» «
סימטריה
מהי סימטריה?



הסימטריה (Symmetric) הפשוטה שאנו מכירים היא שיקוף של צד אחד בצד השני, משני צידי קו דמיוני העובר ביניהם.

הסימטריה מופיעה בטבע כצורה של סדר, בתוך מגוון של צורות לא מסודרות, האדם שהוקף במגוון אדיר של צורות מסביבו, זיהה כבר מימי קדם את הסדר והיופי שבסימטריה והשתמש בהם באמנות ובבניה. הסימטריה היא אחד הדברים שמקשרים בין אמנות למדע.

ניתן לראות סימטריה בטבע ובעצמים שונים בחיי היום יום. כנפי הפרפר ועלי הפרח הם דוגמאות טבעיות לסימטריה. אפילו בנופים המשתקפים במים ניתן לראות סימטריה מרהיבה.

בגאומטריה יש שני סוגים של סימטריה - סימטריה שיקופית וסיבובית. "סימטריה שיקופית" היא סימטריה שבה יש מעין השתקפות של צד אחד בצד השני. קו השיקוף נקרא קו סימטריה. זהו קו דמיוני שחותך את העצם לשניים. שני הצדדים שבצידי קו זה דומים. יש גם צורות שיש להן "סימטריה סיבובית". היא קיימת כשקיים סיבוב כלשהו (אך לא סיבוב שלם) שבו הצורה מועתקת בדייקנות.


פעילות קטנה: נסו לחשוב על 5 חפצים שבביתכם, שהם סימטריים.


הסבר על הסימטריה וסימטריות מסוגים שונים בטבע:

http://youtu.be/3drtbPZF9yc


סרטון שמסביר על הסימטריה וקו הסימטריה:

http://youtu.be/6qNB2LsgC8Y


סרטון אמנותי שמציג סימטריה בנושאים וההתייחסות של מרכיבים שאנו רואים בו:

http://youtu.be/zEQskIsHKT8


הנה קטעים מסרטיו של במאי הקולנוע ווס אנדרסון שסגנונו הסימטרי הפך לסימן ההיכר שלו:

https://youtu.be/tFI7_bH7E-M


הבה נבדוק את הסימטריה בתמונות שונות:

http://youtu.be/_TdOD2f_KEk


והרצאה ארוכה אך מעניינת באנגלית על הסימטריה במדע הגאומטריה ועל המתמטיקאי אווריסט גלואה שעסק בה:

http://youtu.be/415VX3QX4cU?long=yes
קליידוסקופ
מהו קליידוסקופ?



את הקליידוסקופ (Kaleidoscope) המציא סר דייוויד ברוסטר ב-1816. הקליידוסקופ היה אז מכשיר אופטי, שבעזרתו המחישו צורות סימטריות שונות. כיום משתמשים בו בעיקר לשעשוע. הוא מבוסס על צורות סימטריות בשלל צבעים, כשכל סיבוב של הגליל מציג תבנית חדשה מתוך מגוון של צבעים ותבניות, שמשתנה כשמסובבים את הקליידוסקופ.

הקליידוסקופ בנוי כצורת גליל שיש בו מראות. במראות הללו משתקפים עצמים שונים, כמו שברי זכוכית צבעוניים שלרוב מוכנסים לתוכו. כשמביטים פנימה דרך חור בקצה הגליל, והאור נכנס מהקצה השני, ההשתקפויות המשתנות של שברי הזכוכית הללו יוצרות תמונות סימטריות ומהממות ביופיין. התמונות שנוצרו יוצרות לא פעם תבניות חוזרות ומרתקות, שההשתקפויות מכפילות להמון צדדים ויוצרות להן עומק וממדים מרהיבים.

המילה הקליידוסקופ לקוחה מהשפה היוונית ופירושה "צופה בתמונה יפה".


