שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מהו פרדוקס הדיכוטומיה של זנון?
פרדוקס הדיכוטומיה של זנון, או פרדוקס החיתוך לשניים, הוא אחד מהפרדוקסים שהשאיר אחריו הפילוסוף שעסק באינסוף כבר ביוון העתיקה. על פי הפרדוקס הזה, אדם ההולך למקום מסוים, עובר חצי מהמרחק בזמן מסוים, אחרי כן הוא עובר חצי מחצי המרחק הנותר (רבע מהמרחק הכללי), אחרי כן שמינית מהמרחק הכללי וחוזר חלילה. בכל פעם הוא עושה חצי ממה שעשה קודם ולכאורה הוא לעולם לא יגיע למטרתו.
הטיעון הוא כללי ואומר שאת המרחק מנקודה לנקודה אין אפשרות להשלים, כי הוא אינסופי. במילים אחרות, זנון הסביר שתנועה ממקום למקום אינה אפשרית.
זה שמדובר בשטות כולם יודעים, אבל המתמטיקאים היו צריכים להתמודד עם הסוגיה הזו בכלים מדעיים חישוביים. את ההוכחה המתמטית לכך נתנו שנים רבות אחר-כך. הם הוכיחו שסכום החלקים שניתן לעשות בדרך יהיה בכל מקרה הסך הכל ולפיכך הוא סופי.
הנה הבעיה שהציב זנון ופתרון פרדוקס הדיכוטומיה (מתורגם):
http://youtu.be/EfqVnj-sgcc?t=14s
היוכל צב לנצח את אלוף העולם בריצה?
אחד משלושת הפרדוקסים של זנון הוא פרדוקס אכילס והצב (Achilles and the tortoise), שאומר שרץ מהיר לא יצליח להשיג לעולם את הצב האיטי ביותר. כיצד זה יכול לקרות?
זנון מדגים בסיפור על תחרות ריצה מדומה שקיימו רץ יווני מהיר בשם אכילס וצב. אכילס נתן לצב להתחיל מנקודה של מאה מטרים לפני אכילס. בנסיבות אלה, אמר זנון, לא יוכל אכילס להשיג את הצב לעולם.
הסיבה היא שהריצה של אכילס אל הנקודה שממנה התחיל הצב תאפשר לצב להתקדם מעט. בזמן שאכילס יתקדם לנקודת שאליה הגיע הצב עכשיו, הצב שוב יעשה כברת דרך. כך הדברים יחזרו שוב ושוב, עד אין סוף. לכן, כותב זנון, לא יוכל אכילס להשיג את הצב, כי הצב לעולם יקדים אותו...
אבל המציאות היא כידוע לנו שונה... כולנו יודעים שאכילס ישיג את הצב תוך רגעים. אז איך פותרים את הפרדוקס בין המתמטיקה למציאות?
הפתרון של החשבון האינפיניטסימלי לפרדוקס הוא שהמרחק שאכילס יעבור, זה שתואר בפרדוקס כאין סוף שלבים, הוא סופי. לכן, יהיה סופי גם הזמן הכולל שייקח לו לבצע את "אינסוף השלבים" שזנון היטיב לתאר.
זה מפני שהטור שמתאר את סדרת הזמנים ההולכל וקטנה מתכנס בסופו של דבר למספר סופי, כך שלאחר זמן זה יהיו אכילס והצב באותו המקום ובצעד הבא שלו אכילס כבר ישיג את הצב.
במילים אחרות, כל שלב בדרך שאכילס עובר, קטן והולך פי 10 ומכאן שגם הזמן שייקח לו לעבור את אותו מרחק קטן גם הוא פי 10.
הנה הפרדוקס של אכילס והצב (מתורגם):
http://youtu.be/skM37PcZmWE
סיפור הפרדוקס המופלא הזה באנגלית:
https://youtu.be/3vNlf2zGLaE
ושיחה על הפרדוקס המופלא ועוד משל זנון (עברית):
https://youtu.be/gbUfg7YYCeE?long=yes
מהו פרדוקס החץ הנע של זנון?
הפרדוקס של החץ הנע (The Arrow paradox) הוא עוד אחד מפרדוקסי התנועה המפורסמים של הפילוסוף היווני זנון.
הפרדוקס מדבר על כך שאם חץ נורה אל מטרה, בכל רגע שנבדוק אותו במעופו, הוא נמצא במקום מסוים והוא במצב של מנוחה. כך נוכל לבדוק כל רגע בודד במהלך מעוף החץ. אם כך, אומר זנון, החץ נמצא תמיד במנוחה, לאורך כל מעופו. לכן החץ אינו נע בעצם...
ברור לנו שזה לא הגיוני, שכם אנו מבינים שהחץ נע מהמקום שבו הוא נורה ועד למקום הפגיעה. מכאן שהפתרון צריך להגיע מהמתמטיקה. ממושג הגבול בחשבון האינפיניטסימלי אנו יודעים שגם כשאורכו של הרגע שואף לאפס, אין בעיה שמהירות החץ תהיה גדולה מאפס, מה שאומר שהחץ לא ממש נמצא במנוחה. זהו מושג שמתקבל מגזירת מיקום החץ כפונקציה של הזמן ונקרא בפיזיקה "המהירות הרגעית".
