» «

מוסיקה ומתמטיקה

פוגה
מי רודף אחרי הפוגה המוסיקלית?



פוּגָה (Fugue) היא שיטת הלחנה פוליפונית לכמה קולות, שנולדה בתקופת הרנסאנס והגיעה לשיא בתקופת הבארוק. גם אחרי תקופת הבארוק ממשיכה הפוגה להופיע, מפוגות בתקופה הקלאסית ועד לפוגות מהתקופה הרומנטית ובמאה ה-20.

בתחילת הפוגה מנוגן הנושא הראשי ובהמשך הוא מושמע שוב ושוב, כשבכל פעם הוא "עובר" לקול אחר, בין הקולות השונים. אך בכל קול הוא מנוגן בשינויים מסוימים. לעתים השינוי מלודי, כלומר במנגינה שלו, ולעתים הוא ריתמי, בקצב שלו. כך הוא מתאים לקולות האחרים ולסולמות השונים.

חוץ מהנושא הראשי, יש בפוגה גם נושאים משניים וקטעי מעבר, שמושמעים כל הזמן למולו, כנושאים נגדיים או מקבילים. קצת כמו שיחה שבה ניתן להבין את דברי כולם, על אף שהם מדברים ביחד וממש בו-זמנית - כך הקולות בפוגה עצמאיים ועדיין יש ביניהם שילוב הרמוני המשתלב היטב לכדי שלמות אחת. בכך הפוגה שונה מצורות מוסיקליות אחרות שלא מבוססות על קונטרפונקט.

יצירות שנכתבו בטכניקת הפוגה נקראות במרבית המקרים גם הן "פוגה". פוגות כאלה יכולות להיכתב לכלי יחיד, לרוב כלי מקלדת כמו פסנתר, להרכבים כליים וקוליים, דוגמת רביעיית מיתרים, תזמורת מלאה או מקהלה.

פוגות מפורסמות ניתן למצוא בסימפוניה השלישית של בטהובן, בקטע ה"אמן" מתוך הרקוויאם של מוצרט, וברבות מיצירותיו של יוהאן סבסטיאן באך.


כך נראית פוגה:

https://youtu.be/95gLT7NzHAM


הנה הפוגה הגדולה בסול מינור של באך קכל 542:

https://youtu.be/4WhPUqpaRp4


פוגת "אמן" מתוך הרקוויאם של מוצרט:

https://youtu.be/-IfB7VmGaNQ


הפוגה מפרק רביעי בסימפוניה השלישית של בטהובן:

https://youtu.be/ZkP3XVkLxL4


סרט תיעודי שמסביר את הפוגה:

https://youtu.be/vAFETgpt9PA?long=yes


הסבר נוסף ומעמיק על הפוגה והצד המתמטי שלה:

https://youtu.be/ZG4SKgCpppE?long=yes


ו"אמנות הפוגה" של באך בביצוע הפסנתרן גלן גולד:

https://youtu.be/exD8bhJP1eo?long=yes
פאי
מהו פאי?



הפאי הוא מספר אי רציונאלי, מציין את היחס בין היקף מעגל לקוטרו. זהו מספר מסתורי, שמתמטיקאים וחובבי מתמטיקה מוקסמים ממנו כבר דורות רבים. ערכו של פאי שווה בקירוב ל 3.14.

הפאי מסומן באות היוונית π. הבבלים, ממציאי הגלגל, גילו אותו כבר לפני ששת אלפים שנה. התגלית של התופעה המרתקת של פאי, הייתה שבכל גודל מעגל שהוא, תוצאת החילוק של היקף המעגל ברדיוס שלו תהיה תמיד אותו המספר. 4000 שנה אחריהם, הצליחו מדעני מצרים העתיקה להגיע לערך מקורב של פאי. ארכימדס היווני הציג לראשונה, כבר במאה ה-3 לפני הספירה, שיטה שמאפשרת לאמוד את π.

הראשון שהצליח לחשב את פיי בדיוק גבוה היה אויילר. פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי סייע לו מאד והוא חישב את פאי עד 153 ספרות אחרי הנקודה. כמו הרבה דברים שאויילר תרם למתמטיקה, הוא גם זה שהעניק לפיי את שמו.