זה מה שרואים בקליידוסקופ:

http://youtu.be/peZ-MjD9pgk


הנה צורות קליידוסקופיות:

http://youtu.be/9GMtj_-3BOc


קליידוסקופ מראות הופך הכל לקסום:

http://youtu.be/zCFdLrXI3yM


צורות מתחלפות:

http://youtu.be/_OJ7fsZREgo


כך יוצרים קליידוסקופ בעצמכם:

https://youtu.be/Z2TDK_OQWU0


או אחד הבנוי אחרת לגמרי:

https://youtu.be/6_8omObsfgM
משושה
איפה בטבע אפשר לראות משושים?



המשושה הוא צורה משוכללת מהמעטות שבהן ניתן לרצף מישור בצורה מחזורית, מבלי להשאיר חורים. אמנם גם הריבוע והמשולש מאפשרים זאת, אבל משלושתם המשושה הוא הצורה הקרובה ביותר לעיגול.

יש מקרים רבים בטבע שבהם ניתן לראות משושים. כך למשל חומרים שונים בטבע שנוטים להפוך למוצקים בצורה של משושים. רואים זאת לא מעט בצורות של לבה שהפכה לאבן בזלת מוצקה ונסדקה בצורת משושים. אתרים כמו בריכת המשושים שברמת הגולן, מערת פינגל בסקוטלנד או סוללת הענק באירלנד מדגימים זאת היטב (ראו אותם באאוריקה בתגית "משושי בזלת"). ניתן לראות התייבשות בצורת משושים גם באגמי מלח ובימות מלח שבהם נותר המשקע של מלח הבישול בצורת משושים.

גם התאים שבכוורת הדבורים בנויים כמשושים. הם עשויים משעווה שאותה מייצרת כל דבורה בעצמה. נדרש דבש רב כדי לבנות את התאים הללו בצורה חזקה וטובה, כך שהדבש לא יגלוש החוצה והדבורים יוכלו להיכנס לתוכם. המשושה היא הצורה הכי חסכונית מבחינת כמות השעווה הנדרשת לבניה, שעדיין מייצרת את מקום האיחסון הרב ביותר בכל תא ותא. לכן צורת המשושים היא היעילה ביותר מבחינה אדריכלית ומבחינה מתמטית.


הנה סרטון שמציג את היעילות שבבנייה במשושים:

http://youtu.be/QEzlsjAqADA?t=6s


הנה סרטון על פתיתי שלג, שבהם המשושים הם הנפוצים ביותר:

http://youtu.be/rbW6MsXfPYU


הנה משושה מושלם שהתגלה על הקוטב הצפוני של כוכב הלכת סאטורן:

http://youtu.be/qzL194jiTyY
פראידוליה
מהן הדמויות המסתוריות שאנו רואים בדברים?



הפראידוליה (Pareidolia) היא תופעה פסיכולוגית שגורמת לאנשים לראות דברים מוכרים ובעלי משמעות בתמונות ובעצמים שונים.

התופעה מתרחשת בדרך כלל כשאנו מזהים או דמויות בכל מיני תצלומים. אחת הדוגמאות המפורסמות של פראידוליה היא צורת הפנים שהתגלתה בצילומים ישנים של הכוכב מאדים. המקרה המפורסם, שנבע מהיות הצילומים ברמה נמוכה, גרם להמוני אנשים בעולם להאמין שמדובר במקדשים שהוקמו על המאדים, על ידי חוצנים מכוכבים אחרים.

ידועים מקרים נוספים שבהם זוהו בעתיקות שנמצאו דברים שדומים לחידושים מודרניים כמו מטוסים וחלליות. בעקבות הדמיון התפתחו תיאוריות כאילו "מדעיות", שטענו שמדובר בעבודה של תרבויות נבונות מכוכבים אחרים, במפלצות, חוצנים וכדומה. דוגמאות? - ראו באאוריקה בתגית "ציפור סקרה" ובאאוריקה בבתגית "הפנים במאדים". לא מעט חוקרים סבורים שגם האגדה של "נסי", המפלצת מלוך נס, הוא מקרה של פראידוליה. הם אף הוכיחו זאת בבימוי של המפלצת בחפץ מרובע שהגיח מהמים. רבים מהצופים שחזו בו, ראו ראש של מפלצת מגיח מהמים...

