» «
פיתגורס
במה תרם פיתגורס לתרבות האנושית?



פיתגורס, שמוכר לעולם כיום בעיקר בזכות "משפט פיתגורס" שתרם לעולם המתמטיקה, היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני חשוב. הוא נולד באי סאמוס ופעל כל חייו באזורים שמחוץ לאתונה.

במתמטיקה שמור לו מקום מיוחד. מעבר למשפט פיתגורס, הוא גם היה זה שחיבר את לוח הכפל שאנו משננים מתחילת לימודינו בבית הספר ומשמש את האדם לאורך כל חייו.

תגליותיו של פיתגורס חשובות מאד לאנושות. בין השאר הוא קבע שכדור הארץ הוא עגול ושהוא אינו נייח אלא נע כל הזמן, הוא עסק ביחסי הגודל של הכוכבים.

גם בעולם המוסיקה תרם פיתגורס תגלית חשובה. באמצעות אורכי מיתרים המפיקים צלילים שונים, הוא הראשון שחישב את היחסים המתמטיים שבין צלילים מוסיקליים שונים והגדיר את הסולם המוסיקלי והחלוקה שלו למרווחים מוסיקליים שיש ביניהם יחסים מתמטיים.

אבל דבר לא פחות מעניין הוא שפיתגורס היה הראשון בהיסטוריה שכינה את עצמו "פילוסוף". האמת, הוא נהג לומר, שייכת לאלים...


הנה סיפורו של פיתגורס, גם מדען וגם אמן (עברית):

https://youtu.be/HIONTxNq9Gc


משפט פיתגורס ואיך להוכיח אותו (מתורגם):

https://youtu.be/YompsDlEdtc


הסבר יפה על משפט פיתגורס והמשמעות של הוכחה מתמטית לעומת מה שרואים (עברית):

http://youtu.be/2B7oxgYqfd8?t=1m12s


סרטון על פיתגורס:

http://youtu.be/FdMXjJunb1o


ותגליותיו המוסיקליות-אקוסטיות (מתורגם):

https://youtu.be/FPREFrLYNB0
משפט פיתגורס
מהו משפט פיתגורס?



משפט פיתגורס הוא משפט מפורסם בגאומטריה ובמתמטיקה. המשפט מתייחס ליחס בין שלוש צלעותיו של משולש ישר-זווית. על פי משפט משפט פיתגורס "אם נבנה ריבועים על הצלעות של משולש ישר זווית, סכום שטחי הריבועים הקטנים הללו יהיה שווה תמיד לשטח הריבוע הגדול - אותו ריבוע שבנוי על היתר".
כלומר, במשולש ישר זווית נסמן את אורכי הניצבים ב-a ו-b ואת אורך היתר ב-c, על פי משפט פיתגורס מתקיים a² + b² = c².

המשפט עצמו נולד הרבה לפני זמנו של פיתגורס, בתרבויות העתיקות של סין, בבל ומצרים העתיקה. אך בכל השנים שבהם ידעו את העובדה הזו לא הצליחו להוכיח אותה מתמטית. ביוון העתיקה ניסו רבים להוכיח את הטענה. המתמטיקאי והפילוסוף פיתגורס הוא שהצליח במאה ה-6 לפני הספירה להוכיחה ומאז קרוי המשפט על שמו. אגב, יש טענות שההוכחה קדמה לו ושהיא אפילו לא התגלתה ביוון. יש טענה שכבר בתקופה הניאוליתית, במאה ה-25 לפני הספירה, הוכיחו את המשפט באיים הבריטיים. מבנים פרהיסטוריים שבנויים בזוויות ישרות ובצלעות ביחסים כאלה נמצאו כבר שם.

מאז פיתגורס הצליחו להוכיח מאות הוכחות מתמטיות שונות לבעיה.


הנה הסבר יפה על משפט פיתגורס (עברית):

http://youtu.be/2B7oxgYqfd8?t=1m12s


בכמה דרכים אפשר להוכיח את המשפט המפורסם בגאומטריה? (מתורגם)

https://youtu.be/YompsDlEdtc


והוכחה משעשעת למשפט פיתגורס (עברית):

http://youtu.be/kzsQxIU9ZkY
סולם פיתגורס
מה בסולם פיתגורס קושר מתמטיקה למוסיקה?



סולם פיתגורס (Pythagorean scale) הוא סולם מוסיקלי, שורה של צלילים ערבים לאוזן, שאם מודדים את התדירויות שלהם, מסתבר שיש ביניהם יחס מתמטי פשוט, כזה שיש בין מספרים שלמים, כמו בין 1 ל-2, 2 ל-3 וכך הלאה.

