שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מהי סדרת פיבונאצ'י?
סדרת פיבונאצ'י במתמטיקה היא סדרת מספרים שהאיברים הראשונים בה הם 1 ו-1. כל איבר אחר בסדרת פיבונאצ'י שווה לסכום של שני האיברים הקודמים לו. 2 שווה ל-1 ועוד 1, 3 שווה 2+1, 5 הוא 2+3 וכן הלאה.
הסדרה קרויה על שם המתמטיקאי לאונרדו דה פיזה (לאונרדו מהעיר פיזה) שבאיטליה, שכונה "פיבונאצ'י". פיבונאצ'י תיאר את הסדרה הזו ב"ספר החשבוניה" שיצא בשנת 1202. הוא השתמש בסדרת פיבונאצ'י כדי לתאר את מספר הצאצאים של זוג ארנבים אחד. הוא תאר מצב שכל זוג ארנבים מגיל חודשיים ומעלה, ממליט מדי חודש זוג נוסף, התוצאות של מספר הצאצאים שלהם יהיו על פי הסדרה הזו.
מסתבר שהיחס בין שני איברים עוקבים של מספרי פיבונאצ'י שואף ל"יחס הזהב", קבוע מתמטי שתואר כבר ביוון העתיקה. תמיד כשמחלקים שני איברים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י, התוצאה תלך ותתקרב לחתך הזהב. בדרך זו מוסברים דברים רבים בטבע בעזרת סדרת פיבונאצ'י והרקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "מה זה, רקורסיה"), מקונכיות עם "ספירלת הזהב", דרך פרחים, כרובית, גלקסיות חלזוניות ועוד. וזה לא במקרה שסדרת פיבונאצ'י היא כה נפוצה בטבע - כמו שהראינו קודם בדוגמת הארנבים, מדובר בצורה היעילה ביותר לשכפול וכשצמחים ובעלי חיים פשוטים משכפלים תאים בגדילה - מקבלים בדיוק את הסדרה של פיבונאצ'י.
מקובל לסמן את איברי הסדרה באות F, שמוגדרת ברקורסיה - כלומר פעולה המבוצעת על ידי הפניה עצמית. במקרה הזה, כל F הוא סכום שני ה-Fים שלפניו.
הנה הסבר על סדרת פיבונאצ'י (עברית):
https://youtu.be/EAXKR-H_bS0
הסבר מדעי של הסדרה הפיבונאצ'ית (עברית):
http://youtu.be/z5RWfXTd3QU
הדגמה של סדרת פיבונאצ'י:
http://youtu.be/H2aHh5FLX5w
והסבר מתמטי של סדרת ה פיבונאצ'י (מתורגם):
https://youtu.be/SjSHVDfXHQ4
מה הפלא המתמטי של החמניה?
לאונרדו מפיזה, או פיבונאצ'י כמו שקרא לעצמו, היה כנראה גדול המתמטיקאים של ימי הביניים. במיוחד הוא ידוע כמי שגילה את סדרת המספרים המכונה על שמו "סדרת פיבונאצ'י".
כל איבר בסדרת פיבונאצ'י שווה לסכום של שני האיברים הקודמים לו. הוא לא הפסיק להתפעל מהקסם המתמטי של הסדרה הזו, כמו זה שביחסים בין ריבועי המספרים או ביופי של מה שהיא יוצרת בגאומטריה למשל, אבל אפילו הוא לא שיער כמה תופעות טבע מאופיינות במספרי פיבונאצ'י, כמו למשל העובדה שמספר עלי הכותרת בצמחים רבים הוא תמיד מספר פיבונצ'י, כמו 5, 8, 13 וכדומה.
מפתיע? - אז שימו לב לתופעה מרתקת אפילו יותר.. מסתבר שמספר הגרעינים שבפרח החמניה הם מספרי פיבונצ'י עוקבים. אם תביטו היטב, הם נראים כמו 2 ספירלות, שאחת היא בעלת 89 גרעינים והשנייה בת 55 גרעינים - שני מספרים עוקבים בסדרה (אגב, זה כך גם באצטרובלי עץ האורן).
ולמה זה קורה? - ובכן, נראה שהספירלות הללו מופיעות בפרחים כאלה ובאיצטרובלים, כדי למנוע מצב שבו הגרעינים יהיו צפופים מדי ויתקשו להתפתח. לכן הטבע מרבה אותם במספרי פיבונצ'י וכך נוצר המספר המרבי של גרעינים, מה שיבטיח שכפול מוצלח והמשך הדורות.
וזה לא הדבר היחיד שבו פיבונצ'י נראה בצמחים כאלו. מסתבר שאפילו זווית הגדילה של העלים על הגבעול, זו שמאפשרת לעלים החדשים לצמוח באופן שיקבלו הכי הרבה אור שמש, אפילו היא מתמטית ומדויקת. למעשה היא ידועה בתור יחס הזהב, כ-1.618. אם נחלק 360 מעלות של הגבעול העגול במספר 1.618 נקבל בדיוק את המיקומים שהטבע בחר לגדילת העלים על הגבעול. בינגו! - שוב הטבע הצטיין במתמטיקה והשתמש במספרי פיבונצ'י וביחס הזהב שנובע ממנו כדי להיטיב את גדילת הצמחים.
אז האמת שאין כאן פלא, חוץ מפלאי הטבע כמובן. סדרת פיבונאצ'י, שאנו כה מתפעלים ממנה כאן, היא הדרך שבה מאורגנים ומשוכפלים ביעילות מרכיבים רבים בטבע ובה פועלים ביעילות רבה כוחות טבעיים שונים. כשאנו מוצאים בחמניה את מספרי פיבונאצ'י, לכל היותר נוכל לומר שהחמניה "גדלה כמו שצריך".. אז אולי זה מופלא, אבל לא יותר מהפלא הבלתי נתפס של היקום כולו!