היות ומדובר בהטיה קוגניטיבית של המוח, נוהג עולם הפסיכולוגיה להשתמש במבחן כתמי הדיו של רורשאך, כדי לנתח מה רואה המטופל בכתמים שצוירו על ידי מפתח המבחן. על ידי ניתוח הזיהוי האישי שלו בכתמים הללו, משתמשים הפסיכולוגים בתופעה זו לצורך ניתוח האישיות.

מקור המושג פראידוליה הוא ביוונית, שבה פירושו "מראה שגוי".


הנה תופעת הפראידוליה בעברית:

https://youtu.be/puTymKOhTME?t=10s&end=1m47s


והסבר התופעה באנגלית:

https://youtu.be/E1dMloUfN1o


דוגמאות לפראידוליה מהחלל:

https://youtu.be/7yXGNC9MUl8

צורות

פאי
מהו פאי?



הפאי הוא מספר אי רציונאלי, מציין את היחס בין היקף מעגל לקוטרו. זהו מספר מסתורי, שמתמטיקאים וחובבי מתמטיקה מוקסמים ממנו כבר דורות רבים. ערכו של פאי שווה בקירוב ל 3.14.

הפאי מסומן באות היוונית π. הבבלים, ממציאי הגלגל, גילו אותו כבר לפני ששת אלפים שנה. התגלית של התופעה המרתקת של פאי, הייתה שבכל גודל מעגל שהוא, תוצאת החילוק של היקף המעגל ברדיוס שלו תהיה תמיד אותו המספר. 4000 שנה אחריהם, הצליחו מדעני מצרים העתיקה להגיע לערך מקורב של פאי. ארכימדס היווני הציג לראשונה, כבר במאה ה-3 לפני הספירה, שיטה שמאפשרת לאמוד את π.

הראשון שהצליח לחשב את פיי בדיוק גבוה היה אויילר. פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי סייע לו מאד והוא חישב את פאי עד 153 ספרות אחרי הנקודה. כמו הרבה דברים שאויילר תרם למתמטיקה, הוא גם זה שהעניק לפיי את שמו.

כיום, בעידן המחשב, המתמטיקאים עובדים על אלגוריתמים ונוסחאות אלגנטיות לחישוב פאי. השיא שנקבע עד 2011 הוא של 10 טריליון ספרות אחרי הנקודה!


הנה סרטון על משמעותו של הפיי:

http://youtu.be/9a5vHXsUvUw?t=13s


והנה שיר לימודי באנגלית, להיכרות עם חישוב פאי:

http://youtu.be/eiHWHT_8WrE
מנדלה
מהן מנדלות? מהי מנדלה?



מַנְדָּלָה היא ציור מעגל שנובע ממרכזו. המנדלה מורכבת מעיגול שבו מוצג ציור, או סימן גרפי דומה. אמונות שונות ותרבויות שונות קידשו את המנדלה וראו בה סמל מרכזי. בדתות של הודו ראו בה סמל ליקום ולצורה שלו.

יש למנדלה שימוש חשוב בטיפולים באמנות, בעבודה טיפולית והיא משמשת ככלי להתפתחות רוחנית בהינדואיזם ובבודהיזם.

מקור המילה מנדלה הוא משפת הסנסקריט ההודית, שבה פירושה הוא "מרכז", או "מעגל", רמז למעגל המקודש של ההודים.


