» «
גוגול
מהו המספר גוגול?



לא שחסרים מספרים גדולים במתמטיקה, אבל המפורסם שבמספרים הגדולים הוא ללא ספק הגוגול (Googol). גוגול הוא המספר שהיה ההשראה לשם שבחרו מקימי חברת האינטרנט גוגל, אחת החברות המצליחות בכל הזמנים, לחברה שהקימו. אבל אפילו הרווחים האדירים של חברת האינטרנט "גוגל" לא מתקרבים אליו.. גוגול הוא 10100 (10 בחזקת 100) והוא נכתב כ-1 עם מאה אפסים.

השם "גוגול" הוצע למספר העצום על ידי האחיין בן ה-9 של המתמטיקאי אדוארד קסנר. קסנר רצה להמחיש מספר גדול באמת לתלמידי המתמטיקה שלו ונדרש לשם "חיבה" בשבילו. הוא הצליח - כיום כל תלמיד מתמטיקה מכיר אותו.

רוצים לדעת כמה גדול הוא הגוגול? - דמיינו שאם נספור את כל האטומים הקיימים ביקום כולו המספר גוגול עדיין יהיה גדול מהם, זאת מכיוון שעל פי הערכות המדענים מספר האטומים שביקום כולו הוא כ- 1080

מיד אחרי שקנסר ואחיינו הגדירו את הגוגל הם הגדירו גם את המספר גוגלפלקס (Googolplex). המוגדר כספרה 1 ואחריה Googol אפסים. ניתן להציג אותו בצורה מתמטית גם כך 10googol או כך 10 (10100).


הנה המדען הגאון קרל סגן מראה בצורה ברורה כמה עצום גודלם של המספרים גוגול וגוגולפלקס:

https://youtu.be/0lFQOmb6mVs


עוד סרטון על המספרים גוגול וגוגולפלקס:

https://youtu.be/8GEebx72-qs


ואפשר פשוט לשיר את גוגול והוא יירשם מעצמו:

https://youtu.be/5JOAoiX1LHA
מספר ראשוני
מהם המספרים הראשוניים?



מספר ראשוני (Prime number) הוא מספר טבעי, כלומר מספר שלם וחיובי, שמתחלק לרק בעצמו וב-1 ללא שארית. במילים אחרות, מספר ראשוני לא יכול להיות לעולם מכפלה של שני מספרים טבעיים שקטנים ממנו.

למעשה, המספרים הראשוניים הם אבני הבניין של כל המספרים, כי ממספרים ראשוניים ניתן להרכיב, על ידי פעולת כפל, כל מספר טבעי בעולם.

למספר ראשוני יש רק שני מחלקים, כלומר שכשהוא מתחלק בהם התוצאה היא מספר שלם: או המספר עצמו או 1.

המספרים הראשוניים הראשונים הם: 2, 3, 5, 7 וכן הלאה. מספרים טבעיים שאינם ראשוניים נקראים מספרים פריקים.

המספר 1 עצמו אינו ראשוני וגם לא פריק. המספר 2 הוא המספר הזוגי הראשוני היחיד שקיים. כל המספרים הזוגיים האחרים מתחלקים ב-2 ולכן הם מספרים פריקים.

הנה רשימה של 100 המספרים הראשוניים הראשונים:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541


הנה עולם המספרים הראשוניים:

http://youtu.be/9pgA-H77BLc


כך מגלים את כל המספרים הראשוניים עד מספר מסוים:

http://youtu.be/V08g_lkKj6Q


כך אפשר ללמוד את זה:

http://youtu.be/Alm6SRglB5k?t=45s


ההוכחה של אוקלידס היווני שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים:

http://youtu.be/FDFcqaYe3F0


ודיון על האינסופיות של המספרים הראשוניים:

http://youtu.be/ctC33JAV4FI
פירמידת צ'ולולה
מהי הפירמידה הגדולה בעולם?



הפירמידה הגדולה של צ’ולולה שבפואבלו מקסיקו היא הפירמידה הכי גדולה בעולם. ואכן היא גם נקראת הפירמידה הגדולה של צ'ולולה.

