין.
והתגלית המעניינת היא שהצורות הללו נראות כמו הרבה דברים שאנו מכירים מהטבע. בסטים הללו נוצר מגוון אדיר של צורות קסומות, המזכירות איים קסומים ודימיוניים, קישוטים בארוקיים מדומים, עצים מרהיבים, חופים כפי שהן נראים ממעוף הציפור וכדומה. זו הסיבה שכיום עושים בסט מנדלברוט שימוש ביצירת נופים ועולמות מדומים במשחקי מחשב, בעולמות מדומים, בסרטים ובסימולציות שונות.
הנה הפרקטלים שבטבע וכיצד ניתן ליצור אותם בעצמנו:
http://youtu.be/XwWyTts06tU
הבה נתקרב עוד ועוד לפרקטל הכי מוכר מקבוצת מנדלברוט:
http://youtu.be/gEw8xpb1aRA
הסבר על הפרקטלים של מנדלברוט:
http://youtu.be/STSS3_cVauk
ושיר על הסט של מנדלברוט:
http://youtu.be/ES-yKOYaXq0
מה מיוחד באדריכלות איסלאמית?
אדריכלות איסלאמית (Islamic architecture) היא סגנון התכנון והעיצוב הייחודי של המוסלמים. מדובר בסגנון שהאסתטיקה שלו שונה מאד מזו הנוצרית, למשל, המתבססת על הרבה יצירות אמנות שמציגות קדושים אנושיים, בציור, בפסל ובמסכה.
דת האסלאם הגבילה את המאמינים בעיצוב מסגדים שאוסר מאז ומתמיד על פסל ותמונה. כך התפתחה האדריכלות האסלאמית, כסגנון שנמנע ממרכיבים שכאלה והשתמש דווקא בקישוטים ועיטורים במבנים, שהתבססו על צורות גאומטריות וצורות מהטבע.
במקום תמונות ופסלים, משתמשים באדריכלות האיסלאמית במרכיבים קישוטיים רבים במבנה. ביניהם ניתן למצוא מרכיבים כמו כיפות, קשתות, משרביות, מעקות מגולפים, קרניזים וכדומה. כך מספקים את הרצון לקשט את המבנה, באמצעות פריטים אדריכליים שונים, שאינם מנוגדים לאיסורי הדת.
הנה האדריכלות האיסלאמית והגאומטריה שמככבת בה (מתורגם):
https://youtu.be/pg1NpMmPv48
כך אדריכלות משקפת מאבקי כוח על שליטה באיסלאם (עברית):
https://youtu.be/QGL7Iy7PqA8
וליד האדריכלות יש גם את ההנדסה והצד הכספי של המבנים המפוארים הללו (עברית):
https://youtu.be/Q_zGNzcMGEs
אדריכלות איסלאמית (Islamic architecture) היא סגנון התכנון והעיצוב הייחודי של המוסלמים. מדובר בסגנון שהאסתטיקה שלו שונה מאד מזו הנוצרית, למשל, המתבססת על הרבה יצירות אמנות שמציגות קדושים אנושיים, בציור, בפסל ובמסכה.
דת האסלאם הגבילה את המאמינים בעיצוב מסגדים שאוסר מאז ומתמיד על פסל ותמונה. כך התפתחה האדריכלות האסלאמית, כסגנון שנמנע ממרכיבים שכאלה והשתמש דווקא בקישוטים ועיטורים במבנים, שהתבססו על צורות גאומטריות וצורות מהטבע.
במקום תמונות ופסלים, משתמשים באדריכלות האיסלאמית במרכיבים קישוטיים רבים במבנה. ביניהם ניתן למצוא מרכיבים כמו כיפות, קשתות, משרביות, מעקות מגולפים, קרניזים וכדומה. כך מספקים את הרצון לקשט את המבנה, באמצעות פריטים אדריכליים שונים, שאינם מנוגדים לאיסורי הדת.