הנה הסבר על המנדלה:

http://youtu.be/dezE3_aCGHQ?t=42s


הנה הכהן הגדול של המנדלות בישראל, מסביר על המנדלה:

http://youtu.be/eZWKJf4JxDE


הנה מדריך ראשוני לציור מנדלות:

http://youtu.be/cCyBqOBCSeE
ספיירוגרף
מהו משחק הספיירוגרף?



ספיירוגרף (Spirograph) היה משחק פופולארי פעם, שבו יצרנו צורות גיאומטריות מרהיבות, בעזרת דיסקיות מפלסטיק ועטים צבעוניים. התוצאה על הנייר הייתה שרטוטים גיאומטריים מדהימים, שנוצרו ללא מחשב אלא עם מאמץ ומעט יצירתיות ומחשבה.

כיום אפשר לצייר בספיירוגרף מקוון שנמצא כתוכנה באינטרנט.


כך מציירים בספיירוגרף:

https://youtu.be/l42Bc7CTLAs


וגם זה:

http://youtu.be/ZkNU3fvELFg


הנה הדרכה:

http://youtu.be/GczuhQwEZWg


ספיירוגרף מקוון שכולו תוכנה ברשת:

https://youtu.be/qykqF5xlu5E


וצורות שנוצרות מדיסקיות שונות:

http://youtu.be/LC5Pl5BKGu4
פתיתי שלג
מהם פתיתי השלג ומהו השלג?



פתיתי שלג הם פתיתי קרח גדולים וגבישיים שנופלים מהעננים אל הקרקע. פתיתי השלג הם קלים בזכות האוויר שיש בהם. פתיתי שלג עשויים מגבישי שלג קטנטנים שנצמדים זה לזה.

הצורות המופלאות של פתיתי השלג עשויות במגוון אדיר וניתן לומר שאין שני פתיתי שלג זהים זה לזה. רבות מצורות פתיתי השלג הם פרקטליות, צורות שבהן ככל שמעמיקים ומתקרבים, רואים עוד ועוד מאותן צורות.

הדוגמאות הנפוצות ביותר בפתיתי השלד הן בצורת המשושה. זו שוב הצורה של המשושים, שכל כך נפוצה בטבע (ראו באאוריקה בתגית "משושים").

חלקים גדולים מכדור הארץ מכוסים בשלג. יש אזורים שבהם השלג מכסה את האדמה רק בעונת החורף ולקראת הקיץ השלגים מפשירים. באזורים אחרים, כמו הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי ופסגות ההרים הגבוהים, האדמה מושלגת בכל עונות השנה.


הנה השלג ופתיתי השלג, שלכל אחד מהם צורה משלו:

http://youtu.be/fd-hb2xzvZI?t=5s


הצורות המופלאות של פתיתי השלג שיורדים בחורף:

http://youtu.be/s1lBbmQmpk0


על תוכנה שפותחה כדי לדמות את פתיתי השלג הללו באופן מדעי:

http://youtu.be/UtHsFVmHdZY


הנה הפשרת השלגים בתחילת הקיץ:

http://youtu.be/MwdWMmFeXIo


קבוצת מנדלברוט
מהי קבוצת מנדלברוט?



חבורת מנדלברוט, קבוצת מנדלברוט או סט מנדלברוט, הם שמות לצורות שחוזרות על עצמן ללא סוף. אלה צורות עם דמיון עצמי, כלומר כל חלק שלהן דומה לשלם. במילים אחרות, בכל צורה כזו נוכל לראות את הצורה בחלקים השונים שבה וכך שוב ושוב כשנביט אל חלקי החלקים הללו, ככל שנביט פנימה. כשבוחנים פרקטל בזום, או בזכוכית מגדלת, מגלים את אותו הדפוס בקנה מידה קטן וכך זה הולך וקטן לקני מידה הולכים וקטנים, עד אינסוף.