הראשון שעמד על הקשר הזה ומשום כך הסולם גם נושא את שמו, היה המדען היווני פיתגורס. המדען החכם הזה, מי שגרס אז ש"הכל מִסְפרים", היה מי שזיהה, כבר במאה ה-6 לפני הספירה, את הקשר המתמטי שבין גבהי הצלילים המוסיקליים לתדירות שלהם. באופן מסוים הוא היה הראשון שעסק באופן מדעי באקוסטיקה, הפיזיקה של הצליל.

אבל מה הקשר שמתקיים בין מתמטיקה למוסיקה? - פיתגורס הראה שלמתמטיקה תפקיד משמעותי באופן שבו המוזיקה נשמעת: כאשר יחסי התדירויות שני צלילים הם כיחס פשוט שבין שני מספרים שלמים, אז מתקבלים צירופי צלילים הרמוניים, כלומר נעימים לאוזן.


#איך פיתגורס גילה את זה?
הרי לפיתגורס לא היו מכשירים למדידת תדירויות, אז איך הוא חישב את היחס המספרי בין צלילים?

מה ששימש אותו הייתה תיבת עץ, שעליה הוא מתח כמה מיתרים באורך זהה. כשחילק למשל מיתר אחד לחצי ופרט עליו, פיתגורס הבחין שהצליל שמתקבל מנגינה בו הוא בגובה של אוקטבה מעל זה של המיתר הסמוך והלא חצוי. זה היה יחס של 1:2 וזה היחס המדויק של מרווח האוקטבה.

מיתר חצוי בדיוק באמצע, הוא רשם לעצמו, יפיק את אותו הטון, אבל באוקטבה גבוהה יותר. מיתר באורך כפול יפיק את אותו הטון באוקטבה למטה.

פריטה על שני המיתרים, החצוי והלא חצוי ביחד, משמיעה אם כן את האוקטבה, מרווח בעל צליל צלול וזך. ואכן, המרווח הזה הוא אחד מהמרווחים שנקראים עד היום "מרווחים זכים".

כמובן שפיתגורס לא יצר כאן. הוא חישב את היחסים המתמטיים בחציית המיתר לשליש, לרבע וכן הלאה. בין הצלילים במרווחים שונים וגילה שהמרווחים הזכים הם הפשוטים ביותר: יחס של 1:2 לאוקטבה, 3:4 בקוורטה, 3:2 למרווח הקווינטה וכך הלאה. בחלוקות אחרות גילה מרווחים נוספים. "הכל מספרים!" - הוא אמר לעצמו ודאי בסיפוק.

ניתן לבדוק ולמצוא את הקשרים המתמטיים שבין צלילי סולמות המז'ור והמינור הנפוצים במוסיקה המערבית של ימינו ולראות שגם בה המרווחים הערבים לאוזנינו הם אלו שביניהם יחס התדירויות הוא כזה.


הנה הגאונות של פיתגורס והסולם הפיתגוראי:

https://youtu.be/ZWzwb4BumIk


סיפורו של סולם פיתגורס (מתורגם):

https://youtu.be/FPREFrLYNB0


הפיזיקה של הצליל ותדירות גלי הקול המשתנה בגבהי צלילים שונים:

https://youtu.be/gbP6h0dtcQw


הסבר:

https://youtu.be/buZOs-czOUg


סרטון מעמיק על הקשר שמצא בין המוסיקה למתמטיקה:

https://youtu.be/4-idkubp_Lw?long=yes


ואיך גילה את התגלית האקוסטית המרשימה שלו:

https://youtu.be/EdYzqLgMmgk?long=yes
העולם עגול
איך הוכיח אריסטו שכדור הארץ הוא עגול?



אריסטו (Aristotle), ללא ספק גאון שהקדים את עידן התגליות באלפי שנים, היה הראשון שהצליח לתת הוכחה מעין מדעית להיותו של כדור הארץ עגול.

עוד לפניו, היו כאלה כמו פיתגורס, שסברו שכדור הארץ הוא עגול. אבל על כתפי הנפיל פיתגורס נדרשה הוכחה שתהיה יותר ברורה, אפילו מוחצת, לעומת תיאוריות שאז נתפסו כסוג של מוסכמות - תיאוריות שגרסו שהעולם שטוח כמו צלחת או כזה שמונח על גב פילים שהם עצמם עומדים על צב ענקי וכל העניינים האלו.

אחד הנימוקים הטובים שאריסטו נתן לצורתו העגולה של כדור הארץ היה קשור בצורת ליקוי הלבנה שראו אז כולם מעת לעת.

