» «

חידות

פרדוקס
מה זה פרדוקס?



פרדוקס (Paradox) הוא טענה שסותרת את עצמה, אמת שכוללת סתירה.

ברוב המקרים הפרדוקס כולל סתירה פנימית. במקרה כזה נובעים מהפרדוקס עצמו דבר והיפוכו. לעתים כולל הפרדוקס דווקא סתירה חיצונית ואז הוא סותר ידע קודם, או הנחה קודמת. נואמים נעזרים לעתים בפרדוקסים, על מנת לשכנע את השומעים לנטוש את דעותיהם.

דוגמה לסתירה פנימית שיוצרת פרדוקס הוא למשל "פרדוקס השקרן". בבסיס פרדוקס עומד המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" - ננסה לברר... האם המשפט שקר? או שמה המשפט אמת?

ראשית נניח כי המשפט אמת, כלומר, המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" הוא אמת. כעת נבדוק, האם ההנחה שלנו מתקיימת? - כמובן שלא. הנחה שלנו כי המשפט אמת איננה מתקיימת, מכיוון שהיא עומדת בסתירה לטענת המשפט כי המשפט הוא שקר. וקיבלנו סתירה להנחה שלנו כי המשפט אמת.

כעת ננסה להניח שהמשפט שקר, כלומר, המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" הוא שקר. כעת נבדוק, האם ההנחה שלנו מתקיימת? - גם במקרה הזה, ההנחה איננה מתקיימת. הנחנו כי המשפט הוא שקר, וטענת המשפט היא שהמשפט הוא שקר. הרי שקיבלנו סתירה, כי אם המשפט הוא שקר אזי טענת המשפט כי המשפט הוא שקר תהיה טענת אמת, ולכן המשפט יהיה אמת וזה בסתירה להנחה שלנו כי המשפט הוא שקר.

למעשה, לא ניתן לקבוע האם המשפט "משפט זה הוא משפט שקר", הוא משפט אמת או משפט שקר. המשפט הוא משפט פרדוקסלי הסותר את עצמו וזו היא דוגמא ל"פרדוקס השקרן".

המילה פרדוקס באה מיוונית: para = מעבר למשהו ו-doxa = אמונה, דעה. בפילוסופיה יש לא מעט פרדוקסים מפורסמים (כמה מהם ניתן למצוא באאוריקה בתגית "פרדוקסים").


הנה הסבר מושג הפרדוקס:

http://youtu.be/tye7vejSY7k
דילמת האסיר
מהי דילמת האסיר?



דילמת האסיר היא פרדוקס קלאסי שהפך לבסיס של תורת המשחקים. הדילמה, שנוסחה ב-1950 על ידי 2 כלכלנים אמריקאיים, ממחישה מצבי יום-יום של התלבטויות חברתיות.

הנה הדוגמה:

נניח ששני פושעים ביצעו פשע ביחד ונחקרים על ידי המשטרה. אם יורשעו, הם יודעים שכל אחד מהם ייכנס לכלא ל-15 שנה. אם לא יהיו בידי המשטרה ראיות, ברור להם שהם יועמדו לדין על עבירה משנית וייכנסו לכלא לשנה אחת כל אחד. בהיעדר ראיות, מציעה המשטרה לכל אחד מהם להעיד נגד חברו ולהכנס לכלא לחמש שנים. אם רק אחד מהם יעיד וחברו לא יעיד כנגדו, זה שהעיד ייצא מיד לחופשי וחברו ייכנס לכלא למשך 15 שנה. מה עליהם לעשות?

הפתרון פשוט - על כל אחד מהם, בלי קשר להתנהגותו חברו, להסכים להעיד. כך הוא ישפר בכל מקרה את מצבו המשפטי. אבל הפרדוקס, הוא שאם שניהם יחליטו לא להעיד, יהיה מצבם הכי טוב (כזכור, הם ייכנסו לכלא לשנה אחת בלבד).