הנה האדריכלות האיסלאמית והגאומטריה שמככבת בה (מתורגם):
https://youtu.be/pg1NpMmPv48
כך אדריכלות משקפת מאבקי כוח על שליטה באיסלאם (עברית):
https://youtu.be/QGL7Iy7PqA8
וליד האדריכלות יש גם את ההנדסה והצד הכספי של המבנים המפוארים הללו (עברית):
https://youtu.be/Q_zGNzcMGEs
מי יוצר עיגולים בקרקע הים?
בשנת 1995 התגלתה תופעה מוזרה על קרקעית הים שליד האי הדרומי אממי-אושימה ביפאן. עיגולים גאומטריים שמזכירים מעט את מעגלי היבול החקלאיים, נמצאו שוב ושוב על הקרקעית. מהותם של העיגולים שנראו מעוצבים ביד אמן לא הייתה ברורה. הצוללנים שדיווחו עליהם לא יכולים היו להעיד על מקור התופעה וגם למדע לא היה הסבר.
כעבור עשור, לאחר מחקר וניסיונות להתחקות אחרי האמן החרישי, מצאו חוקרים יפאניים שמי שאחראי ליצירות הגיאומטריות הללו הם זכרי דגים נפוחיתיים (Pufferfish), שאנו מכנים לא פעם "אבו נפחא". מדובר במין לא מוכר שיוצר את העיגולים המופלאים. הדגים הללו משרטטים את עיגולי הקרקע המעוצבים באמצעות נפנוף סנפירים.
לעיגולי הקרקע (Crop circle) הללו תפקיד בתהליך החיזור. כך מפתים הזכרים את הנקבות להזדווג עימם. הנקבה נמשכת למבנה העגול שעל קרקע האוקיינוס ובסוף התהליך המופלא היא מטילה את ביצים במרכז הצורה המעגלית של הזכר וקפלי הקרקע מסייעים להגנה על הביצים.
הנה מסתרי הציורים של דגי יפאן:
http://youtu.be/YOGvVn7IWVY
כך יוצר דג הנפוחית את עיגולי הקרקע המופלאים שלו:
http://youtu.be/hpdlQae5wP8
ומצגת על התופעה המרהיבה:
http://youtu.be/WIbdnx7Q-JU
בשנת 1995 התגלתה תופעה מוזרה על קרקעית הים שליד האי הדרומי אממי-אושימה ביפאן. עיגולים גאומטריים שמזכירים מעט את מעגלי היבול החקלאיים, נמצאו שוב ושוב על הקרקעית. מהותם של העיגולים שנראו מעוצבים ביד אמן לא הייתה ברורה. הצוללנים שדיווחו עליהם לא יכולים היו להעיד על מקור התופעה וגם למדע לא היה הסבר.
כעבור עשור, לאחר מחקר וניסיונות להתחקות אחרי האמן החרישי, מצאו חוקרים יפאניים שמי שאחראי ליצירות הגיאומטריות הללו הם זכרי דגים נפוחיתיים (Pufferfish), שאנו מכנים לא פעם "אבו נפחא". מדובר במין לא מוכר שיוצר את העיגולים המופלאים. הדגים הללו משרטטים את עיגולי הקרקע המעוצבים באמצעות נפנוף סנפירים.
לעיגולי הקרקע (Crop circle) הללו תפקיד בתהליך החיזור. כך מפתים הזכרים את הנקבות להזדווג עימם. הנקבה נמשכת למבנה העגול שעל קרקע האוקיינוס ובסוף התהליך המופלא היא מטילה את ביצים במרכז הצורה המעגלית של הזכר וקפלי הקרקע מסייעים להגנה על הביצים.
הנה מסתרי הציורים של דגי יפאן:
http://youtu.be/YOGvVn7IWVY
כך יוצר דג הנפוחית את עיגולי הקרקע המופלאים שלו:
http://youtu.be/hpdlQae5wP8
ומצגת על התופעה המרהיבה:
http://youtu.be/WIbdnx7Q-JU
מהו משחק הספיירוגרף?
