שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מהי מוסיקה אקראית או מוסיקה אלאטורית?
מוסיקה אלאטורית, מוסיקת המקרה, היא אכן מוסיקה שמבוססת על אקראיות, או מקריות. מלחיני סגנון מוסיקלי מודרני ואוונגארדי זה גרמו ליצירותיהם להיות אחרת בכל פעם.
האופן הפשוט ביותר של מקריות הוא אולי האלתור, צורת נגינה שבה כל נגן ממציא מראשו קטע נגינה או סולו ובכך מוסיף ליצירה מוסיקה כרצונו. צורות חדשניות שפיתחו מלחיני מוסיקה אקראית היו של בחירה בין אפשרויות נגינה על ידי הטלת קוביה, כמו שעשה המלחין ג'ון קייג' למשל או בהחלפה של התווים המדוייקים בהנחיות כלליות לנגנים, כמו: "כאן יש לנגן הרבה צלילים באוקטבה הרביעית ובעוצמה מתגברת". מכאן אגב מובן שבסגנון זה, כמו בסגנונות מודרניים אחרים במאה ה-20, השתמשו בצורת תיווי חדשה, במקום התווים המסורתיים.
ג'ון קייג', מי שהיה ראשון המלחינים האלאטוריים, טען שהמלחין אינו צריך לשלוט ביצירה אלא לתת לה "לקרות". למעשה, זו הייתה תנועת נגד או תגובה לסגנון הסריאליזם הטוטאלי, שפגע בזרימה ובפשטות הטבעית של המוסיקה, בגלל השליטה הקיצונית והתחכום הרב שבו.
הנה סונטה אחת מני רבות שכתב ג'ון קייג' בשנות ה-40 לפסנתר ממותקן - פסנתר שלמיתריו הידק המלחין היצירתי הזה כל מיני חפצים, שהקנו לו צלילי הקשה ביחד עם צלילי הפסנתר:
http://youtu.be/VYsx5Di3bso
היצירה "נוף דמיוני מס' 4" מתוך סדרת יצירות שבהן השמיע ג'ון קייג' 12 מכשירי רדיו עם תחנות אקראיות והגביר והחליש את התחנות הללו בהחלטות לא צפויות ורגעיות:
https://youtu.be/NXIrCuQbe8k
וביצוע עכשווי של אותה היצירה:
http://youtu.be/tBPOgydgI1o
מה בסולם פיתגורס קושר מתמטיקה למוסיקה?
סולם פיתגורס (Pythagorean scale) הוא סולם מוסיקלי, שורה של צלילים ערבים לאוזן, שאם מודדים את התדירויות שלהם, מסתבר שיש ביניהם יחס מתמטי פשוט, כזה שיש בין מספרים שלמים, כמו בין 1 ל-2, 2 ל-3 וכך הלאה.
הראשון שעמד על הקשר הזה ומשום כך הסולם גם נושא את שמו, היה המדען היווני פיתגורס. המדען החכם הזה, מי שגרס אז ש"הכל מִסְפרים", היה מי שזיהה, כבר במאה ה-6 לפני הספירה, את הקשר המתמטי שבין גבהי הצלילים המוסיקליים לתדירות שלהם. באופן מסוים הוא היה הראשון שעסק באופן מדעי באקוסטיקה, הפיזיקה של הצליל.
אבל מה הקשר שמתקיים בין מתמטיקה למוסיקה? - פיתגורס הראה שלמתמטיקה תפקיד משמעותי באופן שבו המוזיקה נשמעת: כאשר יחסי התדירויות שני צלילים הם כיחס פשוט שבין שני מספרים שלמים, אז מתקבלים צירופי צלילים הרמוניים, כלומר נעימים לאוזן.
#איך פיתגורס גילה את זה?
הרי לפיתגורס לא היו מכשירים למדידת תדירויות, אז איך הוא חישב את היחס המספרי בין צלילים?