הנה המתמטיקה של החמניות:
https://youtu.be/z9d1mxgZ0ag
היופי המתמטי שגלום בסדרת מספרים פשוטה לכאורה זו (מתורגם):
https://youtu.be/SjSHVDfXHQ4
והגרעינים האלה שעל פרח החמנייה - ככה הם הופכים לגרעינים שחורים (עברית):
https://youtu.be/xLCkC0oOFqw
איך נוצרת מערבולת?
כשחומר בצורת נוזל או גז זורם במעגל, נוצרת מערבולת (Whirlpool). מערבולות נוצרות לעתים בים וגם באוויר, בסופות טורנדו שיוצרות סחרור או ברוחות מדבריות שיוצרות עמוד חול, כמו עלעול החול.
במרכז המערבולת הזרימה מהירה יותר ממהירות זרימת החומר בשוליים. לשחיינים עלול להיות מסוכן מאד להיקלע למערבולת.
אגב, כמו תופעות טבע רבות, משבלולים ועד גלקסיות ענקיות ביקום, גם המערבולת היא מתופעות הטבע המתנהלות על פי חתך הזהב. זהו אותו יחס מתמטי מופלא שמתקיים הרבה בטבע. קראו עליו באאוריקה בתגית "יחס הזהב".
כך נוצרת המערבולת:
https://youtu.be/pnbJEg9r1o8
מערבולת מצולמת מהצד בים:
https://youtu.be/eBWqaamZ01I
וכמה מערבולות גדולות ומסוכנות במיוחד:
https://youtu.be/0v6VE4aNkN8?long=yes
איך נוצרים הגרעינים השחורים?
הם הפיצוחים הכי אהובים אצלנו. כשרואים משחק כדורגל או כדורסל בטלוויזיה הם כמעט מצרך חובה ויש אנשים רבים שאין אצלם סוף שבוע בלי לפצח גרעינים ובמיוחד את השחורים שבהם הוא לא סופ"ש. אולי סוף.
אז הגרעינים הלבנים הם גרעיני דלעת וגרעיני אבטיח באים מזרעי האבטיח, אבל מאיפה מגיעים הגרעינים השחורים?
הגרעינים השחורים הם גרעיני חמנית. קוטפים אותם בקיץ, בשעה מסוימת מאוד, בה הם נקטפים בקלות. בעבר קטפו אותם בידיים, אבל כיום קוצר אותם הקומביין הענק בשדה החמניות והם ייאגרו בו, עד שיועברו בשקים אל בית הקלייה.
בבית הקליה יקלו את כל סוגי הגרעינים - מהגרעינים השחורים, דרך גרעיני אבטיח וכמובן גרעינים לבנים, שבאים מהדלעת.
בבית הקליה, לאחר מכן, יארזו את הגרעינים האפויים בשקיות והם יישלחו לחנויות.
גרעיני החמנייה הם שהופכים לגרעינים שחורים (עברית):
https://youtu.be/xLCkC0oOFqw
גרעיני חמניה היו תמיד זולים וסיפקו בילוי נחמד והיו מי שהתפרנסו מהם היטב (עברית):
https://youtu.be/zRXRdRvz-3U
שיר שמדגים כמה הגרעינים מרכזיים בהוויה הישראלית (עברית):
https://youtu.be/WdWIFqhhwCs
והגרעינים הם חלק מהפיצוחים שאנו כה אוהבים (עברית):
https://youtu.be/zNfOKCcyK0g
מה זה לוליין לוגריתמי?
לוליין לוגריתמי, ספירלה לוגריתמית, או ספירלת הזהב, הם שמות של אחת התופעות המרהיבות בטבע. מדובר בצורה גיאומטרית, של קו עקום ומעגלי המתחיל מנקודה כלשהי ומסתחרר בצורה מעגלית כלפי חוץ, כשהרדיוס של המעגל הולך וגדל, כמו חילזון (ספירלה).
צורה זו היא מעין צורה בסיסית של יופי. היא כוללת סימטריה והרמוניה - שתי התכונות שגורמות לבני אדם לזהות דבר יפה, כבר ממבט ראשון. כבר דורות מתואר הלוליין הלוגריתמי בתור "הפרופורציה האלוהית". כזו שיכולה להקנות לדברים שהאדם עושה את תכונות היופי הכי מוכרות, סימטריה והרמוניה.
שתי התוכנות הללו מתמזגות בלוליין הלוגריתמי. בזכותו הופכים הפרחים, למשל, ליפים בעינינו, כמו גם בעיני בעלי חיים. בזכות היופי ההרמוני והסימטריה המושלמת נמשכים אליהם הדבורים, הפרפרים והחרקים ומוצאים בהם מקור למזון וחיים.
השלמות והיופי הללו, של מה שקיבל את השם "יחס הזהב", גלומים בכל פינה בטבע. מפרחים כמו חמנית או ורד, פירות דוגמת אננס, ירקות כמו הכרוב והכרובית, צמחים כמו ברוקולי ואצל בעלי חיים כמו במראה קרני האיילים, פרפרים, שבלולים, קונכיות וחלזונות - כולם מתפתחים כך. גם בתופעות טבע כמו מערבולות מים ואוויר ואפילו גלקסיות עם מיליארדי כוכבים. כל אלה נראים כך. הסיבה היא שהאנרגיה הדרושה לכל אלה היא המינימלית. גדילה כזו של יצורים חיים, או קיומן של תופעות כמו מערבולת או אפילו גלקסיה, תובעות אנרגיה רבה. לכן חסכון טבעי בה הוא הכי טוב.