הוא ידע שהארץ נמצאת במרכז קו דמיוני שעובר בין השמש לירח ואחת לזמן היא מטילה צל על הירח. זה נקרא ליקוי לבנה. אם הארץ הייתה שטוחה, הראה אריסטו, הצל היה לפעמים עגול ולעתים בצורת אליפסה, לפי ההיטל והזווית שביניהם. מכיוון שזה לא כך ושרק עצם בצורת כדור יטיל תמיד צל עגול על הירח, כתב אריסטו, הרי שהארץ היא כדור.

אבל אריסטו נתן עוד הוכחה יפה.

הוא הטעים שמכל מקומות על פני כדור הארץ רואים תמונת כוכבים אחרת. ימאים גם סיפרו שבמסעותיהם דרומה, על פני הים לכיוון אפריקה, נראה שהשמש משנה את האזימות, כלומר הכיוון, שממנו היא זורחת.

והרי אם הארץ הייתה שטוחה, אמר אריסטו, היינו רואים את אותה תמונת כוכבים בדיוק, כי הרי השמיים היו מעל משטח אחד בלבד. אין גם משמעות למרחק שבין נקודות התצפית על פני כדור הארץ, כי המרחק בין נקודות התצפית הוא כלום לעומת המרחק אל הכוכבים. זו הוכחה נוספת ודי מוחצת אפילו לבדה לכך שהארץ כדורית ולא שטוחה.


ניסוי בבית
=========
אחת מהוכחות ה"עגוליסטים" היא שאם הארץ הייתה שטוחה היה משתנה הצל שהיא מטילה על הירח, משתנה - לפעמים עגול ולעתים אליפסה.

אם תגזרו עיגול מנייר ותציבו אותו בין הקיר למנורה, תוכלו לראות שצורת הצל שעל הקיר משתנה, בין עיגול לאליפסה, לפי המיקום והזווית בה אתם אוחזים את הדיסקה. כדור, לעומת זאת, יהיה הגוף היחידי שיטיל תמיד צל עגול על הקיר. נסו זאת.


ההוכחה של אריסטו היא רק אחת האפשריות לצורתו העגולה של כדור הארץ (עברית):

https://youtu.be/oduN7zAVYgY


ההוכחה של אריסטו לצורתו העגולה של כדור הארץ:

https://youtu.be/vzImgJCgUkg


אריסטו וקודמיו חשבו יפה:

https://youtu.be/g36D7BMCkpc


ואזהרת קונספירציה - יכול להיות שכדור הארץ בכל זאת שטוח?

https://youtu.be/T4WjyTV98lg

פיתגורס

ארתוסטנס
איך ארטוסתנס גילה את קוטר כדור הארץ ואת המספרים הראשוניים?



המתמטיקאי, הגאוגרף והאסטרונום היווני ארטוסתנס (Eratosthenes), שחי במאה השלישית לפני הספירה, חי את רוב חייו באלכסנדריה שבמצרים. שם הוא היה הספרן הראשי ומי שניהל את הספרייה הגדולה של אלכסנדריה.

בין השגיו המדעיים נחשבת השיטה למציאת כל המספרים הראשוניים. לשם כך הוא פיתח את "הנפה של ארטוסתנס" - אלגוריתם פשוט ויעיל למציאת כל המספרים הראשוניים עד למספר שלם מסוים.

אבל ארטוסתנס נודע במיוחד בהישגו החשוב ביותר - מדידת ההיקף של כדור הארץ. בעזרת מקל פשוט ואינטליגנציה מופלאה, הוא הצליח לדייק בסטיה של 15% בלבד מההיקף האמיתי של כדור הארץ.

זוהי רמת דיוק מצוינת לתקופתו. בחישובים שלו התעלה ארטוסתנס במשך מאות שנים על חוקרים שכשלו בכך. שיטתו נחשבת למדויקת אף מזו של תלמי, האסטרונום החשוב ביותר בעת העתיקה, ש-500 שנה אחריו, חישב את היקף כדור-הארץ באופן שגוי.


כך גילה ארתוסטנס את קוטר כדור הארץ (מתורגם):

http://youtu.be/F8UFGu2M2gM?t=1m25s


שלב אחרי שלב, הנה הדרך בה חוקר הגאון את היקף כדור הארץ:

https://youtu.be/EfZ2HZH5CkA


קרל סאגאן האגדי מספר עליו באלכסנדריה:

https://youtu.be/G8cbIWMv0rI


ומדע הגיאודזיה שנולד מתגליתו של ארטוסתנס (מתורגם):

http://youtu.be/wKzhaTFmS5w


אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

העולם הוא צבעוני ומופלא, אאוריקה כאן בשביל שתגלו אותו...

אלפי נושאים, תמונות וסרטונים, מפתיעים, מסקרנים וממוקדים.

ניתן לנווט בין הפריטים במגע, בעכבר, בגלגלת, או במקשי המקלדת

בואו לגלות, לחקור, ולקבל השראה!

אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.