מה ששימש אותו הייתה תיבת עץ, שעליה הוא מתח כמה מיתרים באורך זהה. כשחילק למשל מיתר אחד לחצי ופרט עליו, פיתגורס הבחין שהצליל שמתקבל מנגינה בו הוא בגובה של אוקטבה מעל זה של המיתר הסמוך והלא חצוי. זה היה יחס של 1:2 וזה היחס המדויק של מרווח האוקטבה.
מיתר חצוי בדיוק באמצע, הוא רשם לעצמו, יפיק את אותו הטון, אבל באוקטבה גבוהה יותר. מיתר באורך כפול יפיק את אותו הטון באוקטבה למטה.
פריטה על שני המיתרים, החצוי והלא חצוי ביחד, משמיעה אם כן את האוקטבה, מרווח בעל צליל צלול וזך. ואכן, המרווח הזה הוא אחד מהמרווחים שנקראים עד היום "מרווחים זכים".
כמובן שפיתגורס לא יצר כאן. הוא חישב את היחסים המתמטיים בחציית המיתר לשליש, לרבע וכן הלאה. בין הצלילים במרווחים שונים וגילה שהמרווחים הזכים הם הפשוטים ביותר: יחס של 1:2 לאוקטבה, 3:4 בקוורטה, 3:2 למרווח הקווינטה וכך הלאה. בחלוקות אחרות גילה מרווחים נוספים. "הכל מספרים!" - הוא אמר לעצמו ודאי בסיפוק.
ניתן לבדוק ולמצוא את הקשרים המתמטיים שבין צלילי סולמות המז'ור והמינור הנפוצים במוסיקה המערבית של ימינו ולראות שגם בה המרווחים הערבים לאוזנינו הם אלו שביניהם יחס התדירויות הוא כזה.
הנה הגאונות של פיתגורס והסולם הפיתגוראי:
https://youtu.be/ZWzwb4BumIk
סיפורו של סולם פיתגורס (מתורגם):
https://youtu.be/FPREFrLYNB0
הפיזיקה של הצליל ותדירות גלי הקול המשתנה בגבהי צלילים שונים:
https://youtu.be/gbP6h0dtcQw
הסבר:
https://youtu.be/buZOs-czOUg
סרטון מעמיק על הקשר שמצא בין המוסיקה למתמטיקה:
https://youtu.be/4-idkubp_Lw?long=yes
ואיך גילה את התגלית האקוסטית המרשימה שלו:
https://youtu.be/EdYzqLgMmgk?long=yes
מהי הלחנה אלגוריתמית?
הקשר בין מתמטיקה ומוסיקה ידוע מזה שנים רבות ונחקר לעומק, בניתוחים שכללו חקירה של המוסיקה של יוהאן סבסטיאן באך ומלחינים אחרים, שיצרו מוסיקה שיש לה תבניות מתמטיות מאורגנות ומסודרות להפליא, הן מבחינת התוצאה המוסיקלית והן בארגון ובסדר המתמטי המפתיעים שלהן.
תוכנה להלחנה אלגוריתמית (Algorithmic composition) היא תוכנה שמשתמשת באותו סדר ובאותן שיטות, כדי לסייע ליוצרים מוסיקליים בעידן הנוכחי לייצר מוסיקה מעניינת ומקורית, ביחד עם הטכנולוגיה הממוחשבת.
קומפוזיציה אלגוריתמית, או הלחנה אלגוריתמית, משתמשת באלגוריתמים, קבצי הוראות או מעין "מתכוני הלחנה", לצורך ההלחנה של מוסיקה. כל תוכנה להלחנה אלגוריתמית משלבת נוסחאות מתמטיות שמוזנות אליה, ביחד עם רמת אקראיות מסוימת שהיא מתוכנתת לייצר, כל אלה בכדי להלחין "מוסיקה אלגוריתמית".