התופעות הללו משכו את תשומת לב האמנים ומתכנני המבנים, שכן יופיים לא משתנה והם נחשבים יפים בכל תקופה ובכל תרבות שהן. מקרני האיילים שהיו לקורות עמודים רומיים, אזור המפתחות בכלי המיתר ועד ללוליינים לוגריתמיים שהיו לכלי אמנותי בציור ובעיצוב והאדריכלות של מוזיאון גוגנהיים.
בצמחים ופרפרים רבים, גם כשהתכונות הללו לא נראות במבט ראשון, אפשר לדמיין את הצורה הלוליינית ומיד מזהים את ההרמוניה והסימטריה שהעין כה אוהבת.
הנה הספירלה של הלוליין הלוגריתמי שמופיעה בטבע בכל מקום:
https://youtu.be/nt2OlMAJj6o
ספירלת הזהב על פי פיבונאצ'י, היא הלוליין הלוגריתמי:
https://youtu.be/RKdrI9MZXHQ
תיאור של לוליין לוגריתמי בעזרת תוכנה מתמטית:
https://youtu.be/gXU1D2aF8QI
ומצגת וידאו של מרכיבים לולייניים שונים בטבע:
https://youtu.be/Qq7nU62ww0U
מהי קונכיית הנאוטילוס העתיקה?
הנאוטילוס הוא מעין דיונון בעל קונכייה שיש לו כמה זרועות ציד קצרות. לקונכיית הנאוטילוס פסים בצבעי אדום ולבן. יש לו סיבה טובה להיות גאה בעצמו, שכן הוא מבעלי החיים היחידים ששרדו ללא שינוי מאז ימי הדינוזאורים ומהרכיכות היחידות ששרדו מתקופת המזוזואיקון. המבנה האורגני של הנאוטילוס לא השתנה במשך 400 מיליון שנה. לכן הנאוטילוס מוגדר כמאובן חי, מה שאומר שהיצורים הקרובים אליה נכחדו וקשה יותר למצוא יצורים כאלה שחיים, מאשר מאובנים של יצורים שנכחדו.
הנאוטילוס הוא קרוב משפחה של האמוניט הקדום, מתקופת המזוזואיקון. אבל בעוד שהאמוניט נכחד בהכחדה הגדולה שחיסלה גם את הדינוזאורים, לפני 65 מליון שנה, הצליח הנאוטילוס לשרוד את האירועים שהכחידו מינים רבים כל כך, מהאמוניטים ועד הדינוזאורים.
קונכיית הנאוטילוס היא דוגמה חלזונית שמדגימה את יחס הזהב בטבע (ראו בתגית "יחס הזהב") והיא בנויה על פי סדרת פיבונאצ'י.
הסופר הבדיוני הראשון והמפורסם ז'ול ורן קרא על שמה את הצוללת "נאוטילוס" מספרו "20,000 מיל מתחת לפני הים". בהמשך ההיסטוריה נשאו כמה צוללות אמיתיות את השם, כגון הצוללת שניסתה לחצות תחת הקוטב בשנת 1931 והצוללת הגרעינית הראשונה של הצבא האמריקאי.
הנה קונכיית הנאוטילוס:
http://youtu.be/HIRCI0G19Uw
המחקר עליה:
http://youtu.be/PIheRYcm6sI
נאוטילוס טורף:
https://youtu.be/vR6G-ANma1w
הנאוטילוס הוא אחת הדוגמאות הטבעיות הטובות של חתך הזהב:
https://youtu.be/_gxC8OjoQkQ
והתנועה האצילית של הנאוטילוס במים, כשבניגוד למנהגו הוא עולה ממעמקים אל פני הים:
https://youtu.be/dHqvQ8WBFeM
מהן גלקסיות לולייניות?
גלקסיית שביל החלב, הגלקסיה שבה נמצא כדור הארץ היא גלקסיה ספירלית, חלזונית. גם הגלקסיה השכנה, גלקסיית אנדרומדה, שייכת לסוג זה. גלקסיות ספירליות, או גלקסיות לולייניות, הן גלקסיות שיש להן צורה לוליינית, דמוית חילזון. במרכז של גלקסיה כזו יש מעין עיגול שטוח בצורת דיסקה ולו זרועות שיוצרות מבנה ספירלי.
הצורה האופיינית לגלקסיות כאלה היא של חילזון והיא מתקבלת מהאופן שבו נעים הכוכבים בגלקסיה, צורת תנועה שהיא אמנם אטית מאוד ונמדדת במשכי זמן של מאות מיליוני שנים, אך בבסיסה היא דומה לתנועה של המים במערבולות מים, לתנועת האוויר בסופות טורנדו או לחול הנע בעמודי חול כמו עלעול.
כמו בחלזונות וביצירות אמנות, מבנים אדריכליים ויצירות מוסיקליות מרתקות, מדהים לגלות שגם בצורתן של גלקסיות כאלה, על מיליארדי הכוכבים שבהן, ניתן לראות את היחס המתמטי המופלא של "חיתוך הזהב" (או "יחס הזהב"). יחס מופלא זה, שמתקבל מחלוקת האורך של מלבן הזהב ברוחב שלו, זכה לשם "הפרופורציה האלוהית". קראו עליו באאוריקה בתגית "יחס הזהב".
ברוב המקרים נמצאות הגלקסיות הספירליות בשולי צבירי גלקסיות ולא במרכזן.