במקרה הזה תורת המשחקים קובעת שהטקטיקה המנצחת היא לבגוד בשותפך לדבר עבירה ולהעיד. כך יהיה הסיכוי לעונש פחות בהרבה.



הפרדוקס מציג כשל בזרימת מידע בין אנשים או גופים, שנאלצים לקבל החלטות, ללא מידע חיוני. דוגמאות לא חסרות לדילמת האסיר בהקשרים היסטוריים ועכשוויים. בתקופת השואה למשל, הודגמה דילמת האסיר שוב ושוב בהתנהגותם של אסירים שהתלבטו אם להימלט ולסכן את חבריהם לפלוגת עבודה או הבלוק.

להבדיל, בעולם העיסקי יש החלטות רבות שאופיין דומה, אך כאן מתלבטות הנהלות של חברות עיסקיות כיצד לנהוג למול החלטות אפשריות של המתחרים, או קבוצות אחרות בקרב בעלי המניות או מקבלי ההחלטות.


הנה דילמת האסיר (מתורגם):

https://youtu.be/t9Lo2fgxWHw


דילמת האסיר מוסברת:

https://youtu.be/emyi4z-O0ls


ועם מעט חיוך, מה קורה כשנכנסים עם הדילמה של האסיר ל... שירותים (עברית):

https://youtu.be/G-jSgLRD_kg
מגדלי האנוי
מהם מגדלי האנוי?



מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.

החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".

אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..


ישנם כללים להעברה:

א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.

ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.


הנה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:

http://youtu.be/BMkOBNZHcIs
חידת גשרי קניגסברג
מי פתר את חידת גשרי קניגסברג?



המתמטיקאי החשוב ביותר של המאה ה-18 היה לאונרד אוֹילֶר השווייצרי, שאת רוב חייו בילה ברוסיה ובגרמניה. עם 886 ספרים ומאמרים שפרסם בחייו, חלק גדול מהם בשנים שבהן סבל מעיוורון, הוא נחשב מהפוריים שבמתמטיקאים.

אוילר תרם תרומה מכרעת לתחומים רבים ומגוונים במתמטיקה. הוא גם היה זה שהכניס לשימוש סימנים מתמטיים רבים שמקובלים כיום, כמו למשל, בקביעת האות היוונית פיי לסימון היחס בין הקף של מעגל לקוטר שלו. אוילר הוא גם המייסד של תורת הגרפים, שחשיבותה בחייו לא נראתה אולי גדולה מדי, אך בעידן המודרני יש לגרפים חשיבות רבה וכמעט אי-אפשר לראות התנהלות מדעית, הנדסית וכלכלית ללא הגרפים שמציגים רעיונות ותהליכים כל כך טוב.

חידת גשרי קניגסברג היא חידה שבה יש מערכת גשרים (בעיר אמיתית, אגב) שבה רצה אוילר למצוא מסלול שעובר בכל הגשרים ופעם אחת בלבד בכל גשר.


הנה סרטון שמציג את בעיית גשרי קניגסברג (מתורגם):

https://youtu.be/nZwSo4vfw6c


קביעתו החכמה של אוילר לגבי פתרונה (עברית):

http://youtu.be/-LqxT1SMgR0?t=3m13s


יצוג מוסרט של בעיית הגשרים של קניגסברג:

http://youtu.be/2qBZ1-9VuLA


וסרטון קצר על לאונרד אוילר:

http://youtu.be/Ty6ejK1rAkg


אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

העולם הוא צבעוני ומופלא, אאוריקה כאן בשביל שתגלו אותו...

אלפי נושאים, תמונות וסרטונים, מפתיעים, מסקרנים וממוקדים.

ניתן לנווט בין הפריטים במגע, בעכבר, בגלגלת, או במקשי המקלדת

בואו לגלות, לחקור, ולקבל השראה!

אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.