שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מהי גאומטריה, המתמטיקה של הצורות?
גאומטריה (Geometry) היא אחד מענפי המתמטיקה העתיקים ביותר, מושג מתמטי מרכזי שעוסק וחוקר את הצורות, מבנים, גדלים, מיקומים, מרחבים, גופים ותכונות של עצמים בחלל.
מקור השם "גיאומטריה" הוא מיוונית עתיקה: "גאו" (Geo) פירושו אדמה, "מטריה" (metria) פירושו מדידה. כלומר, בבסיס ןבמקור שלה, הגאומטריה היא אמנות מדידת הארץ.
מה שהפך את הגאומטריה לכלי כה עוצמתי הוא שהיא מגשרת בין האבסטרקטי (המופשט) לקונקרטי (המוחשי). אפשר להוכיח בה משפטים בצורה קפדנית ומוחלטת, אבל בסוף תמיד אפשר לצייר אותם ולראות אותם בעיניים. זו אולי הסיבה שאפלטון (Plato) כתב מעל שערי האקדמיה שלו: "בל ייכנס מי שאינו יודע גאומטריה."
#היסטוריה
ואכן, הראשונים שפיתחו גאומטריה שיטתית היו המצרים והבבלים, לפני כ-4,000 שנה. הם לא עשו זאת מתוך אהבת המדע הצרוף, אלא מתוך צורך מעשי לחלוטין: בכל שנה, כשהנילוס הציף את גדותיו, הוא מחק את גבולות השדות. מודדי הקרקע המצריים, שנקראו "מותחי החבלים", היו צריכים לשחזר את הגבולות מחדש בכל פעם. הגאומטריה הייתה בשבילם אמצעי פרנסה וכלי עבודה הנדסי.
היוונים הקדמונים קיבלו את הידע הזה, עסקו בו בהרחבה והשתמשו בו באופן שונה לחלוטין, תוך שהם מביאים את הגאומטריה לכדי מיצוי. אוקלידס (Euclid), למשל, חי באלכסנדריה סביב 300 לפני הספירה. הוא כתב חיבור בשם "היסודות" (Elements), בו ריכז את כל הידע הגאומטרי של תקופתו לתוך מערכת אקסיומטית מסודרת: מספר הנחות יסוד פשוטות, שמהן הוציא במדויק מאות משפטים ויחסים.
מאז, עוסקים בגאומטריה האוקלידית הקלאסית בקווים ישרים, משולשים, מעגלים ומצולעים על משטח שטוח. קשה אולי להאמין, אבל במשך יותר מ-2,000 שנה ועד ימינו לומדים עם הספר הזה בבתי ספר ברחבי העולם.
כך התפתח העיצוב הגיאומטרי, למשל. בשל האיסור באיסלאם לצייר בני אנוש ובעלי חיים ומנגד האהבה האנושית ליופי - שימשה הגאומטריה בתרבות האסלאמית, לצד קליגרפיה, עיטורים צמחיים, כתיבה אמנותית וערבסקות, לעיצוב וקישוט במסגדים.
כך התמלאו בעיצובים וקישוטים גאומטריים מרהיבים ומורכבים, גם מסגדים, לצד מדרסות (מדרשות לימוד), בתים פרטיים וארמונות פאר של מוסלמים עשירים, אף שמדהים לגלות שכל מה שנדרש ליצירתם היו מחוגה, סרגל וכישרון אנושי.
כיום, הגאומטריה נמצאת בכל מקום. מהנדסים משתמשים בה לתכנון גשרים ובניינים. אדריכלים יוצרים אדריכלות דיגיטלית מרהיבה וחדשנית, מהנדסי תוכנה בונים עליה עולמות תלת-ממדיים בגרפיקה ממוחשבת (Computer Graphics). כלי ניווט מבוססי GPS מחשבים מסלולים על פי עקרונות גאומטריים והפיזיקאים התיאורטיים ממשיכים להשתמש בה כדי לתאר את המבנה של המרחב-זמן עצמו.