ספיירוגרף (Spirograph) היה משחק פופולארי פעם, שבו יצרנו צורות גיאומטריות מרהיבות, בעזרת דיסקיות מפלסטיק ועטים צבעוניים. התוצאה על הנייר הייתה שרטוטים גיאומטריים מדהימים, שנוצרו ללא מחשב אלא עם מאמץ ומעט יצירתיות ומחשבה.
כיום אפשר לצייר בספיירוגרף מקוון שנמצא כתוכנה באינטרנט.
כך מציירים בספיירוגרף:
https://youtu.be/l42Bc7CTLAs
וגם כך:
http://youtu.be/ZkNU3fvELFg
הנה הדרכה:
http://youtu.be/GczuhQwEZWg
וצורות שנוצרות מדיסקיות שונות:
http://youtu.be/LC5Pl5BKGu4
ספיירוגרף (Spirograph) היה משחק פופולארי פעם, שבו יצרנו צורות גיאומטריות מרהיבות, בעזרת דיסקיות מפלסטיק ועטים צבעוניים. התוצאה על הנייר הייתה שרטוטים גיאומטריים מדהימים, שנוצרו ללא מחשב אלא עם מאמץ ומעט יצירתיות ומחשבה.
כיום אפשר לצייר בספיירוגרף מקוון שנמצא כתוכנה באינטרנט.
כך מציירים בספיירוגרף:
https://youtu.be/l42Bc7CTLAs
וגם כך:
http://youtu.be/ZkNU3fvELFg
הנה הדרכה:
http://youtu.be/GczuhQwEZWg
וצורות שנוצרות מדיסקיות שונות:
http://youtu.be/LC5Pl5BKGu4
מהי מנדלת החול הטיבטית שיוצרים נזירים?
מנדלה היא סוג של ציור פולחני רוחני, בצורת מעגל שמתחיל או נובע מהמרכז שלו. הפירוש של מַנְדָּלָה בסנסקריט הוא "מרכז" או "מעגל" והוא מסמל את העולם המתקיים.
אחד הטקסים המרתקים בתבל הוא זה של מנדלת החול הטיבטית (Sand Mandala). בטקס יוצרים מנדלה ענקית במשך זמן רב ואז מחריבים אותה.
מנדלות החול הללו הן חלק מפולחן דתי שבו הנזירים יוצרים מנדלה זמנית, אמנות שנולדת כל פעם מחדש ולא מתקיימת יותר. מדובר בחלק ממסורת טיבטית בודהיסטית שבמרכזה יצירה ולאחר מכן הרס של מנדלות שקושטו בחול צבעוני.
הטקס נפתח בשרטוט של הצורות הגיאומטריות, על ידי הנזירים. הצורות הללו הן שיוצרות את תבנית המנדלה וישמשו לאחר מכן להנחת החול.
בהמשך מתבצע החלק הכולל את עבודת הנזירים הבודהיסטים בטיבט, שעמלים במשך שבועות על יצירת המנדלה המרהיבה שעשויה מגרגרי חול. באמצעות צינורות דקיקים, שופכים הנזירים את גרגרי החול הצבעוניים, לפי התבנית של המנדלה.
במקור, אגב, נהגו הנזירים להשתמש בגרגרים כתושים של אבן צבעונית. כיום הם משתמשים בחול צבוע בצבעים עזים, מה שהופך את המנדלה לססגונית אף יותר.
שיא התהליך הוא טקס בו הנזירים מתפללים, לאחר סיום יצירת המנדלה, במלמולים מסקרנים, חלקם בקול נמוך מאוד, תוך ליווי של עצמם בפעמוני יד עדינים.
אחרי שהם מסיימים להתפלל, הורסים הנזירים, ברגע אחד, את המנדלה שיצרו בעמל כה רב ומתמשך.
ההשתתפות בטקס המסקרן והמרתק היא חוויה של ממש. כל התהליך נועד מבחינה רוחנית לסמל את ארעיות הטבע החומרי, לעומת נצחיות הרוח.