הנה הגלקסיות הלולייניות:
https://youtu.be/5sGKuoBnTn0
תצוגה גרפית של גלקסיית שביל החלב הספירלית:
https://youtu.be/C4V-ooITrws?t=30s
התבוננות בפרטים בצילום של M81 - גלקסיה חלזונית מרוחקת הנמצאת מעל 11 מיליון שנות אור מכדור הארץ:
https://youtu.be/0seVq5ydqzk
הדגמת מחשב של היווצרות גלקסיה לוליינית (במהירות מואצת כמובן, כי במציאות התהליך נמשך מיליוני שנים):
https://youtu.be/LTlSLVbYFso
עוד אחת:
https://youtu.be/hVNuwAtnKeg
והצגה של המבנה הפרקטלי של הגלקסיה החלזונית וכמה שהוא דומה למבנים טבעיים רבים:
https://youtu.be/vGq3x31ex1Y
מה מיוחד במוזיאון גוגנהיים?
מוזיאון גוגנהיים בעיר ניו-יורק תוכנן על ידי האדריכל הידוע פרנק לויד רייט. רייט נדרש ל-700 שרטוטים ול-15 שנה עד שהצליח להגיע למה שרצה - מבנה שיהיה שונה מכל "הקופסאות" שמסביב.
ואכן, המבנה של מוזיאון גוגנהיים בניו-יורק הוא בעל צורה ייחודית שרבים מחשיבים כיצירת אמנות לא פחות חשובה מהיצירות המופשטות שמוצגות בו. הצורה המעוגלת, הלא סימטרית, הבלתי סדירה ושחלקה הרחב הוא דווקא למעלה היא בלתי נשכחת. הוא גם היה המוזיאון הראשון שבו הגלריה היא אחת - אין קומות ואין חדרים, אלא רק חלל אחד המתעקל בשיפוע מתון במורד המבנה, למלמעלה ועד לקומת הכניסה.
מה שאפשר את הקסם הזה, הוא התכנון של המבנה לפי סדרת פיבונאצ'י ועל פי יחס הזהב. ממש כמו קונכיית הנאוטילוס, הקונכייה הכי קדומה שעדיין קיימת בעולם ולא השתנתה מאז ימי הדינוזאורים.
את הרעיון קיבל האדריכל לאחר שהברונית העשירה מזמינת העבודה דרשה שהמבנה יהיה מעוגל. מכאן הדרך הייתה קצרה לחיקוי של קונכיית הנאוטילוס, שכולו מחושב על בסיס עיקרון פיבונאצ'י (ראו בתגית "סדרת פיבונאצ'י"). זהו עיקרון שמבוסס על חתך הזהב (ראו בתגית "יחס הזהב"), הצורה היעילה ביותר בטבע לשכפול מוקטן.
הנה סרטון של מוזיאון גוגנהיים:
https://youtu.be/QvgVKWvb2tI
שיטוט בחלל הפנימי של המוזיאון:
https://youtu.be/ypDTotRZPgY
הזמנה להגיע אליו:
https://youtu.be/OmAaZmACy20
והמבנה המיוחד של גוגנהיים והמודלים ששימשו בזמן התכנון:
https://youtu.be/O_YzxQecZMs
מה זה טורנדו ואיך טורנדו נוצר?
סופת טורנדו היא סופה בצורת מערבולת, שעוברת ממקום למקום ויכולה להיות מאד הרסנית. על אף שרוחב סופת הטורנדו הוא רק כמה מאות מטרים, היא הורסת מבנים ושואבת אליה חפצים גדולים כמו גגות ומכוניות, שלעיתים מוצאים אותם לאחר הסופה במרחק רב ממקומם. מהירות הרוח של סופת טורנדו מגיעה ל-100 קילומטרים בשעה! כוח היניקה שלה למעלה, גורם לנזקים גדולים בנפש וברכוש.
הטורנדו נוצר מרוח חזקה שפוגעת בעננים ומחוללת עם האוויר החם העולה מהקרקע את צורת המשפך. סופת הטורנדו נושאת אבק ואדי מים ונראית כמשפך צר שיורד מחלקו התחתון של ענן אל עבר הקרקע.
סופת טורנדו נוצרת לרוב במהירות רבה ולכן קשה מאד להתריע עליה ולפנות את האזורים שאליהם היא עומדת להגיע מאנשים.
מרבית סופות הטורנדו בעולם מתרחשות באזור ארצות הברית.
סופות טורנדו הן אחד המקרים שבו ניתן לראות את היחס המתמטי המופלא של "חיתוך הזהב" (או "יחס הזהב"). את היחס המופלא הזה, שזכה גם לשם "הפרופורציה האלוהית", ניתן למצוא בטבע אצל חלזונות וקונכיות, מערבולות, סופות טורנדו וגלקסיות ספירליות, אך גם באמנות, מוסיקה ובאדריכליות. קראו עליו באאוריקה בתגית "חתך הזהב".
הנה הסבר יפה ומתורגם על סופות הטורנדו והיווצרותן (מתורגם):
http://youtu.be/lmWh9jV_1ac
כך נולדת סופת טורנדו בגודל בלתי נתפס:
https://youtu.be/2pnz3dwq9aE
דוגמה להיווצרות של טורנדו:
http://youtu.be/7KDz6dGQ5RE
הסבר לילדים על הדרך שבה נוצרת סופת הטורנדו:
http://youtu.be/FbXvj1mgPdA
כך נוצרות סופות טורנדו וכמה מהסופות בהיסטוריה:
http://youtu.be/S-UPAcKNvII
סופת טורנדו בזמן אמת:
https://youtu.be/xPTXqzMVFUA
מעט מההרס שיכול להיגרם מסופת טורנדו:
http://youtu.be/43VoMesUd2Q
והסבר על הטורנדו ודרך היווצרותו (עברית):
https://youtu.be/XMlPZ-CmTh0?long=yes
סדרת פיבונאצ'י במתמטיקה היא סדרת מספרים שהאיברים הראשונים בה הם 1 ו-1. כל איבר אחר בסדרת פיבונאצ'י שווה לסכום של שני האיברים הקודמים לו. 2 שווה ל-1 ועוד 1, 3 שווה 2+1, 5 הוא 2+3 וכן הלאה.