#גאומטריה לא-אוקלידית
אבל לאורך ההיסטוריה, התפצלה הגאומטריה לכיוונים נוספים. במאה ה-19, למשל, גילו מתמטיקאים כמו גאוס (Gauss), רימן (Riemann) ולובצ'בסקי (Lobachevsky) שאפשר לבנות גאומטריות שונות לחלוטין, שבהן כללים שנראו "מובנים מאליהם" פשוט אינם תקפים. כך נולדה הגאומטריה הלא-אוקלידית (Non-Euclidean Geometry).
על כדור, למשל, סכום הזוויות בכל משולש גדול מ-180 מעלות. כלומר, אם נחבר 3 נקודות, על משטח מעוקל כמו כדור בקווים הישרים ביותר האפשריים, נקבל משולש שסכום הזוויות שלו גדול מ-180 מעלות.
גאומטריות כאלה נקראות לא-אוקלידיות והן שהניחו את הבסיס לתורת היחסות של איינשטיין (Einstein). כי לימים זה בדיוק מה שישמש את אלברט איינשטיין: המרחב-זמן אינו שטוח אלא מעוקל על ידי כוח הכבידה, ולכן גאומטריה לא-אוקלידית היא הכלי הנכון לתארו.
הנה הגאומטריה:
https://youtu.be/klQbG7dOiss
עקרונות הבסיס של העיצוב הגיאומטרי שנבע מהאיסור באיסלאם על ציור במסגד (עברית):
https://youtu.be/Q4jg9JPpGg4
ללמד ילדים להכיר מגיל צעיר (עברית):
https://youtu.be/zz94dpsaGPc
לא להיבהל מגאומטריה אנליטית עברית):
https://youtu.be/_8k3UxOGXUE
הזוויות בגאומטריה (עברית):
https://youtu.be/SxmP0AOFugg
הגאומטריה מופיעה בכל מקום, משחק וטבע:
https://youtu.be/Wg4QwKBRuLI
וכך הגאומטריה משמשת בעולם:
https://youtu.be/eKFvIdk2ZnM?long=yes
מה מאפיין מלבן?
מלבן (Rectangle) הוא מרובע שכל הזוויות שבו ישרות. זהו סוג מסוים של מקבילית וטרפז שווה-שוקיים (שהצלעות שלו שוות). האורך של כל שתי צלעות נגדיות במלבן הוא זהה והן גם מקבילות זו לזו.
יש מלבנים שכל שתי צלעות סמוכות בהם הן שוות. הם נקראים ריבוע.
משימה קטנה:
=========
נסו למצוא 5 דברים מסביבכם שצורתם מלבנית.
הנה דברים בצורה של מלבן:
https://youtu.be/2WHJio4TRNY
ולילדים קטנים:
https://youtu.be/cW5muVaoK4I
מהו משולש?
משולש (Triangle) הוא מצולע בעל שלוש צלעות. הצלעות בין 3 קודקודים, שלא נמצאים על קו ישר אחד.
במשולש 3 זוויות.
בתרבות הפך המשולש לאחד המרכיבים המעניינים. מהמשולש שיוצר את הפירמידות שנבנו במצרים ועד למשולש פנרוז (Penrose triangle), אותו משולש בלתי אפשרי ומרתק, שכל הזוויות שבו הן זוויות ישרות.
משולש זה מוצג בהקשרים שונים, כולל בציוריו של הצייר מ. ס. אשר.
הנה המשולש המפורסם בעולם - משולש ברמודה:
http://youtu.be/FfsQBeXWktU
ניסוי של בניית משולש רועם:
http://youtu.be/_d-VN3jenNg
ומשולש פנרוז:
https://youtu.be/gcw1IIGSGMM
מהו המשושה?
משושה (Hexagon) הוא מצולע פשוט בגיאומטריה, שיש לו שש צלעות ושישה קודקודים. המשושה המוכר הוא המשושה המשוכלל, שכל צלעותיו שוות זו לזו בגודלן ושכל זוויותיו בנות 120°.