בתוכנות או תכניות מחשב שנכתבו להלחנה אלגוריתמית נמצא מחולל אלגוריתמים, שמסוגל ליצור מבנים מוסיקליים מורכבים, המייצרים מוסיקה אלקטרונית. המוסיקאי המשתמש בכלי ממוחשב כזה, בין אם הוא תוכנה למחשב או שהוא שירות מקוון באינטרנט, בוחר אפשרויות שונות והגדרות מוסיקליות, שאותן התוכנה מעבדת בהלחנה אלגוריתמית ויוצרת את התוצרים המשלבים את ההחלטות שקיבל המוסיקאי, עם היכולות האקראיות והתבניתיות שיש למכונה. התוצאה היא מוסיקה.
תוכנות כאלה מצוידות ביכולות המצאה כמעט אינסופיות ויכולות להמציא מיליוני אפשרויות של לחנים ותבניות מוסיקליות שלא יחזרו על עצמן, מבחינת התוצר המוסיקלי שהן מנגנות, גם אם ינגנו ברציפות במשך שנים ארוכות!
הנה שיר על עולם ההלחנה האלגוריתמית שנכתב בעצמו על ידי פדריקו רובן ביחד עם "הלהקה האלגוריתמית" שלו - תוכנה:
https://youtu.be/H8BvvSRgS8c
הנה תוכנה שנכתבה לקומפוזיציה אלגוריתמית בסביבת הפיתוח Max:
https://youtu.be/Zx_y2muZfyg
ומוסיקה אלגוריתמית שנוצרה על ידי תוכנה:
https://youtu.be/6-GI0we1tBQ
מי רודף אחרי הפוגה המוסיקלית?
פוּגָה (Fugue) היא שיטת הלחנה פוליפונית לכמה קולות, שנולדה בתקופת הרנסאנס והגיעה לשיא בתקופת הבארוק. גם אחרי תקופת הבארוק ממשיכה הפוגה להופיע, מפוגות בתקופה הקלאסית ועד לפוגות מהתקופה הרומנטית ובמאה ה-20.
בתחילת הפוגה מנוגן הנושא הראשי ובהמשך הוא מושמע שוב ושוב, כשבכל פעם הוא "עובר" לקול אחר, בין הקולות השונים. אך בכל קול הוא מנוגן בשינויים מסוימים. לעתים השינוי מלודי, כלומר במנגינה שלו, ולעתים הוא ריתמי, בקצב שלו. כך הוא מתאים לקולות האחרים ולסולמות השונים.
חוץ מהנושא הראשי, יש בפוגה גם נושאים משניים וקטעי מעבר, שמושמעים כל הזמן למולו, כנושאים נגדיים או מקבילים. קצת כמו שיחה שבה ניתן להבין את דברי כולם, על אף שהם מדברים ביחד וממש בו-זמנית - כך הקולות בפוגה עצמאיים ועדיין יש ביניהם שילוב הרמוני המשתלב היטב לכדי שלמות אחת. בכך הפוגה שונה מצורות מוסיקליות אחרות שלא מבוססות על קונטרפונקט.
יצירות שנכתבו בטכניקת הפוגה נקראות במרבית המקרים גם הן "פוגה". פוגות כאלה יכולות להיכתב לכלי יחיד, לרוב כלי מקלדת כמו פסנתר, להרכבים כליים וקוליים, דוגמת רביעיית מיתרים, תזמורת מלאה או מקהלה.
פוגות מפורסמות ניתן למצוא בסימפוניה השלישית של בטהובן, בקטע ה"אמן" מתוך הרקוויאם של מוצרט, וברבות מיצירותיו של יוהאן סבסטיאן באך.
כך נראית פוגה:
https://youtu.be/95gLT7NzHAM
הנה הפוגה הגדולה בסול מינור של באך קכל 542:
https://youtu.be/4WhPUqpaRp4
פוגת "אמן" מתוך הרקוויאם של מוצרט:
https://youtu.be/-IfB7VmGaNQ
הפוגה מפרק רביעי בסימפוניה השלישית של בטהובן:
https://youtu.be/ZkP3XVkLxL4
סרט תיעודי שמסביר את הפוגה:
https://youtu.be/vAFETgpt9PA?long=yes
הסבר נוסף ומעמיק על הפוגה והצד המתמטי שלה:
https://youtu.be/ZG4SKgCpppE?long=yes
ו"אמנות הפוגה" של באך בביצוע הפסנתרן גלן גולד:
https://youtu.be/exD8bhJP1eo?long=yes
מהו פאי?