הסדרה קרויה על שם המתמטיקאי לאונרדו דה פיזה (לאונרדו מהעיר פיזה) שבאיטליה, שכונה "פיבונאצ'י". פיבונאצ'י תיאר את הסדרה הזו ב"ספר החשבוניה" שיצא בשנת 1202. הוא השתמש בסדרת פיבונאצ'י כדי לתאר את מספר הצאצאים של זוג ארנבים אחד. הוא תאר מצב שכל זוג ארנבים מגיל חודשיים ומעלה, ממליט מדי חודש זוג נוסף, התוצאות של מספר הצאצאים שלהם יהיו על פי הסדרה הזו.
מסתבר שהיחס בין שני איברים עוקבים של מספרי פיבונאצ'י שואף ל"יחס הזהב", קבוע מתמטי שתואר כבר ביוון העתיקה. תמיד כשמחלקים שני איברים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י, התוצאה תלך ותתקרב לחתך הזהב. בדרך זו מוסברים דברים רבים בטבע בעזרת סדרת פיבונאצ'י והרקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "מה זה, רקורסיה"), מקונכיות עם "ספירלת הזהב", דרך פרחים, כרובית, גלקסיות חלזוניות ועוד. וזה לא במקרה שסדרת פיבונאצ'י היא כה נפוצה בטבע - כמו שהראינו קודם בדוגמת הארנבים, מדובר בצורה היעילה ביותר לשכפול וכשצמחים ובעלי חיים פשוטים משכפלים תאים בגדילה - מקבלים בדיוק את הסדרה של פיבונאצ'י.
מקובל לסמן את איברי הסדרה באות F, שמוגדרת ברקורסיה - כלומר פעולה המבוצעת על ידי הפניה עצמית. במקרה הזה, כל F הוא סכום שני ה-Fים שלפניו.
הנה הסבר על סדרת פיבונאצ'י (עברית):
https://youtu.be/EAXKR-H_bS0
הסבר מדעי של הסדרה הפיבונאצ'ית (עברית):
http://youtu.be/z5RWfXTd3QU
הדגמה של סדרת פיבונאצ'י:
http://youtu.be/H2aHh5FLX5w
והסבר מתמטי של סדרת ה פיבונאצ'י (מתורגם):
https://youtu.be/SjSHVDfXHQ4
לאונרדו מפיזה, או פיבונאצ'י כמו שקרא לעצמו, היה כנראה גדול המתמטיקאים של ימי הביניים. במיוחד הוא ידוע כמי שגילה את סדרת המספרים המכונה על שמו "סדרת פיבונאצ'י".
כל איבר בסדרת פיבונאצ'י שווה לסכום של שני האיברים הקודמים לו. הוא לא הפסיק להתפעל מהקסם המתמטי של הסדרה הזו, כמו זה שביחסים בין ריבועי המספרים או ביופי של מה שהיא יוצרת בגאומטריה למשל, אבל אפילו הוא לא שיער כמה תופעות טבע מאופיינות במספרי פיבונאצ'י, כמו למשל העובדה שמספר עלי הכותרת בצמחים רבים הוא תמיד מספר פיבונצ'י, כמו 5, 8, 13 וכדומה.
מפתיע? - אז שימו לב לתופעה מרתקת אפילו יותר.. מסתבר שמספר הגרעינים שבפרח החמניה הם מספרי פיבונצ'י עוקבים. אם תביטו היטב, הם נראים כמו 2 ספירלות, שאחת היא בעלת 89 גרעינים והשנייה בת 55 גרעינים - שני מספרים עוקבים בסדרה (אגב, זה כך גם באצטרובלי עץ האורן).
ולמה זה קורה? - ובכן, נראה שהספירלות הללו מופיעות בפרחים כאלה ובאיצטרובלים, כדי למנוע מצב שבו הגרעינים יהיו צפופים מדי ויתקשו להתפתח. לכן הטבע מרבה אותם במספרי פיבונצ'י וכך נוצר המספר המרבי של גרעינים, מה שיבטיח שכפול מוצלח והמשך הדורות.
וזה לא הדבר היחיד שבו פיבונצ'י נראה בצמחים כאלו. מסתבר שאפילו זווית הגדילה של העלים על הגבעול, זו שמאפשרת לעלים החדשים לצמוח באופן שיקבלו הכי הרבה אור שמש, אפילו היא מתמטית ומדויקת. למעשה היא ידועה בתור יחס הזהב, כ-1.618. אם נחלק 360 מעלות של הגבעול העגול במספר 1.618 נקבל בדיוק את המיקומים שהטבע בחר לגדילת העלים על הגבעול. בינגו! - שוב הטבע הצטיין במתמטיקה והשתמש במספרי פיבונצ'י וביחס הזהב שנובע ממנו כדי להיטיב את גדילת הצמחים.