הנה סיפורה של מנדלת החול בטיבט (עברית):
https://youtu.be/WBrYUlOYK0U
הסבר על המנדלה הקדושה הזו באנגלית:
https://youtu.be/G58Pujijsqc
כך מייצרים הנזירים את מנדלות החול עם סימונים גיאומטריים מדויקים:
https://youtu.be/IYVcjFhpsHc
אמן ישראלי מתאר את מנדלות החול שהוא עושה ומטרתן (עברית):
https://youtu.be/eZWKJf4JxDE
מנדלת חול בטיבט נוצרת בהילוך מהיר:
https://youtu.be/BOQHk24GDL0
והטקס בסיום העבודה על מנדלת החול הטיבטית:
https://youtu.be/GA3su0ECdPc
מנדלה היא סוג של ציור פולחני רוחני, בצורת מעגל שמתחיל או נובע מהמרכז שלו. הפירוש של מַנְדָּלָה בסנסקריט הוא "מרכז" או "מעגל" והוא מסמל את העולם המתקיים.
אחד הטקסים המרתקים בתבל הוא זה של מנדלת החול הטיבטית (Sand Mandala). בטקס יוצרים מנדלה ענקית במשך זמן רב ואז מחריבים אותה.
מנדלות החול הללו הן חלק מפולחן דתי שבו הנזירים יוצרים מנדלה זמנית, אמנות שנולדת כל פעם מחדש ולא מתקיימת יותר. מדובר בחלק ממסורת טיבטית בודהיסטית שבמרכזה יצירה ולאחר מכן הרס של מנדלות שקושטו בחול צבעוני.
הטקס נפתח בשרטוט של הצורות הגיאומטריות, על ידי הנזירים. הצורות הללו הן שיוצרות את תבנית המנדלה וישמשו לאחר מכן להנחת החול.
בהמשך מתבצע החלק הכולל את עבודת הנזירים הבודהיסטים בטיבט, שעמלים במשך שבועות על יצירת המנדלה המרהיבה שעשויה מגרגרי חול. באמצעות צינורות דקיקים, שופכים הנזירים את גרגרי החול הצבעוניים, לפי התבנית של המנדלה.
במקור, אגב, נהגו הנזירים להשתמש בגרגרים כתושים של אבן צבעונית. כיום הם משתמשים בחול צבוע בצבעים עזים, מה שהופך את המנדלה לססגונית אף יותר.
שיא התהליך הוא טקס בו הנזירים מתפללים, לאחר סיום יצירת המנדלה, במלמולים מסקרנים, חלקם בקול נמוך מאוד, תוך ליווי של עצמם בפעמוני יד עדינים.
אחרי שהם מסיימים להתפלל, הורסים הנזירים, ברגע אחד, את המנדלה שיצרו בעמל כה רב ומתמשך.
ההשתתפות בטקס המסקרן והמרתק היא חוויה של ממש. כל התהליך נועד מבחינה רוחנית לסמל את ארעיות הטבע החומרי, לעומת נצחיות הרוח.
הנה סיפורה של מנדלת החול בטיבט (עברית):
https://youtu.be/WBrYUlOYK0U
הסבר על המנדלה הקדושה הזו באנגלית:
https://youtu.be/G58Pujijsqc
כך מייצרים הנזירים את מנדלות החול עם סימונים גיאומטריים מדויקים:
https://youtu.be/IYVcjFhpsHc
אמן ישראלי מתאר את מנדלות החול שהוא עושה ומטרתן (עברית):
https://youtu.be/eZWKJf4JxDE
מנדלת חול בטיבט נוצרת בהילוך מהיר:
https://youtu.be/BOQHk24GDL0
והטקס בסיום העבודה על מנדלת החול הטיבטית:
https://youtu.be/GA3su0ECdPc
מי היה אבי הכוריאוגרפיה של המיוזיקל באזבי ברקלי?
הוא היה ללא ספק גאון הכוראוגראפיה של עולם הקולנוע. אמן בעל תפיסה ויזואלית שהשפיעה על דורות של יוצרים, מהנדס של שורות ריקוד משתנות, פרקטלים אנושיים, מבנים דינמיים עשויים מרקדנים וקליידוסקופים מרקדים, שירה, ריקודים בעלי חזות פנטסטית ודגמי קבוצות גאומטריים.