סכום כל הזוויות הפנימיות של המשושה הוא 720 מעלות. כל משושה הוא בעל תשעה אלכסונים שיוצרים שישה משולשים.
המשושה הוא צורה נפוצה בטבע. דוגמאות כמו משושים שנוצרים בהתייבשות של מלח באגמי מלח, או סדקי לבה משושים בסלע הבזלת, דרך כל צורות פתיתי השלג, כולן משושות, וכמובן תאי כוורת הדבורים שהם תמיד משושים.
עוד על משושים בטבע ראו באאוריקה בתגית "משושים".
הנה המשושים בישראל ובטבע בו הם נפוצים מאד (עברית):
https://youtu.be/nqKTRRLZxQ0
שימו לב לאהבה של דבורי הדבש לצורה הזו (מתורגם):
https://youtu.be/QEzlsjAqADA
שיר באנגלית על המשושה:
https://youtu.be/WCjtAOGdGFI
אבל למה המשושים כל כך נפוצים בטבע?
https://youtu.be/dk5v1wVdnBU?long=yes
והמשושה העצום שנוצר על כוכב הלכת יופיטר:
https://youtu.be/6GK23C8CY7A?long=yes
מהו עיגול ומה זה המעגל שמקיף אותו?
כל כך הרבה דברים בעולם הם עגולים.. מכדור הארץ, הירח, השמש, הכיפות של המסגדים והראש של חלק גדול מאיתנו.. אבל מהו בדיוק המעגל ומה זה עיגול?
אז בואו נעשה סדר. מעגל הוא הקו העגול שאנו מכירים, בעוד העיגול הוא השטח שבתוכו, התחום החסום על ידי המעגל.
אז אם המעגל הוא שפתו של העִגול, ברור עכשיו מדוע מדברים תמיד על היקף המעגל, או האורך שלו, לעומת שטח העיגול.
אם היינו מסמנים את כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת זהה, היינו רואים שהן יוצרות מעגל. הנקודה עצמה הייתה במרכז המעגל. ואכן, מעגל (Circle) הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות על פני המישור, שמרחקן מנקודה מסוימת, מרכז המעגל, הוא מרחק זהה.
למעגל יש כמה מרכיבים שניתן למדוד:
רדיוס (Radius) - הוא המרחק שבין מרכז המעגל לכל נקודה בקצוות שלו.
קוטר (Diameter) - זהו קו שמחבר שתי נקודות במעגל ועובר במרכזו. הוא שווה לפעמיים הרדיוס.
היקף (Circumference) - זהו אורך הקו שסוגר את העיגול.
היחס בין היקף העיגול לקוטרו הוא קבוע בכל המעגלים שבעולם. המתמטיקאים מסמנים אותו בעזרת האות היוונית π (פיי).
הנה המעגל - המקיף הקווי של העיגול:
https://youtu.be/BPnP_EEZvQc
שיר שמסביר את המעגל באנגלית:
https://youtu.be/Z0dlK16I60k?t=34s
והמעגל המושלם הוא זה שתוכלו לצייר ביד, תוך שנייה:
https://youtu.be/oDcr0yXpkk8
מהו המחומש?
מחומש, או פֶּנְטַאגוֹן (Pentagon) הוא מצולע שיש לו 5 צלעות. מבחינה הנדסית המחומש הוא בעל 5 אלכסונים. סכום הזוויות הפנימיות שלו הוא 540 מעלות.
אבל התכונה המדהימה של המחומש הוא הימצאותו בטבע בשלל מקרים, באחת מההתגלויות המעניינות שלו - בצורת פנטגרם, מה שמוכר בעברית כ"כוכב" מחומש. הפנטגרם המחומש מופיע בפרחים כמו יסמין, פטוניה ועוד.
המחומש מופיע גם בכוכב הים, בכל החיים המחומש ובמיוחד כל כך.
גם לתרבות המחומש נכנס, גם בדימוי הכוכב וגם בציורים שונים, כמו האדם הוויטרובי של לאונרדו דה וינצ'י.