הפאי הוא מספר אי רציונאלי, מציין את היחס בין היקף מעגל לקוטרו. זהו מספר מסתורי, שמתמטיקאים וחובבי מתמטיקה מוקסמים ממנו כבר דורות רבים. ערכו של פאי שווה בקירוב ל 3.14.
הפאי מסומן באות היוונית π. הבבלים, ממציאי הגלגל, גילו אותו כבר לפני ששת אלפים שנה. התגלית של התופעה המרתקת של פאי, הייתה שבכל גודל מעגל שהוא, תוצאת החילוק של היקף המעגל ברדיוס שלו תהיה תמיד אותו המספר. 4000 שנה אחריהם, הצליחו מדעני מצרים העתיקה להגיע לערך מקורב של פאי. ארכימדס היווני הציג לראשונה, כבר במאה ה-3 לפני הספירה, שיטה שמאפשרת לאמוד את π.
הראשון שהצליח לחשב את פיי בדיוק גבוה היה אויילר. פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי סייע לו מאד והוא חישב את פאי עד 153 ספרות אחרי הנקודה. כמו הרבה דברים שאויילר תרם למתמטיקה, הוא גם זה שהעניק לפיי את שמו.
כיום, בעידן המחשב, המתמטיקאים עובדים על אלגוריתמים ונוסחאות אלגנטיות לחישוב פאי. השיא שנקבע עד 2011 הוא של 10 טריליון ספרות אחרי הנקודה!
הנה סרטון על משמעותו של הפיי (מתורגם):
http://youtu.be/9a5vHXsUvUw?t=13s
שיר לימודי באנגלית, להיכרות עם חישוב פאי:
http://youtu.be/eiHWHT_8WrE
מלחין שהחליט להלחין את המספר וכך לזכור אותו:
https://youtu.be/wM-x3pUcdeo
והביטוי המוסיקלי של המספר פאי ויחס הזהב שבנוי עליו:
https://youtu.be/9mozmHgg9Sk?long=yes
מוסיקה אלאטורית, מוסיקת המקרה, היא אכן מוסיקה שמבוססת על אקראיות, או מקריות. מלחיני סגנון מוסיקלי מודרני ואוונגארדי זה גרמו ליצירותיהם להיות אחרת בכל פעם.
האופן הפשוט ביותר של מקריות הוא אולי האלתור, צורת נגינה שבה כל נגן ממציא מראשו קטע נגינה או סולו ובכך מוסיף ליצירה מוסיקה כרצונו. צורות חדשניות שפיתחו מלחיני מוסיקה אקראית היו של בחירה בין אפשרויות נגינה על ידי הטלת קוביה, כמו שעשה המלחין ג'ון קייג' למשל או בהחלפה של התווים המדוייקים בהנחיות כלליות לנגנים, כמו: "כאן יש לנגן הרבה צלילים באוקטבה הרביעית ובעוצמה מתגברת". מכאן אגב מובן שבסגנון זה, כמו בסגנונות מודרניים אחרים במאה ה-20, השתמשו בצורת תיווי חדשה, במקום התווים המסורתיים.
ג'ון קייג', מי שהיה ראשון המלחינים האלאטוריים, טען שהמלחין אינו צריך לשלוט ביצירה אלא לתת לה "לקרות". למעשה, זו הייתה תנועת נגד או תגובה לסגנון הסריאליזם הטוטאלי, שפגע בזרימה ובפשטות הטבעית של המוסיקה, בגלל השליטה הקיצונית והתחכום הרב שבו.