קראו לו באזבי ברקלי (Busby Berkley) והוא היה המלך של עידן המיוזיקל, במאי וכוריאוגרף של סרטים מוזיקליים מיוחדים שזוהו תמיד לפי העבודה הכוריאוגרפית שלו. בשנות ה-30 הוא היה הדמות החשובה במיוזיקל האמריקאי.
באזבי עמד על כך שהמיוזיקל, כז'אנר קולנועי, ייווצר על פי האפשרויות של מצלמת הקולנוע והשיטות שלו ולא כחיקוי של המחזמר בתאטרון. וכך יצר הכוריאוגרף הגאון ואבי הכוראוגרפיה של המיוזיקל, זוויות צילום מיוחדות. אחת מהן היא זווית "מבט ציפור", בה הוא צילם את הרקדנים מלמעלה. היו לו גם מגוון צורות דמויות קליידוסקופ, שהוא יצר מקבוצות ענק של רקדניות, שהוא הציב והרקיד בתכנון מוקפד וגאוני.
עד היום צלמים רבים מכנים על שמו את זווית הצילום העילית. אפילו צלמי מזון, המצלמים צלחות עם צילחות מוצלח מלמעלה, נוהגים לכנות אותם "באזבי ברקלי ויו" (Busby Berkeley view).
הנה סיפורו של באזבי ברקלי:
https://youtu.be/P4zLARbOOc8
מצגת וידאו על באסבי ברקלי והמיוזיקל שלו:
https://youtu.be/PNCwYuXndP0
מיקס מעבודותיו הגדולות של ברקלי:
https://youtu.be/K6xsBD4ZmOU
אנשים שעבדו איתו מעידים על עבודתו:
https://youtu.be/BDhqancfvgo
ריקוד הסטפס ההמוני מהסרט 42 street:
https://youtu.be/Yx6s-YReOJY
המזרקה האנושית שלו:
https://youtu.be/FRqcZcrgPaU
הפסנתרים המרקדים:
https://youtu.be/QHMbSTWJvZM
מחווה עדכנית לברקלי:
https://youtu.be/NCDCf7b0q-8
ו"בנות יפות" מהסרט Dames:
https://youtu.be/9bVJol3-XLo
הוא היה ללא ספק גאון הכוראוגראפיה של עולם הקולנוע. אמן בעל תפיסה ויזואלית שהשפיעה על דורות של יוצרים, מהנדס של שורות ריקוד משתנות, פרקטלים אנושיים, מבנים דינמיים עשויים מרקדנים וקליידוסקופים מרקדים, שירה, ריקודים בעלי חזות פנטסטית ודגמי קבוצות גאומטריים.
קראו לו באזבי ברקלי (Busby Berkley) והוא היה המלך של עידן המיוזיקל, במאי וכוריאוגרף של סרטים מוזיקליים מיוחדים שזוהו תמיד לפי העבודה הכוריאוגרפית שלו. בשנות ה-30 הוא היה הדמות החשובה במיוזיקל האמריקאי.
באזבי עמד על כך שהמיוזיקל, כז'אנר קולנועי, ייווצר על פי האפשרויות של מצלמת הקולנוע והשיטות שלו ולא כחיקוי של המחזמר בתאטרון. וכך יצר הכוריאוגרף הגאון ואבי הכוראוגרפיה של המיוזיקל, זוויות צילום מיוחדות. אחת מהן היא זווית "מבט ציפור", בה הוא צילם את הרקדנים מלמעלה. היו לו גם מגוון צורות דמויות קליידוסקופ, שהוא יצר מקבוצות ענק של רקדניות, שהוא הציב והרקיד בתכנון מוקפד וגאוני.
עד היום צלמים רבים מכנים על שמו את זווית הצילום העילית. אפילו צלמי מזון, המצלמים צלחות עם צילחות מוצלח מלמעלה, נוהגים לכנות אותם "באזבי ברקלי ויו" (Busby Berkeley view).