את הפירמידה הגדולה של צ’ולולה החלו לבנות במאה 3 לפני הספירה. מעבר לגודלה המדהים, שקשה לתפוס שבני אדם בנו את כולו, בחלקה העליון בנו בהמשך ההיסטוריה כנסייה.

בשל משמעותה ההיסטורית והדתית של הכנסייה הזו, שכאמור נמצאת מעל הפירמידה, התקשו הארכיאולוגים לחפור את מרבית אתר הפירמידה עד היום.

חשוב לציין שהפירמידה של צ'ולולה איננה הפירמידה הכי גבוהה בעולם (ראו את הגבוהה ביותר בתגית "פירמידות, גובה, שיאים") אלא הכי גדולה בנפח שלה.


הנה הפירמידה הגדולה והמרשימה בצ’ולולה שבמקסיקו:

http://youtu.be/3hTSbmmcGFo


עוד מהפירמידה של צ’ולולה במקסיקו:

http://youtu.be/g5TNESOOpQ0


הפירמידה העתיקה של צ'ולולה מקרוב:

http://youtu.be/oyf8j8iKgVc


והגודל העצום של הפירמידה של צ'ולולה:

http://youtu.be/yQ4HCiMfjqU
פלינדרום
מה זה פלינדרום?


היום, יום העלאת הערך, הוא ה-7102017. הביטו טוב במספר. רואים משהו מעניין? - נכון. ניתן לקרוא את המספר משני הכיוונים שלו.

לתופעה הזו קוראים פלינדרום (Palindrome). פלינדרומים הם מספרים, מילים או משפטים, או כל דבר אחר כתוב, שניתן לקרוא מההתחלה אל הסוף ומהסוף להתחלה והוא זהה לחלוטין.

יש לא פעם פלינדרומים בתאריכים. שנת 2002, למשל, הייתה פלינדרום. כי יש גם בה רצף של ספרות או אותיות הזהה משמאל לימין לזה של הרצף מימין לשמאל.

האם במשפט כמו "ילד כותב בתוך דלי" יש פלינדרום? - בדקו נא... ומה לגבי המספר 6345436? או המילים העבריות "מכיתותיכם" וגם "ויתומותיו"? - האם אלה פלינדרומים?

גם ביהדות השתעשעו בפלינדרומים כמו "אבי אל חי שמך למה מלך משיח לא יבא?" או "פרשנו רעבתן שבדבש נתבער ונשרף" - שהמציא רבי יונתן אייבשיץ. כאן יש רצף של אותיות דווקא, שהוא זהה מימין לשמאל לזה של הרצף שמשמאל לימין. במילים בודדות יש המון פלינדרומים. התוכלו למצוא כמה בעצמכם? - מילים כמו "שמש" או "אמא"?

מקור המילה הוא בכלל מיוונית, שבה פַּלִין פירושו "שוב", או "הפוך" ודרוֹמוֹס הוא "כיוון".

אז לסיום, קבלו שיר פלינדרומי, או שכולו פלינדרומים, פרי עטו של המשוררת החכמה ויקי פדיה:

מִי לִימֵד מִילִים?
יֶלֶד כּוֹתֵב בְּתוֹךְ דְּלִי.
אֲרוֹן קִיר הָיָה רֵיק נוֹרָא.
רֶבַע הַלַּיְלָה עָבַר.
מִי אָמַר שֶׁיֵּשׁ רַמָּאִים?


מטלה יצירתית
===========
האם תוכלו להמציא משפט פלינדרום בעברית?


הנה הפלינדרום, כפי שהוא מוסבר על ידי תלמיד:

https://youtu.be/_DG-Csugbvk


מספרי רישוי פלינדרומיים:

https://youtu.be/5s9F67yKOwQ


שיר פלינדרומי שיצר עורך הסרטון:

https://youtu.be/EhajVNR4hcc

מספרים

הפירמידה הגדולה של גיזה
מהי הפירמידה הגבוהה בתבל?



היא אחד המבנים העתיקים הגדולים בעולם ובמשך 3,800 שנים היא הייתה המבנה מעשה ידי-אדם הגבוה ביותר בעולם. היא שרדה מאז ימי מצרים העתיקה והפכה לסמל של עידן שבו עשו דברים מדהימים בטכנולוגיה שלא תמיד מובנת גם היום.