הנה סונטה אחת מני רבות שכתב ג'ון קייג' בשנות ה-40 לפסנתר ממותקן - פסנתר שלמיתריו הידק המלחין היצירתי הזה כל מיני חפצים, שהקנו לו צלילי הקשה ביחד עם צלילי הפסנתר:
http://youtu.be/VYsx5Di3bso
היצירה "נוף דמיוני מס' 4" מתוך סדרת יצירות שבהן השמיע ג'ון קייג' 12 מכשירי רדיו עם תחנות אקראיות והגביר והחליש את התחנות הללו בהחלטות לא צפויות ורגעיות:
https://youtu.be/NXIrCuQbe8k
וביצוע עכשווי של אותה היצירה:
http://youtu.be/tBPOgydgI1o
סולם פיתגורס (Pythagorean scale) הוא סולם מוסיקלי, שורה של צלילים ערבים לאוזן, שאם מודדים את התדירויות שלהם, מסתבר שיש ביניהם יחס מתמטי פשוט, כזה שיש בין מספרים שלמים, כמו בין 1 ל-2, 2 ל-3 וכך הלאה.
הראשון שעמד על הקשר הזה ומשום כך הסולם גם נושא את שמו, היה המדען היווני פיתגורס. המדען החכם הזה, מי שגרס אז ש"הכל מִסְפרים", היה מי שזיהה, כבר במאה ה-6 לפני הספירה, את הקשר המתמטי שבין גבהי הצלילים המוסיקליים לתדירות שלהם. באופן מסוים הוא היה הראשון שעסק באופן מדעי באקוסטיקה, הפיזיקה של הצליל.
אבל מה הקשר שמתקיים בין מתמטיקה למוסיקה? - פיתגורס הראה שלמתמטיקה תפקיד משמעותי באופן שבו המוזיקה נשמעת: כאשר יחסי התדירויות שני צלילים הם כיחס פשוט שבין שני מספרים שלמים, אז מתקבלים צירופי צלילים הרמוניים, כלומר נעימים לאוזן.
#איך פיתגורס גילה את זה?
הרי לפיתגורס לא היו מכשירים למדידת תדירויות, אז איך הוא חישב את היחס המספרי בין צלילים?
מה ששימש אותו הייתה תיבת עץ, שעליה הוא מתח כמה מיתרים באורך זהה. כשחילק למשל מיתר אחד לחצי ופרט עליו, פיתגורס הבחין שהצליל שמתקבל מנגינה בו הוא בגובה של אוקטבה מעל זה של המיתר הסמוך והלא חצוי. זה היה יחס של 1:2 וזה היחס המדויק של מרווח האוקטבה.
מיתר חצוי בדיוק באמצע, הוא רשם לעצמו, יפיק את אותו הטון, אבל באוקטבה גבוהה יותר. מיתר באורך כפול יפיק את אותו הטון באוקטבה למטה.
פריטה על שני המיתרים, החצוי והלא חצוי ביחד, משמיעה אם כן את האוקטבה, מרווח בעל צליל צלול וזך. ואכן, המרווח הזה הוא אחד מהמרווחים שנקראים עד היום "מרווחים זכים".
כמובן שפיתגורס לא יצר כאן. הוא חישב את היחסים המתמטיים בחציית המיתר לשליש, לרבע וכן הלאה. בין הצלילים במרווחים שונים וגילה שהמרווחים הזכים הם הפשוטים ביותר: יחס של 1:2 לאוקטבה, 3:4 בקוורטה, 3:2 למרווח הקווינטה וכך הלאה. בחלוקות אחרות גילה מרווחים נוספים. "הכל מספרים!" - הוא אמר לעצמו ודאי בסיפוק.
ניתן לבדוק ולמצוא את הקשרים המתמטיים שבין צלילי סולמות המז'ור והמינור הנפוצים במוסיקה המערבית של ימינו ולראות שגם בה המרווחים הערבים לאוזנינו הם אלו שביניהם יחס התדירויות הוא כזה.