הנה הכוכב המחומש בטבע והקשר שלו לחיתוך הזהב:
http://youtu.be/atSvERhcNcw
גאומטריה (Geometry) היא אחד מענפי המתמטיקה העתיקים ביותר, מושג מתמטי מרכזי שעוסק וחוקר את הצורות, מבנים, גדלים, מיקומים, מרחבים, גופים ותכונות של עצמים בחלל.
מקור השם "גיאומטריה" הוא מיוונית עתיקה: "גאו" (Geo) פירושו אדמה, "מטריה" (metria) פירושו מדידה. כלומר, בבסיס ןבמקור שלה, הגאומטריה היא אמנות מדידת הארץ.
מה שהפך את הגאומטריה לכלי כה עוצמתי הוא שהיא מגשרת בין האבסטרקטי (המופשט) לקונקרטי (המוחשי). אפשר להוכיח בה משפטים בצורה קפדנית ומוחלטת, אבל בסוף תמיד אפשר לצייר אותם ולראות אותם בעיניים. זו אולי הסיבה שאפלטון (Plato) כתב מעל שערי האקדמיה שלו: "בל ייכנס מי שאינו יודע גאומטריה."
#היסטוריה
ואכן, הראשונים שפיתחו גאומטריה שיטתית היו המצרים והבבלים, לפני כ-4,000 שנה. הם לא עשו זאת מתוך אהבת המדע הצרוף, אלא מתוך צורך מעשי לחלוטין: בכל שנה, כשהנילוס הציף את גדותיו, הוא מחק את גבולות השדות. מודדי הקרקע המצריים, שנקראו "מותחי החבלים", היו צריכים לשחזר את הגבולות מחדש בכל פעם. הגאומטריה הייתה בשבילם אמצעי פרנסה וכלי עבודה הנדסי.
היוונים הקדמונים קיבלו את הידע הזה, עסקו בו בהרחבה והשתמשו בו באופן שונה לחלוטין, תוך שהם מביאים את הגאומטריה לכדי מיצוי. אוקלידס (Euclid), למשל, חי באלכסנדריה סביב 300 לפני הספירה. הוא כתב חיבור בשם "היסודות" (Elements), בו ריכז את כל הידע הגאומטרי של תקופתו לתוך מערכת אקסיומטית מסודרת: מספר הנחות יסוד פשוטות, שמהן הוציא במדויק מאות משפטים ויחסים.
מאז, עוסקים בגאומטריה האוקלידית הקלאסית בקווים ישרים, משולשים, מעגלים ומצולעים על משטח שטוח. קשה אולי להאמין, אבל במשך יותר מ-2,000 שנה ועד ימינו לומדים עם הספר הזה בבתי ספר ברחבי העולם.
כך התפתח העיצוב הגיאומטרי, למשל. בשל האיסור באיסלאם לצייר בני אנוש ובעלי חיים ומנגד האהבה האנושית ליופי - שימשה הגאומטריה בתרבות האסלאמית, לצד קליגרפיה, עיטורים צמחיים, כתיבה אמנותית וערבסקות, לעיצוב וקישוט במסגדים.
כך התמלאו בעיצובים וקישוטים גאומטריים מרהיבים ומורכבים, גם מסגדים, לצד מדרסות (מדרשות לימוד), בתים פרטיים וארמונות פאר של מוסלמים עשירים, אף שמדהים לגלות שכל מה שנדרש ליצירתם היו מחוגה, סרגל וכישרון אנושי.
כיום, הגאומטריה נמצאת בכל מקום. מהנדסים משתמשים בה לתכנון גשרים ובניינים. אדריכלים יוצרים אדריכלות דיגיטלית מרהיבה וחדשנית, מהנדסי תוכנה בונים עליה עולמות תלת-ממדיים בגרפיקה ממוחשבת (Computer Graphics). כלי ניווט מבוססי GPS מחשבים מסלולים על פי עקרונות גאומטריים והפיזיקאים התיאורטיים ממשיכים להשתמש בה כדי לתאר את המבנה של המרחב-זמן עצמו.