הנה סיפורו של באזבי ברקלי:
https://youtu.be/P4zLARbOOc8
מצגת וידאו על באסבי ברקלי והמיוזיקל שלו:
https://youtu.be/PNCwYuXndP0
מיקס מעבודותיו הגדולות של ברקלי:
https://youtu.be/K6xsBD4ZmOU
אנשים שעבדו איתו מעידים על עבודתו:
https://youtu.be/BDhqancfvgo
ריקוד הסטפס ההמוני מהסרט 42 street:
https://youtu.be/Yx6s-YReOJY
המזרקה האנושית שלו:
https://youtu.be/FRqcZcrgPaU
הפסנתרים המרקדים:
https://youtu.be/QHMbSTWJvZM
מחווה עדכנית לברקלי:
https://youtu.be/NCDCf7b0q-8
ו"בנות יפות" מהסרט Dames:
https://youtu.be/9bVJol3-XLo
מה הפלא המתמטי של החמניה?
לאונרדו מפיזה, או פיבונאצ'י כמו שקרא לעצמו, היה כנראה גדול המתמטיקאים של ימי הביניים. במיוחד הוא ידוע כמי שגילה את סדרת המספרים המכונה על שמו "סדרת פיבונאצ'י".
כל איבר בסדרת פיבונאצ'י שווה לסכום של שני האיברים הקודמים לו. הוא לא הפסיק להתפעל מהקסם המתמטי של הסדרה הזו, כמו זה שביחסים בין ריבועי המספרים או ביופי של מה שהיא יוצרת בגאומטריה למשל, אבל אפילו הוא לא שיער כמה תופעות טבע מאופיינות במספרי פיבונאצ'י, כמו למשל העובדה שמספר עלי הכותרת בצמחים רבים הוא תמיד מספר פיבונצ'י, כמו 5, 8, 13 וכדומה.
מפתיע? - אז שימו לב לתופעה מרתקת אפילו יותר.. מסתבר שמספר הגרעינים שבפרח החמניה הם מספרי פיבונצ'י עוקבים. אם תביטו היטב, הם נראים כמו 2 ספירלות, שאחת היא בעלת 89 גרעינים והשנייה בת 55 גרעינים - שני מספרים עוקבים בסדרה (אגב, זה כך גם באצטרובלי עץ האורן).
ולמה זה קורה? - ובכן, נראה שהספירלות הללו מופיעות בפרחים כאלה ובאיצטרובלים, כדי למנוע מצב שבו הגרעינים יהיו צפופים מדי ויתקשו להתפתח. לכן הטבע מרבה אותם במספרי פיבונצ'י וכך נוצר המספר המרבי של גרעינים, מה שיבטיח שכפול מוצלח והמשך הדורות.
וזה לא הדבר היחיד שבו פיבונצ'י נראה בצמחים כאלו. מסתבר שאפילו זווית הגדילה של העלים על הגבעול, זו שמאפשרת לעלים החדשים לצמוח באופן שיקבלו הכי הרבה אור שמש, אפילו היא מתמטית ומדויקת. למעשה היא ידועה בתור יחס הזהב, כ-1.618. אם נחלק 360 מעלות של הגבעול העגול במספר 1.618 נקבל בדיוק את המיקומים שהטבע בחר לגדילת העלים על הגבעול. בינגו! - שוב הטבע הצטיין במתמטיקה והשתמש במספרי פיבונצ'י וביחס הזהב שנובע ממנו כדי להיטיב את גדילת הצמחים.
אז האמת שאין כאן פלא, חוץ מפלאי הטבע כמובן. סדרת פיבונאצ'י, שאנו כה מתפעלים ממנה כאן, היא הדרך שבה מאורגנים ומשוכפלים ביעילות מרכיבים רבים בטבע ובה פועלים ביעילות רבה כוחות טבעיים שונים. כשאנו מוצאים בחמניה את מספרי פיבונאצ'י, לכל היותר נוכל לומר שהחמניה "גדלה כמו שצריך".. אז אולי זה מופלא, אבל לא יותר מהפלא הבלתי נתפס של היקום כולו!