הנה הגאונות של פיתגורס והסולם הפיתגוראי:
https://youtu.be/ZWzwb4BumIk
סיפורו של סולם פיתגורס (מתורגם):
https://youtu.be/FPREFrLYNB0
הפיזיקה של הצליל ותדירות גלי הקול המשתנה בגבהי צלילים שונים:
https://youtu.be/gbP6h0dtcQw
הסבר:
https://youtu.be/buZOs-czOUg
סרטון מעמיק על הקשר שמצא בין המוסיקה למתמטיקה:
https://youtu.be/4-idkubp_Lw?long=yes
ואיך גילה את התגלית האקוסטית המרשימה שלו:
https://youtu.be/EdYzqLgMmgk?long=yes
הקשר בין מתמטיקה ומוסיקה ידוע מזה שנים רבות ונחקר לעומק, בניתוחים שכללו חקירה של המוסיקה של יוהאן סבסטיאן באך ומלחינים אחרים, שיצרו מוסיקה שיש לה תבניות מתמטיות מאורגנות ומסודרות להפליא, הן מבחינת התוצאה המוסיקלית והן בארגון ובסדר המתמטי המפתיעים שלהן.
תוכנה להלחנה אלגוריתמית (Algorithmic composition) היא תוכנה שמשתמשת באותו סדר ובאותן שיטות, כדי לסייע ליוצרים מוסיקליים בעידן הנוכחי לייצר מוסיקה מעניינת ומקורית, ביחד עם הטכנולוגיה הממוחשבת.
קומפוזיציה אלגוריתמית, או הלחנה אלגוריתמית, משתמשת באלגוריתמים, קבצי הוראות או מעין "מתכוני הלחנה", לצורך ההלחנה של מוסיקה. כל תוכנה להלחנה אלגוריתמית משלבת נוסחאות מתמטיות שמוזנות אליה, ביחד עם רמת אקראיות מסוימת שהיא מתוכנתת לייצר, כל אלה בכדי להלחין "מוסיקה אלגוריתמית".
בתוכנות או תכניות מחשב שנכתבו להלחנה אלגוריתמית נמצא מחולל אלגוריתמים, שמסוגל ליצור מבנים מוסיקליים מורכבים, המייצרים מוסיקה אלקטרונית. המוסיקאי המשתמש בכלי ממוחשב כזה, בין אם הוא תוכנה למחשב או שהוא שירות מקוון באינטרנט, בוחר אפשרויות שונות והגדרות מוסיקליות, שאותן התוכנה מעבדת בהלחנה אלגוריתמית ויוצרת את התוצרים המשלבים את ההחלטות שקיבל המוסיקאי, עם היכולות האקראיות והתבניתיות שיש למכונה. התוצאה היא מוסיקה.
תוכנות כאלה מצוידות ביכולות המצאה כמעט אינסופיות ויכולות להמציא מיליוני אפשרויות של לחנים ותבניות מוסיקליות שלא יחזרו על עצמן, מבחינת התוצר המוסיקלי שהן מנגנות, גם אם ינגנו ברציפות במשך שנים ארוכות!
הנה שיר על עולם ההלחנה האלגוריתמית שנכתב בעצמו על ידי פדריקו רובן ביחד עם "הלהקה האלגוריתמית" שלו - תוכנה:
https://youtu.be/H8BvvSRgS8c
הנה תוכנה שנכתבה לקומפוזיציה אלגוריתמית בסביבת הפיתוח Max:
https://youtu.be/Zx_y2muZfyg
ומוסיקה אלגוריתמית שנוצרה על ידי תוכנה:
https://youtu.be/6-GI0we1tBQ
פוּגָה (Fugue) היא שיטת הלחנה פוליפונית לכמה קולות, שנולדה בתקופת הרנסאנס והגיעה לשיא בתקופת הבארוק. גם אחרי תקופת הבארוק ממשיכה הפוגה להופיע, מפוגות בתקופה הקלאסית ועד לפוגות מהתקופה הרומנטית ובמאה ה-20.
בתחילת הפוגה מנוגן הנושא הראשי ובהמשך הוא מושמע שוב ושוב, כשבכל פעם הוא "עובר" לקול אחר, בין הקולות השונים. אך בכל קול הוא מנוגן בשינויים מסוימים. לעתים השינוי מלודי, כלומר במנגינה שלו, ולעתים הוא ריתמי, בקצב שלו. כך הוא מתאים לקולות האחרים ולסולמות השונים.