כיום, בעידן המחשב, המתמטיקאים עובדים על אלגוריתמים ונוסחאות אלגנטיות לחישוב פאי. השיא שנקבע עד 2011 הוא של 10 טריליון ספרות אחרי הנקודה!


הנה סרטון על משמעותו של הפיי (מתורגם):

http://youtu.be/9a5vHXsUvUw?t=13s


שיר לימודי באנגלית, להיכרות עם חישוב פאי:

http://youtu.be/eiHWHT_8WrE


מלחין שהחליט להלחין את המספר וכך לזכור אותו:

https://youtu.be/wM-x3pUcdeo


והביטוי המוסיקלי של המספר פאי ויחס הזהב שבנוי עליו:

https://youtu.be/9mozmHgg9Sk?long=yes
הלחנה אלגוריתמית
מהי הלחנה אלגוריתמית?



הקשר בין מתמטיקה ומוסיקה ידוע מזה שנים רבות ונחקר לעומק, בניתוחים שכללו חקירה של המוסיקה של יוהאן סבסטיאן באך ומלחינים אחרים, שיצרו מוסיקה שיש לה תבניות מתמטיות מאורגנות ומסודרות להפליא, הן מבחינת התוצאה המוסיקלית והן בארגון ובסדר המתמטי המפתיעים שלהן.

תוכנה להלחנה אלגוריתמית (Algorithmic composition) היא תוכנה שמשתמשת באותו סדר ובאותן שיטות, כדי לסייע ליוצרים מוסיקליים בעידן הנוכחי לייצר מוסיקה מעניינת ומקורית, ביחד עם הטכנולוגיה הממוחשבת.

קומפוזיציה אלגוריתמית, או הלחנה אלגוריתמית, משתמשת באלגוריתמים, קבצי הוראות או מעין "מתכוני הלחנה", לצורך ההלחנה של מוסיקה. כל תוכנה להלחנה אלגוריתמית משלבת נוסחאות מתמטיות שמוזנות אליה, ביחד עם רמת אקראיות מסוימת שהיא מתוכנתת לייצר, כל אלה בכדי להלחין "מוסיקה אלגוריתמית".

בתוכנות או תכניות מחשב שנכתבו להלחנה אלגוריתמית נמצא מחולל אלגוריתמים, שמסוגל ליצור מבנים מוסיקליים מורכבים, המייצרים מוסיקה אלקטרונית. המוסיקאי המשתמש בכלי ממוחשב כזה, בין אם הוא תוכנה למחשב או שהוא שירות מקוון באינטרנט, בוחר אפשרויות שונות והגדרות מוסיקליות, שאותן התוכנה מעבדת בהלחנה אלגוריתמית ויוצרת את התוצרים המשלבים את ההחלטות שקיבל המוסיקאי, עם היכולות האקראיות והתבניתיות שיש למכונה. התוצאה היא מוסיקה.

תוכנות כאלה מצוידות ביכולות המצאה כמעט אינסופיות ויכולות להמציא מיליוני אפשרויות של לחנים ותבניות מוסיקליות שלא יחזרו על עצמן, מבחינת התוצר המוסיקלי שהן מנגנות, גם אם ינגנו ברציפות במשך שנים ארוכות!


הנה שיר על עולם ההלחנה האלגוריתמית שנכתב בעצמו על ידי פדריקו רובן ביחד עם "הלהקה האלגוריתמית" שלו - תוכנה:

https://youtu.be/H8BvvSRgS8c


הנה תוכנה שנכתבה לקומפוזיציה אלגוריתמית בסביבת הפיתוח Max:

https://youtu.be/Zx_y2muZfyg


מוסיקה אלגוריתמית שנוצרה על ידי תוכנה:

https://youtu.be/6-GI0we1tBQ


אילתור של תוכנת הלחנה אלגוריתמית:

https://youtu.be/Cbb08ifTzUk


אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

העולם הוא צבעוני ומופלא, אאוריקה כאן בשביל שתגלו אותו...

אלפי נושאים, תמונות וסרטונים, מפתיעים, מסקרנים וממוקדים.

ניתן לנווט בין הפריטים במגע, בעכבר, בגלגלת, או במקשי המקלדת

בואו לגלות, לחקור, ולקבל השראה!

אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.