אז האמת שאין כאן פלא, חוץ מפלאי הטבע כמובן. סדרת פיבונאצ'י, שאנו כה מתפעלים ממנה כאן, היא הדרך שבה מאורגנים ומשוכפלים ביעילות מרכיבים רבים בטבע ובה פועלים ביעילות רבה כוחות טבעיים שונים. כשאנו מוצאים בחמניה את מספרי פיבונאצ'י, לכל היותר נוכל לומר שהחמניה "גדלה כמו שצריך".. אז אולי זה מופלא, אבל לא יותר מהפלא הבלתי נתפס של היקום כולו!
הנה המתמטיקה של החמניות:
https://youtu.be/z9d1mxgZ0ag
היופי המתמטי שגלום בסדרת מספרים פשוטה לכאורה זו (מתורגם):
https://youtu.be/SjSHVDfXHQ4
והגרעינים האלה שעל פרח החמנייה - ככה הם הופכים לגרעינים שחורים (עברית):
https://youtu.be/xLCkC0oOFqw
כשחומר בצורת נוזל או גז זורם במעגל, נוצרת מערבולת (Whirlpool). מערבולות נוצרות לעתים בים וגם באוויר, בסופות טורנדו שיוצרות סחרור או ברוחות מדבריות שיוצרות עמוד חול, כמו עלעול החול.
במרכז המערבולת הזרימה מהירה יותר ממהירות זרימת החומר בשוליים. לשחיינים עלול להיות מסוכן מאד להיקלע למערבולת.
אגב, כמו תופעות טבע רבות, משבלולים ועד גלקסיות ענקיות ביקום, גם המערבולת היא מתופעות הטבע המתנהלות על פי חתך הזהב. זהו אותו יחס מתמטי מופלא שמתקיים הרבה בטבע. קראו עליו באאוריקה בתגית "יחס הזהב".
כך נוצרת המערבולת:
https://youtu.be/pnbJEg9r1o8
מערבולת מצולמת מהצד בים:
https://youtu.be/eBWqaamZ01I
וכמה מערבולות גדולות ומסוכנות במיוחד:
https://youtu.be/0v6VE4aNkN8?long=yes
הם הפיצוחים הכי אהובים אצלנו. כשרואים משחק כדורגל או כדורסל בטלוויזיה הם כמעט מצרך חובה ויש אנשים רבים שאין אצלם סוף שבוע בלי לפצח גרעינים ובמיוחד את השחורים שבהם הוא לא סופ"ש. אולי סוף.
אז הגרעינים הלבנים הם גרעיני דלעת וגרעיני אבטיח באים מזרעי האבטיח, אבל מאיפה מגיעים הגרעינים השחורים?
הגרעינים השחורים הם גרעיני חמנית. קוטפים אותם בקיץ, בשעה מסוימת מאוד, בה הם נקטפים בקלות. בעבר קטפו אותם בידיים, אבל כיום קוצר אותם הקומביין הענק בשדה החמניות והם ייאגרו בו, עד שיועברו בשקים אל בית הקלייה.
בבית הקליה יקלו את כל סוגי הגרעינים - מהגרעינים השחורים, דרך גרעיני אבטיח וכמובן גרעינים לבנים, שבאים מהדלעת.
בבית הקליה, לאחר מכן, יארזו את הגרעינים האפויים בשקיות והם יישלחו לחנויות.
גרעיני החמנייה הם שהופכים לגרעינים שחורים (עברית):
https://youtu.be/xLCkC0oOFqw
גרעיני חמניה היו תמיד זולים וסיפקו בילוי נחמד והיו מי שהתפרנסו מהם היטב (עברית):
https://youtu.be/zRXRdRvz-3U
שיר שמדגים כמה הגרעינים מרכזיים בהוויה הישראלית (עברית):
https://youtu.be/WdWIFqhhwCs
והגרעינים הם חלק מהפיצוחים שאנו כה אוהבים (עברית):
https://youtu.be/zNfOKCcyK0g
ספירלת הזהב
לוליין לוגריתמי, ספירלה לוגריתמית, או ספירלת הזהב, הם שמות של אחת התופעות המרהיבות בטבע. מדובר בצורה גיאומטרית, של קו עקום ומעגלי המתחיל מנקודה כלשהי ומסתחרר בצורה מעגלית כלפי חוץ, כשהרדיוס של המעגל הולך וגדל, כמו חילזון (ספירלה).
צורה זו היא מעין צורה בסיסית של יופי. היא כוללת סימטריה והרמוניה - שתי התכונות שגורמות לבני אדם לזהות דבר יפה, כבר ממבט ראשון. כבר דורות מתואר הלוליין הלוגריתמי בתור "הפרופורציה האלוהית". כזו שיכולה להקנות לדברים שהאדם עושה את תכונות היופי הכי מוכרות, סימטריה והרמוניה.
שתי התוכנות הללו מתמזגות בלוליין הלוגריתמי. בזכותו הופכים הפרחים, למשל, ליפים בעינינו, כמו גם בעיני בעלי חיים. בזכות היופי ההרמוני והסימטריה המושלמת נמשכים אליהם הדבורים, הפרפרים והחרקים ומוצאים בהם מקור למזון וחיים.
השלמות והיופי הללו, של מה שקיבל את השם "יחס הזהב", גלומים בכל פינה בטבע. מפרחים כמו חמנית או ורד, פירות דוגמת אננס, ירקות כמו הכרוב והכרובית, צמחים כמו ברוקולי ואצל בעלי חיים כמו במראה קרני האיילים, פרפרים, שבלולים, קונכיות וחלזונות - כולם מתפתחים כך. גם בתופעות טבע כמו מערבולות מים ואוויר ואפילו גלקסיות עם מיליארדי כוכבים. כל אלה נראים כך. הסיבה היא שהאנרגיה הדרושה לכל אלה היא המינימלית. גדילה כזו של יצורים חיים, או קיומן של תופעות כמו מערבולת או אפילו גלקסיה, תובעות אנרגיה רבה. לכן חסכון טבעי בה הוא הכי טוב.