את הצורות המופלאות הללו יצר המתמטיקאי הצרפתי בנואה מנדלברוט, על פי פרקטלים של ג'וליה, מתמטיקאי שקדם לו. המעניין הוא שאלה צורות המערבות סיבוכיות, הרמוניה ויופי, אבל למעשה משתמשות בנוסחה מתמטית פשוטה. משהו כמו Zn = Z + C^2 כשכל מספר ב-C ייתן צורה שונה לחלוטין.

והתגלית המעניינת היא שהצורות הללו נראות כמו הרבה דברים שאנו מכירים מהטבע. בסטים הללו נוצר מגוון אדיר של צורות קסומות, המזכירות איים קסומים ודימיוניים, קישוטים בארוקיים מדומים, עצים מרהיבים, חופים כפי שהן נראים ממעוף הציפור וכדומה. זו הסיבה שכיום עושים בסט מנדלברוט שימוש ביצירת נופים ועולמות מדומים במשחקי מחשב, בעולמות מדומים, בסרטים ובסימולציות שונות.


הנה הפרקטלים שבטבע וכיצד יוצרים אותם בעצמנו:

http://youtu.be/XwWyTts06tU


החדירה פנימה עוד ועוד לפרקטל הכי מוכר מקבוצת מנדלברוט:

http://youtu.be/gEw8xpb1aRA


הסבר על הפרקטלים של מנדלברוט:

http://youtu.be/STSS3_cVauk


ושיר על הסט של מנדלברוט:

http://youtu.be/ES-yKOYaXq0
מהי סדרת פיבונאצ'י?



סדרת פיבונאצ'י במתמטיקה היא סדרת מספרים שהאיברים הראשונים בה הם 1 ו-1. כל איבר אחר בסדרת פיבונאצ'י שווה לסכום של שני האיברים הקודמים לו. 2 שווה ל-1 ועוד 1, 3 שווה 2+1, 5 הוא 2+3 וכן הלאה.

הסדרה קרויה על שם המתמטיקאי לאונרדו דה פיזה (לאונרדו מהעיר פיזה) שבאיטליה, שכונה "פיבונאצ'י". פיבונאצ'י תיאר את הסדרה הזו ב"ספר החשבוניה" שיצא בשנת 1202. הוא השתמש בסדרת פיבונאצ'י כדי לתאר את מספר הצאצאים של זוג ארנבים אחד. הוא תאר מצב שכל זוג ארנבים מגיל חודשיים ומעלה, ממליט מדי חודש זוג נוסף, התוצאות של מספר הצאצאים שלהם יהיו על פי הסדרה הזו.

מסתבר שהיחס בין שני איברים עוקבים של מספרי פיבונאצ'י שואף ל"יחס הזהב", קבוע מתמטי שתואר כבר ביוון העתיקה. תמיד כשמחלקים שני איברים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י, התוצאה תלך ותתקרב לחתך הזהב. בדרך זו מוסברים דברים רבים בטבע בעזרת סדרת פיבונאצ'י והרקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "מה זה, רקורסיה"), מקונכיות עם "ספירלת הזהב", דרך פרחים, כרובית, גלקסיות חלזוניות ועוד. וזה לא במקרה שסדרת פיבונאצ'י היא כה נפוצה בטבע - כמו שהראינו קודם בדוגמת הארנבים, מדובר בצורה היעילה ביותר לשכפול וכשצמחים ובעלי חיים פשוטים משכפלים תאים בגדילה - מקבלים בדיוק את הסדרה של פיבונאצ'י.

מקובל לסמן את איברי הסדרה באות F, שמוגדרת ברקורסיה - כלומר פעולה המבוצעת על ידי הפניה עצמית. במקרה הזה, כל F הוא סכום שני ה-Fים שלפניו.


הנה הסבר על סדרת פיבונאצ'י:

https://youtu.be/EAXKR-H_bS0


והנה הסבר מדעי של הסדרה הפיבונאצ'ית:

http://youtu.be/z5RWfXTd3QU


הדגמה של סדרת פיבונאצ'י:

http://youtu.be/H2aHh5FLX5w


הנה הסבר מתמטי של סדרת הפיבונאצ'י והדגמה של צורות בטבע שמציגות את הסדרה:

http://youtu.be/GoNldJAscqs
מהו הפנטגון ובאיזה שיא עולמי הוא מחזיק?