הפירמידה של ח'ופו שבגיזה מצרים היא הפירמידה הגבוהה בעולם. היא מכונה גם "הפירמידה הגדולה של גיזה". גובהה של הפירמידה של חופו הוא 137 מטר. בעבר היא הייתה אפילו עוד יותר גבוהה - 147 מטרים היה גובהה. במשך אלפי השנים היא נשחקה ונהרסה מעט ולכן היא נמוכה משהייתה בזמן שהסתיימה בנייתה.

פירמידת ח'ופו הייתה בשעתה אחד משבעת פלאי העולם העתיק והיא פלא העולם היחיד מהשבעה ששרד עד ימינו. לבניית הפירמידה, שהיא בעצם המצבה של פרעה ח'ופו, נדרשו אלפי פועלים, יותר מ-20 שנות בנייה ומעל 2 מיליון לבנים, שכל אחת מהן שוקלת בממוצע יותר מ-2 טון!


הנה סיפורה של הפירמידה הגדולה של ח'ופו:

https://youtu.be/rHUk0W-bXlU?t=12s


תולדות הפירמידה והיא כיום:

http://youtu.be/c_8IJWHvC9Y


סיפורה של הפירמידה הגדולה בגיזה:

https://youtu.be/GtJW-8ZvNE8


הפירמידה הגדולה של ח'ופו מקרוב:

http://youtu.be/JSSHN9cg7I8


והפירמידות המרשימות של גיזה:

http://youtu.be/TWaReNkjTLk
המחרה
למה מוצרים מסוימים בחנויות הם כל כך זולים?



אוקיי. הבנו. אתם לא מבינים איך זה שמוצרים מסוימים מתומחרים זול מאוד ביחס לחנויות אחרות או למוצרים נחותים משמעותית מהם, שעולים יותר.

אז מה בעצם הסיבה לכך?

זה תמחור בגישה שנקראת Loss leader pricing strategy שגיליתם במו קמצנותכם... מדובר בהוזלה של מוצרי מפתח מסוימים כדי למשוך לקוחות אל החנות. במילים אחרות, זוהי הנחה במוצרים הללו, שנועדה לתת ללקוח תחושה שהמחירים במקום זולים ממקומות אחרים.

זה גם ההגיון בפרסום של מבצעים, פרסום שברור לכל אחד שהוא עולה המון כסף. הרי בעלי העסק משלמים הרבה כסף כדי לפרסם כמויות אדירות של מוצרים הנמכרים בהנחה משמעותית, או אפילו בהפסד, כי לא פעם המחיר של המוצרים שבמבצע נמוך מהמחיר שהחנות קונה בו את המוצרים. אז איך הם מרוויחים מזה?

ובכן, ככל שיותר אנשים יגיעו לחנות לרכוש את המוצרים שבמבצע, הסיכוי גדול ואפילו גדול מאוד שהם יקנו מוצרים נוספים. ההרגשה שהחנות הזו זולה להן, גם אם לא חקרו אותה במציאות או באופן מדעי (כמה כבר משווים מחירים ממש?) תביא אותם לקנות גם את שאר הסל במוצרים ממנה. הרווחים על המוצרים הנוספים הללו, שרובם לא יהיו בהנחה ואולי אף יתומחרו במחיר גבוה ממחיר השוק, "יפצו" את החנויות שמוזילות ועושות מבצעים. הם יכניסו להם הרבה יותר כסף.

יש רשתות שהפכו את זה לדגל שלהן והמבצעים שלהן הפכו אותן לעשירות ומרוויחות במיוחד. אם תרצו, תוכלו לשאול את אבא ואימא על "העוף בשקל", הסמל המסחרי הבלתי מעורער של רשת "רמי לוי". את העוף הוא מוכר בשקל ואת ההפסד עליו הוא מכסה ומרוויח ממוצרים אחרים, שאינם זולים כל כך כמוהו.