התופעות הללו משכו את תשומת לב האמנים ומתכנני המבנים, שכן יופיים לא משתנה והם נחשבים יפים בכל תקופה ובכל תרבות שהן. מקרני האיילים שהיו לקורות עמודים רומיים, אזור המפתחות בכלי המיתר ועד ללוליינים לוגריתמיים שהיו לכלי אמנותי בציור ובעיצוב והאדריכלות של מוזיאון גוגנהיים.
בצמחים ופרפרים רבים, גם כשהתכונות הללו לא נראות במבט ראשון, אפשר לדמיין את הצורה הלוליינית ומיד מזהים את ההרמוניה והסימטריה שהעין כה אוהבת.
הנה הספירלה של הלוליין הלוגריתמי שמופיעה בטבע בכל מקום:
https://youtu.be/nt2OlMAJj6o
ספירלת הזהב על פי פיבונאצ'י, היא הלוליין הלוגריתמי:
https://youtu.be/RKdrI9MZXHQ
תיאור של לוליין לוגריתמי בעזרת תוכנה מתמטית:
https://youtu.be/gXU1D2aF8QI
ומצגת וידאו של מרכיבים לולייניים שונים בטבע:
https://youtu.be/Qq7nU62ww0U
הנאוטילוס הוא מעין דיונון בעל קונכייה שיש לו כמה זרועות ציד קצרות. לקונכיית הנאוטילוס פסים בצבעי אדום ולבן. יש לו סיבה טובה להיות גאה בעצמו, שכן הוא מבעלי החיים היחידים ששרדו ללא שינוי מאז ימי הדינוזאורים ומהרכיכות היחידות ששרדו מתקופת המזוזואיקון. המבנה האורגני של הנאוטילוס לא השתנה במשך 400 מיליון שנה. לכן הנאוטילוס מוגדר כמאובן חי, מה שאומר שהיצורים הקרובים אליה נכחדו וקשה יותר למצוא יצורים כאלה שחיים, מאשר מאובנים של יצורים שנכחדו.
הנאוטילוס הוא קרוב משפחה של האמוניט הקדום, מתקופת המזוזואיקון. אבל בעוד שהאמוניט נכחד בהכחדה הגדולה שחיסלה גם את הדינוזאורים, לפני 65 מליון שנה, הצליח הנאוטילוס לשרוד את האירועים שהכחידו מינים רבים כל כך, מהאמוניטים ועד הדינוזאורים.
קונכיית הנאוטילוס היא דוגמה חלזונית שמדגימה את יחס הזהב בטבע (ראו בתגית "יחס הזהב") והיא בנויה על פי סדרת פיבונאצ'י.
הסופר הבדיוני הראשון והמפורסם ז'ול ורן קרא על שמה את הצוללת "נאוטילוס" מספרו "20,000 מיל מתחת לפני הים". בהמשך ההיסטוריה נשאו כמה צוללות אמיתיות את השם, כגון הצוללת שניסתה לחצות תחת הקוטב בשנת 1931 והצוללת הגרעינית הראשונה של הצבא האמריקאי.
הנה קונכיית הנאוטילוס:
http://youtu.be/HIRCI0G19Uw
המחקר עליה:
http://youtu.be/PIheRYcm6sI
נאוטילוס טורף:
https://youtu.be/vR6G-ANma1w
הנאוטילוס הוא אחת הדוגמאות הטבעיות הטובות של חתך הזהב:
https://youtu.be/_gxC8OjoQkQ
והתנועה האצילית של הנאוטילוס במים, כשבניגוד למנהגו הוא עולה ממעמקים אל פני הים:
https://youtu.be/dHqvQ8WBFeM
גלקסיית שביל החלב, הגלקסיה שבה נמצא כדור הארץ היא גלקסיה ספירלית, חלזונית. גם הגלקסיה השכנה, גלקסיית אנדרומדה, שייכת לסוג זה. גלקסיות ספירליות, או גלקסיות לולייניות, הן גלקסיות שיש להן צורה לוליינית, דמוית חילזון. במרכז של גלקסיה כזו יש מעין עיגול שטוח בצורת דיסקה ולו זרועות שיוצרות מבנה ספירלי.
הצורה האופיינית לגלקסיות כאלה היא של חילזון והיא מתקבלת מהאופן שבו נעים הכוכבים בגלקסיה, צורת תנועה שהיא אמנם אטית מאוד ונמדדת במשכי זמן של מאות מיליוני שנים, אך בבסיסה היא דומה לתנועה של המים במערבולות מים, לתנועת האוויר בסופות טורנדו או לחול הנע בעמודי חול כמו עלעול.
כמו בחלזונות וביצירות אמנות, מבנים אדריכליים ויצירות מוסיקליות מרתקות, מדהים לגלות שגם בצורתן של גלקסיות כאלה, על מיליארדי הכוכבים שבהן, ניתן לראות את היחס המתמטי המופלא של "חיתוך הזהב" (או "יחס הזהב"). יחס מופלא זה, שמתקבל מחלוקת האורך של מלבן הזהב ברוחב שלו, זכה לשם "הפרופורציה האלוהית". קראו עליו באאוריקה בתגית "יחס הזהב".
ברוב המקרים נמצאות הגלקסיות הספירליות בשולי צבירי גלקסיות ולא במרכזן.