הנה סרטון שמסביר את פרדוקס החץ הנע:
https://youtu.be/cw3V5BruAwI
פילוסוף מציג את הניגוד בין מה שאנו רואים ובין המדע:
https://youtu.be/CjP2VM-1l_o
והסבר נוסף לפרדוקס של החץ הנע:
http://youtu.be/ZfArTozRTLI
הפרדוקסים של זנון
פרדוקס הדיכוטומיה של זנון, או פרדוקס החיתוך לשניים, הוא אחד מהפרדוקסים שהשאיר אחריו הפילוסוף שעסק באינסוף כבר ביוון העתיקה. על פי הפרדוקס הזה, אדם ההולך למקום מסוים, עובר חצי מהמרחק בזמן מסוים, אחרי כן הוא עובר חצי מחצי המרחק הנותר (רבע מהמרחק הכללי), אחרי כן שמינית מהמרחק הכללי וחוזר חלילה. בכל פעם הוא עושה חצי ממה שעשה קודם ולכאורה הוא לעולם לא יגיע למטרתו.
הטיעון הוא כללי ואומר שאת המרחק מנקודה לנקודה אין אפשרות להשלים, כי הוא אינסופי. במילים אחרות, זנון הסביר שתנועה ממקום למקום אינה אפשרית.
זה שמדובר בשטות כולם יודעים, אבל המתמטיקאים היו צריכים להתמודד עם הסוגיה הזו בכלים מדעיים חישוביים. את ההוכחה המתמטית לכך נתנו שנים רבות אחר-כך. הם הוכיחו שסכום החלקים שניתן לעשות בדרך יהיה בכל מקרה הסך הכל ולפיכך הוא סופי.
הנה הבעיה שהציב זנון ופתרון פרדוקס הדיכוטומיה (מתורגם):
http://youtu.be/EfqVnj-sgcc?t=14s
אחד משלושת הפרדוקסים של זנון הוא פרדוקס אכילס והצב (Achilles and the tortoise), שאומר שרץ מהיר לא יצליח להשיג לעולם את הצב האיטי ביותר. כיצד זה יכול לקרות?
זנון מדגים בסיפור על תחרות ריצה מדומה שקיימו רץ יווני מהיר בשם אכילס וצב. אכילס נתן לצב להתחיל מנקודה של מאה מטרים לפני אכילס. בנסיבות אלה, אמר זנון, לא יוכל אכילס להשיג את הצב לעולם.
הסיבה היא שהריצה של אכילס אל הנקודה שממנה התחיל הצב תאפשר לצב להתקדם מעט. בזמן שאכילס יתקדם לנקודת שאליה הגיע הצב עכשיו, הצב שוב יעשה כברת דרך. כך הדברים יחזרו שוב ושוב, עד אין סוף. לכן, כותב זנון, לא יוכל אכילס להשיג את הצב, כי הצב לעולם יקדים אותו...
אבל המציאות היא כידוע לנו שונה... כולנו יודעים שאכילס ישיג את הצב תוך רגעים. אז איך פותרים את הפרדוקס בין המתמטיקה למציאות?
הפתרון של החשבון האינפיניטסימלי לפרדוקס הוא שהמרחק שאכילס יעבור, זה שתואר בפרדוקס כאין סוף שלבים, הוא סופי. לכן, יהיה סופי גם הזמן הכולל שייקח לו לבצע את "אינסוף השלבים" שזנון היטיב לתאר.
זה מפני שהטור שמתאר את סדרת הזמנים ההולכל וקטנה מתכנס בסופו של דבר למספר סופי, כך שלאחר זמן זה יהיו אכילס והצב באותו המקום ובצעד הבא שלו אכילס כבר ישיג את הצב.
במילים אחרות, כל שלב בדרך שאכילס עובר, קטן והולך פי 10 ומכאן שגם הזמן שייקח לו לעבור את אותו מרחק קטן גם הוא פי 10.
הנה הפרדוקס של אכילס והצב (מתורגם):
http://youtu.be/skM37PcZmWE
סיפור הפרדוקס המופלא הזה באנגלית:
https://youtu.be/3vNlf2zGLaE
ושיחה על הפרדוקס המופלא ועוד משל זנון (עברית):
https://youtu.be/gbUfg7YYCeE?long=yes
הפרדוקס של החץ הנע (The Arrow paradox) הוא עוד אחד מפרדוקסי התנועה המפורסמים של הפילוסוף היווני זנון.
הפרדוקס מדבר על כך שאם חץ נורה אל מטרה, בכל רגע שנבדוק אותו במעופו, הוא נמצא במקום מסוים והוא במצב של מנוחה. כך נוכל לבדוק כל רגע בודד במהלך מעוף החץ. אם כך, אומר זנון, החץ נמצא תמיד במנוחה, לאורך כל מעופו. לכן החץ אינו נע בעצם...
ברור לנו שזה לא הגיוני, שכם אנו מבינים שהחץ נע מהמקום שבו הוא נורה ועד למקום הפגיעה. מכאן שהפתרון צריך להגיע מהמתמטיקה. ממושג הגבול בחשבון האינפיניטסימלי אנו יודעים שגם כשאורכו של הרגע שואף לאפס, אין בעיה שמהירות החץ תהיה גדולה מאפס, מה שאומר שהחץ לא ממש נמצא במנוחה. זהו מושג שמתקבל מגזירת מיקום החץ כפונקציה של הזמן ונקרא בפיזיקה "המהירות הרגעית".
הנה סרטון שמסביר את פרדוקס החץ הנע:
https://youtu.be/cw3V5BruAwI
פילוסוף מציג את הניגוד בין מה שאנו רואים ובין המדע:
https://youtu.be/CjP2VM-1l_o
והסבר נוסף לפרדוקס של החץ הנע:
http://youtu.be/ZfArTozRTLI