הנה המחירים הלא הגיוניים וההסבר שלהם (עברית):

https://youtu.be/NEoaePzDhGc


רמי לוי מסביר כיצד מוזילים ומרוויחים יותר (עברית):

http://youtu.be/t3v-fBnzQns


והסבר מקיף באנגלית:

https://youtu.be/LkYG47JzS0Q
בסיס בינארי
מהי השיטה הבינארית?



בסיס בינארי במתמטיקה הוא מערכת ספירה על בסיס 2. כלומר, במערכת זו כל מספר מיוצג בשני סמלים בלבד - או 0 או 1. השיטה הבינארית משמשת במתמטיקה ומדעי המחשב והמספרים המיוצגים בשיטה זו נקראים מספרים בינאריים.

במערכות דיגיטליות מרבים להשתמש בבסיס בינארי. למעשה, כל המערכות הדיגיטליות המוכרות, כולל מחשבים, טלפונים סלולריים ומערכות משובצות מחשב - כולן עושות שימוש בבסיס בינארי.

הסיבה לשימוש בשיטה הבינארית במערכות אלקטרוניות היא שקל להשתמש בו באלקטרוניקה. הרי בבסיסה של מערכת אלקטרונית כזו קיימות מראש שתי רמות מתח - או אם נגדיר זאת בפשטות: ישנם שני מצבים לכל ביט - או שהוא דולק או שהוא כבוי. לכן כבוי ייחשב ל-0 ודולק ייחשב ל-1.

ואכן, במערכות אלקטרוניות ומערכות מחשוב מודרניות יש מיליארדי טרנזיסטורים שממתגים במצבים של כבוי או דולק, 0 או 1. הדרך לתקשר איתם ולהביא את המכשירים לבצע משימות מטורפות בתחכומן היא שיטת הספירה הבינארית.


הנה השיטה הבינארית (מתורגם):

https://youtu.be/wgbV6DLVezo


סרטון על הדרך להמרה של מספר עשרוני לבסיס הבינארי (עברית):

http://youtu.be/2pr8mkRZIfg


היום כבר מנסים להתקדם ממנה לשיטת החישוב הבאה (עברית):

https://youtu.be/tWBEaaTuz3A


ותכנית לימודית על הבסיס הבינארי (עברית):

https://youtu.be/aKZYHUmYG_M?long=yes
ספרות הודיות-ערביות
מי המציאו את ספרות החשבון?
איך הגיעו הספרות הערביות לחשבון בכל העולם?
מי הביא את ספרות החשבון הערביות למערב?


מה מקורם של עשרת הסימנים (9,8,7,6,5,4,3,2,1,0) המוכרים כל כך בחשבון?

האם הן ספרות ערביות, כמו שמכנים אותן לא פעם?

ובכן, ספרות החשבון שהן כה חשובות במתמטיקה העולמית, נקראות כיום ספרות הודיות-ערביות או הינדו-ערביות. השיטה העשרונית היא עתיקה מאד ומופיעה אפילו בתנ"ך, אבל את ספרות החשבון ואת שיטת הספירה שבהן משתמש העולם כולו אנו חבים להודים.

ההודים היו גם הראשונים שהקצו סימן למספר אפס. שיטת סימון הספרות ההודיות חוללה מהפכה בחישובים המתמטיים ואפשרה לראשונה חישובים במספרים גדולים מאד. החידוש בשיטת הספרות הזו היה הייצוג של המספרים על ידי מיקומה של הספרה, מיחידות ועשרות, מאות, אלפים וכן הלאה... עובדה זו פישטה את השימוש במספרים וקידמה את המתמטיקה באופן משמעותי.

מההודים למדו את הספרות הללו מתמטיקאים ומדענים ערביים. ספר בערבית שפרסם במאה ה-8 המתמטיקאי הפרסי הנודע וממציא האלגוריתם מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי, הביא לאימוץ ספרות החשבון ההודיות באופן משמעותי בידי הערבים. ח'ואריזמי היה זה שהכניס את המתמטיקה לשימוש בעולם המדע הערבי, המדע המתקדם ביותר של ימי הביניים. הוא גם הטמיע את ספרת האפס, שהפכה להיות מהחשובות והשימושיות במתמטיקה העשרונית ובמדע.