הנה הגלקסיות הלולייניות:
https://youtu.be/5sGKuoBnTn0
תצוגה גרפית של גלקסיית שביל החלב הספירלית:
https://youtu.be/C4V-ooITrws?t=30s
התבוננות בפרטים בצילום של M81 - גלקסיה חלזונית מרוחקת הנמצאת מעל 11 מיליון שנות אור מכדור הארץ:
https://youtu.be/0seVq5ydqzk
הדגמת מחשב של היווצרות גלקסיה לוליינית (במהירות מואצת כמובן, כי במציאות התהליך נמשך מיליוני שנים):
https://youtu.be/LTlSLVbYFso
עוד אחת:
https://youtu.be/hVNuwAtnKeg
והצגה של המבנה הפרקטלי של הגלקסיה החלזונית וכמה שהוא דומה למבנים טבעיים רבים:
https://youtu.be/vGq3x31ex1Y
מוזיאון גוגנהיים בעיר ניו-יורק תוכנן על ידי האדריכל הידוע פרנק לויד רייט. רייט נדרש ל-700 שרטוטים ול-15 שנה עד שהצליח להגיע למה שרצה - מבנה שיהיה שונה מכל "הקופסאות" שמסביב.
ואכן, המבנה של מוזיאון גוגנהיים בניו-יורק הוא בעל צורה ייחודית שרבים מחשיבים כיצירת אמנות לא פחות חשובה מהיצירות המופשטות שמוצגות בו. הצורה המעוגלת, הלא סימטרית, הבלתי סדירה ושחלקה הרחב הוא דווקא למעלה היא בלתי נשכחת. הוא גם היה המוזיאון הראשון שבו הגלריה היא אחת - אין קומות ואין חדרים, אלא רק חלל אחד המתעקל בשיפוע מתון במורד המבנה, למלמעלה ועד לקומת הכניסה.
מה שאפשר את הקסם הזה, הוא התכנון של המבנה לפי סדרת פיבונאצ'י ועל פי יחס הזהב. ממש כמו קונכיית הנאוטילוס, הקונכייה הכי קדומה שעדיין קיימת בעולם ולא השתנתה מאז ימי הדינוזאורים.
את הרעיון קיבל האדריכל לאחר שהברונית העשירה מזמינת העבודה דרשה שהמבנה יהיה מעוגל. מכאן הדרך הייתה קצרה לחיקוי של קונכיית הנאוטילוס, שכולו מחושב על בסיס עיקרון פיבונאצ'י (ראו בתגית "סדרת פיבונאצ'י"). זהו עיקרון שמבוסס על חתך הזהב (ראו בתגית "יחס הזהב"), הצורה היעילה ביותר בטבע לשכפול מוקטן.
הנה סרטון של מוזיאון גוגנהיים:
https://youtu.be/QvgVKWvb2tI
שיטוט בחלל הפנימי של המוזיאון:
https://youtu.be/ypDTotRZPgY
הזמנה להגיע אליו:
https://youtu.be/OmAaZmACy20
והמבנה המיוחד של גוגנהיים והמודלים ששימשו בזמן התכנון:
https://youtu.be/O_YzxQecZMs
סופת טורנדו היא סופה בצורת מערבולת, שעוברת ממקום למקום ויכולה להיות מאד הרסנית. על אף שרוחב סופת הטורנדו הוא רק כמה מאות מטרים, היא הורסת מבנים ושואבת אליה חפצים גדולים כמו גגות ומכוניות, שלעיתים מוצאים אותם לאחר הסופה במרחק רב ממקומם. מהירות הרוח של סופת טורנדו מגיעה ל-100 קילומטרים בשעה! כוח היניקה שלה למעלה, גורם לנזקים גדולים בנפש וברכוש.
הטורנדו נוצר מרוח חזקה שפוגעת בעננים ומחוללת עם האוויר החם העולה מהקרקע את צורת המשפך. סופת הטורנדו נושאת אבק ואדי מים ונראית כמשפך צר שיורד מחלקו התחתון של ענן אל עבר הקרקע.
סופת טורנדו נוצרת לרוב במהירות רבה ולכן קשה מאד להתריע עליה ולפנות את האזורים שאליהם היא עומדת להגיע מאנשים.
מרבית סופות הטורנדו בעולם מתרחשות באזור ארצות הברית.
סופות טורנדו הן אחד המקרים שבו ניתן לראות את היחס המתמטי המופלא של "חיתוך הזהב" (או "יחס הזהב"). את היחס המופלא הזה, שזכה גם לשם "הפרופורציה האלוהית", ניתן למצוא בטבע אצל חלזונות וקונכיות, מערבולות, סופות טורנדו וגלקסיות ספירליות, אך גם באמנות, מוסיקה ובאדריכליות. קראו עליו באאוריקה בתגית "חתך הזהב".
הנה הסבר יפה ומתורגם על סופות הטורנדו והיווצרותן (מתורגם):
http://youtu.be/lmWh9jV_1ac
כך נולדת סופת טורנדו בגודל בלתי נתפס:
https://youtu.be/2pnz3dwq9aE
דוגמה להיווצרות של טורנדו:
http://youtu.be/7KDz6dGQ5RE
הסבר לילדים על הדרך שבה נוצרת סופת הטורנדו:
http://youtu.be/FbXvj1mgPdA
כך נוצרות סופות טורנדו וכמה מהסופות בהיסטוריה:
http://youtu.be/S-UPAcKNvII
סופת טורנדו בזמן אמת:
https://youtu.be/xPTXqzMVFUA
מעט מההרס שיכול להיגרם מסופת טורנדו:
http://youtu.be/43VoMesUd2Q
והסבר על הטורנדו ודרך היווצרותו (עברית):
https://youtu.be/XMlPZ-CmTh0?long=yes
