מה זו גאומטריה?
גאומטריה (Geometry) היא אחד מענפי המתמטיקה העתיקים ביותר, מושג מתמטי מרכזי שעוסק וחוקר את הצורות, מבנים, גדלים, מיקומים, מרחבים, גופים ותכונות של עצמים בחלל.
מקור השם "גיאומטריה" הוא מיוונית עתיקה: "גאו" (Geo) פירושו אדמה, "מטריה" (metria) פירושו מדידה. כלומר, בבסיס ןבמקור שלה, הגאומטריה היא אמנות מדידת הארץ.
מה שהפך את הגאומטריה לכלי כה עוצמתי הוא שהיא מגשרת בין האבסטרקטי (המופשט) לקונקרטי (המוחשי). אפשר להוכיח בה משפטים בצורה קפדנית ומוחלטת, אבל בסוף תמיד אפשר לצייר אותם ולראות אותם בעיניים. זו אולי הסיבה שאפלטון (Plato) כתב מעל שערי האקדמיה שלו: "בל ייכנס מי שאינו יודע גאומטריה."
היוונים הקדמונים קיבלו את הידע הזה, עסקו בו בהרחבה והשתמשו בו באופן שונה לחלוטין, תוך שהם מביאים את הגאומטריה לכדי מיצוי. אוקלידס (Euclid), למשל, חי באלכסנדריה סביב 300 לפני הספירה. הוא כתב חיבור בשם "היסודות" (Elements), בו ריכז את כל הידע הגאומטרי של תקופתו לתוך מערכת אקסיומטית מסודרת: מספר הנחות יסוד פשוטות, שמהן הוציא במדויק מאות משפטים ויחסים.
מאז, עוסקים בגאומטריה האוקלידית הקלאסית בקווים ישרים, משולשים, מעגלים ומצולעים על משטח שטוח. קשה אולי להאמין, אבל במשך יותר מ-2,000 שנה ועד ימינו לומדים עם הספר הזה בבתי ספר ברחבי העולם.
כך התפתח העיצוב הגיאומטרי, למשל. בשל האיסור באיסלאם לצייר בני אנוש ובעלי חיים ומנגד האהבה האנושית ליופי - שימשה הגאומטריה בתרבות האסלאמית, לצד קליגרפיה, עיטורים צמחיים, כתיבה אמנותית וערבסקות, לעיצוב וקישוט במסגדים.
כך התמלאו בעיצובים וקישוטים גאומטריים מרהיבים ומורכבים, גם מסגדים, לצד מדרסות (מדרשות לימוד), בתים פרטיים וארמונות פאר של מוסלמים עשירים, אף שמדהים לגלות שכל מה שנדרש ליצירתם היו מחוגה, סרגל וכישרון אנושי.
כיום, הגאומטריה נמצאת בכל מקום. מהנדסים משתמשים בה לתכנון גשרים ובניינים. אדריכלים יוצרים אדריכלות דיגיטלית מרהיבה וחדשנית, מהנדסי תוכנה בונים עליה עולמות תלת-ממדיים בגרפיקה ממוחשבת (Computer Graphics). כלי ניווט מבוססי GPS מחשבים מסלולים על פי עקרונות גאומטריים והפיזיקאים התיאורטיים ממשיכים להשתמש בה כדי לתאר את המבנה של המרחב-זמן עצמו.
על כדור, למשל, סכום הזוויות בכל משולש גדול מ-180 מעלות. כלומר, אם נחבר 3 נקודות, על משטח מעוקל כמו כדור בקווים הישרים ביותר האפשריים, נקבל משולש שסכום הזוויות שלו גדול מ-180 מעלות.
גאומטריות כאלה נקראות לא-אוקלידיות והן שהניחו את הבסיס לתורת היחסות של איינשטיין (Einstein). כי לימים זה בדיוק מה שישמש את אלברט איינשטיין: המרחב-זמן אינו שטוח אלא מעוקל על ידי כוח הכבידה, ולכן גאומטריה לא-אוקלידית היא הכלי הנכון לתארו.
גאומטריה (Geometry) היא אחד מענפי המתמטיקה העתיקים ביותר, מושג מתמטי מרכזי שעוסק וחוקר את הצורות, מבנים, גדלים, מיקומים, מרחבים, גופים ותכונות של עצמים בחלל.
מקור השם "גיאומטריה" הוא מיוונית עתיקה: "גאו" (Geo) פירושו אדמה, "מטריה" (metria) פירושו מדידה. כלומר, בבסיס ןבמקור שלה, הגאומטריה היא אמנות מדידת הארץ.