כ-300 שנה לאחר מכן, כשכבשו במאה ה-11 המורים (ערבים מצפון אפריקה) את ספרד, הם הביאו את הספרות לאירופה. בתחילת המאה ה-13 השתמש בהן המתמטיקאי האיטלקי הידוע לאונרדו פיבונאצ'י ב"ספר החשבונייה" (Liber abbaci) שפירסם. כך, בדיוק בשלב שבו אירופה הופכת למרכז מדעי ותרבותי, יהיה זה פיבונאצ'י שיפיץ את הספרות ההודיות ערביות לשימוש באירופה ובכך ידחוף להחלפה סופית של הספרות הרומיות, המיושנות והלא יעילות לחישובים מורכבים. ובכך הם יהפכו לספרות החשבון שבהן משתמשים בעולם כולו עד היום.

כדי להבין את גודל החידוש בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, המייחסת משמעות למיקום הספרה במספר, נשווה אותה לשיטת הספירה הרומית שהייתה פופולרית ביותר בעולם באותה התקופה. השיטה הרומית התבססה על עיקרון ההקבצה לפיו יש לחבר את הספרות המוצגות לקבלת המספר הסופי, בשיטה זו למיקום הספרות אין השפעה על המספר עצמו. לדוגמא בספרות רומיות המספר 18 נכתב כך: XVIII. האות X - מייצגת את המספר 10. האות V - מייצגת את המספר 5. והאות I - מייצגת את המספר 1. שיטת ההקבצה משמעותה שהמספר XVIII מיוצג על ידי חיבור הספרות X+V+I+I+I, כלומר, 10+5+1+1+1, ותוצאת חיבור הספרות היא המספר המיוצג ובמקרה שלנו - 18.

ישנן כמה בעיות בשיטת הספרות הרומית, אחת מהם היא שהיא מקשה מאוד על שימוש במספרים גדולים, לדוגמא המספר 1888 יכתב בספרות רומיות כ-MDCCCLXXXVIII. לעומת זאת בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, הספרות מקבלות משקל שונה בגלל המיקום שלהם. ספרה במיקום 2 תקבל אפס אחד נוסף, ספרה במיקום 3 תקבל 2 אפסים, ספרה במיקום 4 תקבל 3 אפסים וכן הלאה. לדוגמא הסימון 1888 משמעותו בעצם 1000+800+80+8. ומובן מדוע השימוש בספרות ההודיות-ערביות, מבוססות המיקום, נוח יותר להבנה, לכתיבה ולביצוע חישובים מתמטיים, בהשוואה לשיטה הרומית.


הנה סרטון שמספר על הספרות ההודיות-ערביות:

http://youtu.be/gulApUKih2w?t=1m34s


המספרים הללו יצרו את מערכת המספרים המודרנית (מתורגם):

https://youtu.be/cZH0YnFpjwU


הספרות הרומיות שהיו נהוגות לפני כן (מתורגם):

https://youtu.be/1Rhd1OQcTGA


תולדות המתמטיקה העתיקה והמצאת האפס בידי ההודי ברהמהגופטה (עברית):

https://youtu.be/vOA4nelKn7s


תרומתו של פיבונאצ'י:

http://youtu.be/03uC9bhX0Rc


מצגת וידאו שמלמדת על הספרות ההודיות-ערביות:

http://youtu.be/gs4DCei79N8


הסבר להיגיון שבספרות, כשבכל אחת יש את מספר הזוויות שהיא מציינת:

http://youtu.be/XvekfZ0uTpc


ותולדות החשבון או ההיסטוריה של המתמטיקה, שמראה את חשיבותן בהתפתחות המדע הזה:

http://youtu.be/cy-8lPVKLIo


אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

העולם הוא צבעוני ומופלא, אאוריקה כאן בשביל שתגלו אותו...

אלפי נושאים, תמונות וסרטונים, מפתיעים, מסקרנים וממוקדים.

ניתן לנווט בין הפריטים במגע, בעכבר, בגלגלת, או במקשי המקלדת

בואו לגלות, לחקור, ולקבל השראה!

אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.