חוץ מהנושא הראשי, יש בפוגה גם נושאים משניים וקטעי מעבר, שמושמעים כל הזמן למולו, כנושאים נגדיים או מקבילים. קצת כמו שיחה שבה ניתן להבין את דברי כולם, על אף שהם מדברים ביחד וממש בו-זמנית - כך הקולות בפוגה עצמאיים ועדיין יש ביניהם שילוב הרמוני המשתלב היטב לכדי שלמות אחת. בכך הפוגה שונה מצורות מוסיקליות אחרות שלא מבוססות על קונטרפונקט.
יצירות שנכתבו בטכניקת הפוגה נקראות במרבית המקרים גם הן "פוגה". פוגות כאלה יכולות להיכתב לכלי יחיד, לרוב כלי מקלדת כמו פסנתר, להרכבים כליים וקוליים, דוגמת רביעיית מיתרים, תזמורת מלאה או מקהלה.
פוגות מפורסמות ניתן למצוא בסימפוניה השלישית של בטהובן, בקטע ה"אמן" מתוך הרקוויאם של מוצרט, וברבות מיצירותיו של יוהאן סבסטיאן באך.
כך נראית פוגה:
https://youtu.be/95gLT7NzHAM
הנה הפוגה הגדולה בסול מינור של באך קכל 542:
https://youtu.be/4WhPUqpaRp4
פוגת "אמן" מתוך הרקוויאם של מוצרט:
https://youtu.be/-IfB7VmGaNQ
הפוגה מפרק רביעי בסימפוניה השלישית של בטהובן:
https://youtu.be/ZkP3XVkLxL4
סרט תיעודי שמסביר את הפוגה:
https://youtu.be/vAFETgpt9PA?long=yes
הסבר נוסף ומעמיק על הפוגה והצד המתמטי שלה:
https://youtu.be/ZG4SKgCpppE?long=yes
ו"אמנות הפוגה" של באך בביצוע הפסנתרן גלן גולד:
https://youtu.be/exD8bhJP1eo?long=yes
מתמטיקה ומוסיקה
הפאי הוא מספר אי רציונאלי, מציין את היחס בין היקף מעגל לקוטרו. זהו מספר מסתורי, שמתמטיקאים וחובבי מתמטיקה מוקסמים ממנו כבר דורות רבים. ערכו של פאי שווה בקירוב ל 3.14.
הפאי מסומן באות היוונית π. הבבלים, ממציאי הגלגל, גילו אותו כבר לפני ששת אלפים שנה. התגלית של התופעה המרתקת של פאי, הייתה שבכל גודל מעגל שהוא, תוצאת החילוק של היקף המעגל ברדיוס שלו תהיה תמיד אותו המספר. 4000 שנה אחריהם, הצליחו מדעני מצרים העתיקה להגיע לערך מקורב של פאי. ארכימדס היווני הציג לראשונה, כבר במאה ה-3 לפני הספירה, שיטה שמאפשרת לאמוד את π.
הראשון שהצליח לחשב את פיי בדיוק גבוה היה אויילר. פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי סייע לו מאד והוא חישב את פאי עד 153 ספרות אחרי הנקודה. כמו הרבה דברים שאויילר תרם למתמטיקה, הוא גם זה שהעניק לפיי את שמו.
כיום, בעידן המחשב, המתמטיקאים עובדים על אלגוריתמים ונוסחאות אלגנטיות לחישוב פאי. השיא שנקבע עד 2011 הוא של 10 טריליון ספרות אחרי הנקודה!
הנה סרטון על משמעותו של הפיי (מתורגם):
http://youtu.be/9a5vHXsUvUw?t=13s
שיר לימודי באנגלית, להיכרות עם חישוב פאי:
http://youtu.be/eiHWHT_8WrE
מלחין שהחליט להלחין את המספר וכך לזכור אותו:
https://youtu.be/wM-x3pUcdeo
והביטוי המוסיקלי של המספר פאי ויחס הזהב שבנוי עליו:
https://youtu.be/9mozmHgg9Sk?long=yes