#גאומטריה לא-אוקלידית
אבל לאורך ההיסטוריה, התפצלה הגאומטריה לכיוונים נוספים. במאה ה-19, למשל, גילו מתמטיקאים כמו גאוס (Gauss), רימן (Riemann) ולובצ'בסקי (Lobachevsky) שאפשר לבנות גאומטריות שונות לחלוטין, שבהן כללים שנראו "מובנים מאליהם" פשוט אינם תקפים. כך נולדה הגאומטריה הלא-אוקלידית (Non-Euclidean Geometry).
על כדור, למשל, סכום הזוויות בכל משולש גדול מ-180 מעלות. כלומר, אם נחבר 3 נקודות, על משטח מעוקל כמו כדור בקווים הישרים ביותר האפשריים, נקבל משולש שסכום הזוויות שלו גדול מ-180 מעלות.
גאומטריות כאלה נקראות לא-אוקלידיות והן שהניחו את הבסיס לתורת היחסות של איינשטיין (Einstein). כי לימים זה בדיוק מה שישמש את אלברט איינשטיין: המרחב-זמן אינו שטוח אלא מעוקל על ידי כוח הכבידה, ולכן גאומטריה לא-אוקלידית היא הכלי הנכון לתארו.
הנה הגאומטריה:
https://youtu.be/klQbG7dOiss
עקרונות הבסיס של העיצוב הגיאומטרי שנבע מהאיסור באיסלאם על ציור במסגד (עברית):
https://youtu.be/Q4jg9JPpGg4
ללמד ילדים להכיר מגיל צעיר (עברית):
https://youtu.be/zz94dpsaGPc
לא להיבהל מגאומטריה אנליטית עברית):
https://youtu.be/_8k3UxOGXUE
הזוויות בגאומטריה (עברית):
https://youtu.be/SxmP0AOFugg
הגאומטריה מופיעה בכל מקום, משחק וטבע:
https://youtu.be/Wg4QwKBRuLI
וכך הגאומטריה משמשת בעולם:
https://youtu.be/eKFvIdk2ZnM?long=yes
מלבן (Rectangle) הוא מרובע שכל הזוויות שבו ישרות. זהו סוג מסוים של מקבילית וטרפז שווה-שוקיים (שהצלעות שלו שוות). האורך של כל שתי צלעות נגדיות במלבן הוא זהה והן גם מקבילות זו לזו.
יש מלבנים שכל שתי צלעות סמוכות בהם הן שוות. הם נקראים ריבוע.
משימה קטנה:
=========
נסו למצוא 5 דברים מסביבכם שצורתם מלבנית.
הנה דברים בצורה של מלבן:
https://youtu.be/2WHJio4TRNY
ולילדים קטנים:
https://youtu.be/cW5muVaoK4I
משולש (Triangle) הוא מצולע בעל שלוש צלעות. הצלעות בין 3 קודקודים, שלא נמצאים על קו ישר אחד.
במשולש 3 זוויות.
בתרבות הפך המשולש לאחד המרכיבים המעניינים. מהמשולש שיוצר את הפירמידות שנבנו במצרים ועד למשולש פנרוז (Penrose triangle), אותו משולש בלתי אפשרי ומרתק, שכל הזוויות שבו הן זוויות ישרות.
משולש זה מוצג בהקשרים שונים, כולל בציוריו של הצייר מ. ס. אשר.
הנה המשולש המפורסם בעולם - משולש ברמודה:
http://youtu.be/FfsQBeXWktU
ניסוי של בניית משולש רועם:
http://youtu.be/_d-VN3jenNg
ומשולש פנרוז:
https://youtu.be/gcw1IIGSGMM
משושה (Hexagon) הוא מצולע פשוט בגיאומטריה, שיש לו שש צלעות ושישה קודקודים. המשושה המוכר הוא המשושה המשוכלל, שכל צלעותיו שוות זו לזו בגודלן ושכל זוויותיו בנות 120°.