מה שהפך את הגאומטריה לכלי כה עוצמתי הוא שהיא מגשרת בין האבסטרקטי (המופשט) לקונקרטי (המוחשי). אפשר להוכיח בה משפטים בצורה קפדנית ומוחלטת, אבל בסוף תמיד אפשר לצייר אותם ולראות אותם בעיניים. זו אולי הסיבה שאפלטון (Plato) כתב מעל שערי האקדמיה שלו: "בל ייכנס מי שאינו יודע גאומטריה."
היסטוריה
ואכן, הראשונים שפיתחו גאומטריה שיטתית היו המצרים והבבלים, לפני כ-4,000 שנה. הם לא עשו זאת מתוך אהבת המדע הצרוף, אלא מתוך צורך מעשי לחלוטין: בכל שנה, כשהנילוס הציף את גדותיו, הוא מחק את גבולות השדות. מודדי הקרקע המצריים, שנקראו "מותחי החבלים", היו צריכים לשחזר את הגבולות מחדש בכל פעם. הגאומטריה הייתה בשבילם אמצעי פרנסה וכלי עבודה הנדסי.
היוונים הקדמונים קיבלו את הידע הזה, עסקו בו בהרחבה והשתמשו בו באופן שונה לחלוטין, תוך שהם מביאים את הגאומטריה לכדי מיצוי. אוקלידס (Euclid), למשל, חי באלכסנדריה סביב 300 לפני הספירה. הוא כתב חיבור בשם "היסודות" (Elements), בו ריכז את כל הידע הגאומטרי של תקופתו לתוך מערכת אקסיומטית מסודרת: מספר הנחות יסוד פשוטות, שמהן הוציא במדויק מאות משפטים ויחסים.
מאז, עוסקים בגאומטריה האוקלידית הקלאסית בקווים ישרים, משולשים, מעגלים ומצולעים על משטח שטוח. קשה אולי להאמין, אבל במשך יותר מ-2,000 שנה ועד ימינו לומדים עם הספר הזה בבתי ספר ברחבי העולם.
כך התפתח העיצוב הגיאומטרי, למשל. בשל האיסור באיסלאם לצייר בני אנוש ובעלי חיים ומנגד האהבה האנושית ליופי - שימשה הגאומטריה בתרבות האסלאמית, לצד קליגרפיה, עיטורים צמחיים, כתיבה אמנותית וערבסקות, לעיצוב וקישוט במסגדים.
כך התמלאו בעיצובים וקישוטים גאומטריים מרהיבים ומורכבים, גם מסגדים, לצד מדרסות (מדרשות לימוד), בתים פרטיים וארמונות פאר של מוסלמים עשירים, אף שמדהים לגלות שכל מה שנדרש ליצירתם היו מחוגה, סרגל וכישרון אנושי.
כיום, הגאומטריה נמצאת בכל מקום. מהנדסים משתמשים בה לתכנון גשרים ובניינים. אדריכלים יוצרים אדריכלות דיגיטלית מרהיבה וחדשנית, מהנדסי תוכנה בונים עליה עולמות תלת-ממדיים בגרפיקה ממוחשבת (Computer Graphics). כלי ניווט מבוססי GPS מחשבים מסלולים על פי עקרונות גאומטריים והפיזיקאים התיאורטיים ממשיכים להשתמש בה כדי לתאר את המבנה של המרחב-זמן עצמו.
גאומטריה לא-אוקלידית
אבל לאורך ההיסטוריה, התפצלה הגאומטריה לכיוונים נוספים. במאה ה-19, למשל, גילו מתמטיקאים כמו גאוס (Gauss), רימן (Riemann) ולובצ'בסקי (Lobachevsky) שאפשר לבנות גאומטריות שונות לחלוטין, שבהן כללים שנראו "מובנים מאליהם" פשוט אינם תקפים. כך נולדה הגאומטריה הלא-אוקלידית (Non-Euclidean Geometry).
על כדור, למשל, סכום הזוויות בכל משולש גדול מ-180 מעלות. כלומר, אם נחבר 3 נקודות, על משטח מעוקל כמו כדור בקווים הישרים ביותר האפשריים, נקבל משולש שסכום הזוויות שלו גדול מ-180 מעלות.
גאומטריות כאלה נקראות לא-אוקלידיות והן שהניחו את הבסיס לתורת היחסות של איינשטיין (Einstein). כי לימים זה בדיוק מה שישמש את אלברט איינשטיין: המרחב-זמן אינו שטוח אלא מעוקל על ידי כוח הכבידה, ולכן גאומטריה לא-אוקלידית היא הכלי הנכון לתארו.