הנה המתמטיקה של החמניות:
https://youtu.be/z9d1mxgZ0ag
היופי המתמטי שגלום בסדרת מספרים פשוטה לכאורה זו (מתורגם):
https://youtu.be/SjSHVDfXHQ4
והגרעינים האלה שעל פרח החמנייה - ככה הם הופכים לגרעינים שחורים (עברית):
https://youtu.be/xLCkC0oOFqw
לאונרדו מפיזה, או פיבונאצ'י כמו שקרא לעצמו, היה כנראה גדול המתמטיקאים של ימי הביניים. במיוחד הוא ידוע כמי שגילה את סדרת המספרים המכונה על שמו "סדרת פיבונאצ'י".
כל איבר בסדרת פיבונאצ'י שווה לסכום של שני האיברים הקודמים לו. הוא לא הפסיק להתפעל מהקסם המתמטי של הסדרה הזו, כמו זה שביחסים בין ריבועי המספרים או ביופי של מה שהיא יוצרת בגאומטריה למשל, אבל אפילו הוא לא שיער כמה תופעות טבע מאופיינות במספרי פיבונאצ'י, כמו למשל העובדה שמספר עלי הכותרת בצמחים רבים הוא תמיד מספר פיבונצ'י, כמו 5, 8, 13 וכדומה.
מפתיע? - אז שימו לב לתופעה מרתקת אפילו יותר.. מסתבר שמספר הגרעינים שבפרח החמניה הם מספרי פיבונצ'י עוקבים. אם תביטו היטב, הם נראים כמו 2 ספירלות, שאחת היא בעלת 89 גרעינים והשנייה בת 55 גרעינים - שני מספרים עוקבים בסדרה (אגב, זה כך גם באצטרובלי עץ האורן).
ולמה זה קורה? - ובכן, נראה שהספירלות הללו מופיעות בפרחים כאלה ובאיצטרובלים, כדי למנוע מצב שבו הגרעינים יהיו צפופים מדי ויתקשו להתפתח. לכן הטבע מרבה אותם במספרי פיבונצ'י וכך נוצר המספר המרבי של גרעינים, מה שיבטיח שכפול מוצלח והמשך הדורות.
וזה לא הדבר היחיד שבו פיבונצ'י נראה בצמחים כאלו. מסתבר שאפילו זווית הגדילה של העלים על הגבעול, זו שמאפשרת לעלים החדשים לצמוח באופן שיקבלו הכי הרבה אור שמש, אפילו היא מתמטית ומדויקת. למעשה היא ידועה בתור יחס הזהב, כ-1.618. אם נחלק 360 מעלות של הגבעול העגול במספר 1.618 נקבל בדיוק את המיקומים שהטבע בחר לגדילת העלים על הגבעול. בינגו! - שוב הטבע הצטיין במתמטיקה והשתמש במספרי פיבונצ'י וביחס הזהב שנובע ממנו כדי להיטיב את גדילת הצמחים.
אז האמת שאין כאן פלא, חוץ מפלאי הטבע כמובן. סדרת פיבונאצ'י, שאנו כה מתפעלים ממנה כאן, היא הדרך שבה מאורגנים ומשוכפלים ביעילות מרכיבים רבים בטבע ובה פועלים ביעילות רבה כוחות טבעיים שונים. כשאנו מוצאים בחמניה את מספרי פיבונאצ'י, לכל היותר נוכל לומר שהחמניה "גדלה כמו שצריך".. אז אולי זה מופלא, אבל לא יותר מהפלא הבלתי נתפס של היקום כולו!
הנה המתמטיקה של החמניות:
https://youtu.be/z9d1mxgZ0ag
היופי המתמטי שגלום בסדרת מספרים פשוטה לכאורה זו (מתורגם):
https://youtu.be/SjSHVDfXHQ4
והגרעינים האלה שעל פרח החמנייה - ככה הם הופכים לגרעינים שחורים (עברית):
https://youtu.be/xLCkC0oOFqw