סכום כל הזוויות הפנימיות של המשושה הוא 720 מעלות. כל משושה הוא בעל תשעה אלכסונים שיוצרים שישה משולשים.
המשושה הוא צורה נפוצה בטבע. דוגמאות כמו משושים שנוצרים בהתייבשות של מלח באגמי מלח, או סדקי לבה משושים בסלע הבזלת, דרך כל צורות פתיתי השלג, כולן משושות, וכמובן תאי כוורת הדבורים שהם תמיד משושים.
עוד על משושים בטבע ראו באאוריקה בתגית "משושים".
הנה המשושים בישראל ובטבע בו הם נפוצים מאד (עברית):
https://youtu.be/nqKTRRLZxQ0
שימו לב לאהבה של דבורי הדבש לצורה הזו (מתורגם):
https://youtu.be/QEzlsjAqADA
שיר באנגלית על המשושה:
https://youtu.be/WCjtAOGdGFI
אבל למה המשושים כל כך נפוצים בטבע?
https://youtu.be/dk5v1wVdnBU?long=yes
והמשושה העצום שנוצר על כוכב הלכת יופיטר:
https://youtu.be/6GK23C8CY7A?long=yes
צורות הנדסיות
כל כך הרבה דברים בעולם הם עגולים.. מכדור הארץ, הירח, השמש, הכיפות של המסגדים והראש של חלק גדול מאיתנו.. אבל מהו בדיוק המעגל ומה זה עיגול?
אז בואו נעשה סדר. מעגל הוא הקו העגול שאנו מכירים, בעוד העיגול הוא השטח שבתוכו, התחום החסום על ידי המעגל.
אז אם המעגל הוא שפתו של העִגול, ברור עכשיו מדוע מדברים תמיד על היקף המעגל, או האורך שלו, לעומת שטח העיגול.
אם היינו מסמנים את כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת זהה, היינו רואים שהן יוצרות מעגל. הנקודה עצמה הייתה במרכז המעגל. ואכן, מעגל (Circle) הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות על פני המישור, שמרחקן מנקודה מסוימת, מרכז המעגל, הוא מרחק זהה.
למעגל יש כמה מרכיבים שניתן למדוד:
רדיוס (Radius) - הוא המרחק שבין מרכז המעגל לכל נקודה בקצוות שלו.
קוטר (Diameter) - זהו קו שמחבר שתי נקודות במעגל ועובר במרכזו. הוא שווה לפעמיים הרדיוס.
היקף (Circumference) - זהו אורך הקו שסוגר את העיגול.
היחס בין היקף העיגול לקוטרו הוא קבוע בכל המעגלים שבעולם. המתמטיקאים מסמנים אותו בעזרת האות היוונית π (פיי).
הנה המעגל - המקיף הקווי של העיגול:
https://youtu.be/BPnP_EEZvQc
שיר שמסביר את המעגל באנגלית:
https://youtu.be/Z0dlK16I60k?t=34s
והמעגל המושלם הוא זה שתוכלו לצייר ביד, תוך שנייה:
https://youtu.be/oDcr0yXpkk8
מחומש, או פֶּנְטַאגוֹן (Pentagon) הוא מצולע שיש לו 5 צלעות. מבחינה הנדסית המחומש הוא בעל 5 אלכסונים. סכום הזוויות הפנימיות שלו הוא 540 מעלות.
אבל התכונה המדהימה של המחומש הוא הימצאותו בטבע בשלל מקרים, באחת מההתגלויות המעניינות שלו - בצורת פנטגרם, מה שמוכר בעברית כ"כוכב" מחומש. הפנטגרם המחומש מופיע בפרחים כמו יסמין, פטוניה ועוד.
המחומש מופיע גם בכוכב הים, בכל החיים המחומש ובמיוחד כל כך.
גם לתרבות המחומש נכנס, גם בדימוי הכוכב וגם בציורים שונים, כמו האדם הוויטרובי של לאונרדו דה וינצ'י.
הנה הכוכב המחומש בטבע והקשר שלו לחיתוך הזהב:
http://youtu.be/atSvERhcNcw