הפנטגון הוא בניין שנבנה בצורת מחומש ומכאן שמו. זהו בית המשרדים הגדול בארלינגטון שבסמוך לעיר הבירה וושינגטון והוא נחשב מבנה המשרדים הגדול בעולם. הפנטגון שנבנה בתחילת שנות ה-40 של המאה ה-20 משמש כמטה משרד ההגנה האמריקאי. כבניין המשרדים הגדול ביותר בעולם הוא איחד מעל 24 אלף עובדים ובמרכזו יש גן עצום מימדים, שאותו מקיף המבנה כולו.

הפנטגון הפך לסמל מוכר של כוחה של ארה"ב, המדינה החזקה בעולם. זו הסיבה שבמהלך מתקפת הטרור הקשה של ה-11 לספטמבר, מתקפת הטרור הגדולה וההרסנית אי-פעם, הותקף גם הפנטגון. במהלך המתקפה התרסק מטוס חטוף לתוך בניין הפנטגון והרס אגף שלם ממנו. רבים נהרגו בפיגוע הזה והפגיעה בבניין משרד ההגנה של אמריקה נתפסה כפגיעה ישירה בביטחון האמריקני ובסמל כוחה של אמריקה.


הנה סרטון שמראה את בניין הפנטגון:

http://youtu.be/6aT6FwtW9AQ


והנה בניין המשרדים הגדול בעולם - הפנטגון מלמעלה:

http://youtu.be/XptkGHmfIWg


הנה סרטון על אירועי ה-11 בפסטמבר בפנטגון:

http://youtu.be/SbJ2oA3KSxY
מהי הגאומטריה של מנדלברוט?



מנדלברוט מצא שיש צורות רבות שכל חלק שלהן הוא כמו השלם. מדידה של שטח הפנים של צורות כאלה תלוייה ביכולת שלנו לבחון אותו, מכיוון שככל שנתקרב אל העצם, נגלה חספוס הולך וגובר, שיגדיל את שטח הפנים. הוא מצא שכלל מתמטי פשוט, או נוסחה פשוטה, יכולים להגדיר מצוין את העצם שנראה שאין בו חוקיות או היגיון כלשהם.

אגב, מנדלברוט עצמו מעדיף את המונח "חספוס" ולא אי-יציבות או אי-סדר, מכיוון שהוא רואה סדר בכל דבר ואין בעיניו שום דבר שאין בו סדר מסוים.

למשל בכרובית הוא רואה גם תחכום וגם פשטות. אותם קונוסים שאנו רואים בברוקולי, חוזרים גם אם נביט בחלק מקונוס כזה ויחזרו שוב ושוב בכל קנה מידה שנביט בו. כך גם בעננים, קווי חוף, עצים ועוד המון צורות שהן לכאורה אקראיות ולא בנויות בסדר של ממש, אבל כשנביט בחלק מהם נראה את אותה תבנית שראינו בעצם המלא.

איך זה מסתדר? - ובכן בכולם יש מרכיב שניתן למצוא והוא "הדמיון העצמי" (Self similarity), שבו אותה צורה חוזרת שוב ושוב, ככל שנתקרב. ומסתבר שאותה צורה שבה ענפים יוצאים מענפים בעץ, היא גם הצורה של צינורות הדם בגופנו, נימי העלים של העץ, נהרות על פני כדור הארץ וכן הלאה. מסתבר שהטבע עושה שימוש בחוק זהה להמון מקרים שאינם קשורים זה בזה ושכביכול אין בהם שום סדר הגיוני.

ל"דמיון העצמי" מנדלברוט קרא "פרקטל". הוא גם הבין שניתן לעבוד הפוך ולהשתמש בסדרה של חוקים מתמטיים פשוטים, כדי לייצר צורות כאלה. בסוף שנות ה-50 הוא השתמש במחשב כדי לייצר צורות כאלה. הוא עשה מהפכה של ממש בגאומטריה, שכן הוא החל לקרב אותה לעולם הטבע. אם קודם לפרקטלים לא סייעה הגאומטריה לתאר את הצורות של גורמים בטבע, כמו הרים, עננים, עצים, ירקות וקווי חוף, הרי שהפרקטל, שמסייע למצוא סדר בדפוסים מורכבים ביותר, שינה את זה והראה את הסדר המתמטי שבו מתנהל הטבע והעולם הכאוטי. או במילים שלו כפי שכתב בהקדמת ספרו "עננים הם לא כדורים, הרים אינם בעלי צורה של חרוט, קו החוף לא עשוי ממעגלים, קליפת העץ איננה חלקה והברק אינו מתקדם בקו ישר".


הנה סרטון שמסביר זאת היטב:

http://youtu.be/Dm-zy5f4qIo


הנה הדמיון העצמי של פרקטל:

http://youtu.be/9G6uO7ZHtK8


הנה הסבריו של מנדלברוט עצמו:

http://youtu.be/pDajf3PXpNI


ודוגמאות שונות לסט מנדלברוט, שמערב סיבוכיות, הרמוניה ויופי בשימוש בנוסחאות פשוטות:

http://youtu.be/G_GBwuYuOOs
מהם פרקטלים?



הפרקטל הוא צורה שככל שנביט בה קרוב יותר, נראה את אותה הצורה חוזרת על עצמה בכל קנה מידה. זוהי צורה גאומטרית שמורכבת פנימה, שוב ושוב, מעותקים של עצמה, מוקטנים יותר ויותר. ככל שנתבונן לתוך חלקי הפרקטל, נראה שם תמיד חלקים הדומים לו, כך שכל פרט זעיר בצורה, דומה לצורה המקורית והגדולה ביותר.

בגרפיקה ממוחשבת עושים המון שימוש בפרקטלים. הסיבה היא שנוסחאות מתמטיות קלות יחסית מאפשרות ליצור הרים ומרקמים מורכבים ליצירה בצורה אחרת. גם בפיזיקה משתמשים בפרקטלים למחקרים על תורת הכאוס וכדומה.

בטבע אפשר לראות מבנים שונים שדומים לפרקטלים. מבנים בטבע כמו צורת הכרובית, מבנה העורקים של העלה, התפצלות כלי הדם בגוף, פתית שלג או צורת קו חוף (במיוחד של הפיורדים בנורווגיה) - כל אלה מזכירים מאד את הפרקטלים ומראים שבטבע יש שיטה גם בדברים שאינם מובנים בצורה מתמטית.


הנה סרטון הסבר למושג הפרקטל:

http://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q


הנה הסבר מילולי על הפרקטלים - מהתבניות היותר מעניינות שבטבע:

http://youtu.be/ofA2tBvcbhw?t=3m38s


הנה המתמטיקה של הפרקטלים בסרט מקסים (ומתורגם) לפי הז׳אנר של הסרט האפל:

https://youtu.be/0C75vRVL5lE


הפרקטלים שבטבע:

https://youtu.be/XwWyTts06tU


ועוד פרקטלים בטבע:

https://youtu.be/dZM45mfJQ40


ולהדגמת הרקורסיה הפשוטה, הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר:

http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s


אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

העולם הוא צבעוני ומופלא, אאוריקה כאן בשביל שתגלו אותו...

אלפי נושאים, תמונות וסרטונים, מפתיעים, מסקרנים וממוקדים.

ניתן לנווט בין הפריטים במגע, בעכבר, בגלגלת, או במקשי המקלדת

בואו לגלות, לחקור, ולקבל השראה!

אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.