חישובים בחשבון הם לא תמיד פשוטים למתחילים. גם רבים מהמבוגרים מסתבכים באריתמטיקה, פעולות החשבון הפשוטות יחסית.

כמו כולם, גם הילדים בבית הספר בדרום קוריאה נוהגים לפתור בעיות מתמטיות בַּעזרת המחשב. אבל בדרום קוריאה הם גם לומדים לחשב ידנית, בראש או בעצם בעזרת האצבעות - בשיטה שנקראת צִ'יזִנְבוֹפ, או צ'יסנבופ (Chisenbop).

הצ'יזנבופ היא שיטת חישוב מאוד מהירה שפיתחו בקוֹריאה, כדי לאפשר לילדים וגם למבוגרים לעשות חישובים מעולים ובקלות - עם האצבעות.

בשיטה הזו שווה כל אחת מארבע האצבעות של היד הימנית 1, בעוד האגודל הימני שווה 5. באופן דומה, שווה כּל אחת מארבע האצבעות של יד שמאל ל-10. האגודל השמאלי שווה 50.

נסו את שיטת ה"צ'יזנבופ". בשיטה הזו תוכלו גם אתם לחשב במהירות שיא ולעשות תרגילים חשבוניים מעולים. אריתמטיקה היא קלי קלות כאן.


הנה הסבר ללא מילים של ערכי האצבעות בצ'יזנבופ:

https://youtu.be/VBxFPX_KTCI


ספירה באמצעות צ'יזנבופ:

https://youtu.be/QII0u_keRO4


ילדה מדגימה צ'יזנבופ:

https://youtu.be/58Et-6kbptU


ילדים דרום קוריאניים מסובבים את ידם כדי לשפר ביצועים בחישוב:

https://youtu.be/y3e2DNXMq1A


הלימוד בבתי הספר בדרום קוריאניים הוא בכלל מרתק:

https://youtu.be/Gvi8yo0FPj4


צ'יסנבופ לא לבד - עוד שיטות ספירה חכמות באצבעות:

https://youtu.be/UixU1oRW64Q


ושיעור אונליין:

https://youtu.be/TjSY9Dajg18?long=yes

האם שאלתם את עצמכם פעם למה כדאי ללמוד מתמטיקה? - אם היה לכם ספק, אולי תסייע לכם האגדה שמסופרת בצורות שונות על ממציא משחק השחמט שהוזמן אל קיסר סין. הקיסר שאל מה ירצה כאות תודה על המשחק המופלא. לממציא השחמט הייתה בקשה מוזרה ודי צנועה: תן לי גרגרי אורז על משבצות לוח השחמט, כשבכל משבצת יש כמות כפולה של גרגרים מהקודמת לה - גרגיר אורז על המשבצת הראשונה, שני גרגירים על השנייה, ארבעה במשבצת השלישית וכן הלאה.

הקיסר, שהתרגל לבקשות גדולות יותר, שאל אם זה כל מה שירצה והממציא השיב לו בצניעות שדי לו בגרגירי האורז שביקש. "כמה טיפש יכול אדם להיות..." חשב ודאי הקיסר והסכים לבקשתו.

אבל מה גדול היה ההבדל שבין הקיסר הבור והממציא החכם. כל בעל ידע בסיסי במתימטיקה יזהה בחישוביו שהכמות של האורז שתונח על לוח השחמט היא בלתי נתפסת וגדלה באופן אקספוננציאלי, דוגמה מצוינת לגידול מעריכי בחשבון - מגרגר אחד ושני גרגרים במשבצות הראשונות תגדל הכמות לקילוגרם אורז במשבצת ה-15, טון אורז במשבצת ה-25, 1000 טון במשבצת ה-35 וכך הלאה.. במשבצת ה-55 יונח כל יבול האורז השנתי של העולם כולו ובמשבצת האחרונה תצטרך להיות כמות אורז שהיא גדולה מכל האורז שגדל אי-פעם בתולדות האדם!

אז אם יש לכם תכניות להמציא משהו גאוני והשליט שלכם הוא נדיב במיוחד, אולי כדאי לשקוד על לימודי המתמטיקה.


#דיון בכמות האורז
חישוב שקיבלנו ממשתמש אאוריקה מציע הסתייגות מתמטית מעניינת. הנה דבריו:

"קילוגרם אורז מכיל 45,000 גרגרים בממוצע. היבול השנתי של האורז בעולם הוא 700 מליון טון בממוצע של העשור האחרון. שהם 31.5E15 גרגרים.
הפרס הנדרש הוא 2^64, שזה סיכום של כל חזקות שתיים מאפס ועד 63. = 18.4E18
סך כל הפרס שווה ל-585 שנות גידול אורז. בהנחה שגידול האורז עלה עם השנים, ניתן להניח שכמות האורז שגדלה בששת אלפים שנות קיום העולם תספיק לממציא שלנו..."

אנו שואלים אתכם האם לדעתכם הכמות השנתית של ימינו היא זהה לכמות השנתית בעולם לפני אלף, אלפיים וששת אלפים שנה?"


הנה סרטון שמספר על אגדת האורז ולוח השחמט:

http://youtu.be/t3d0Y-JpRRg


וסרטון נוסף שמסביר את הסיפור במונחים החשבוניים של הגדילה המעריכית:

http://youtu.be/D9DvjkMMULw

אם ניקח שטרות כסף עשויי נייר ונניח אותם זה על זה, כשכל פעם אנו מכפילים את מספר השטרות שלפנינו פי שניים, נקבל כבר אחרי 42 הכפלות הר של שטרות, כה גבוה עד שיגיע מפני הקרקע של כדור הארץ ועד לירח - מרחק מדהים של 380 אלף קילומטרים!

המספר המדהים הזה נובע מהגידול המעריכי (Exponential growth) של מספר השטרות.

גידול מעריכי, גדילה אקספוננציאלית, גדילה מעריכית, צמיחה מעריכית, גידול גאומטרי, טור גאומטרי ועוד הרבה שמות דומים - כולם מייצגים קצב גידול תלול במיוחד, שגדל בהכפלות ומשום כך הוא מהיר במיוחד.

לגידול האקספוננציאלי יש דוגמאות רבות בטבע. מסתבר שאם לא יאיימו עליהם מחלות או טורפים, תגדל אוכלוסיית החיידקים גדילה מעריכית, שתחדול לגדול רק כשייגמרו חומרי המזון על פני כדור הארץ, או שתורעל מחומרי הפסולת שהיא תשאיר אחריה.

באופן דומה יגדלו בגידול אקספוננציאלי גם אוכלוסיות של וירוסים שאין מולם חיסון (כמו שגילינו בהתפשטות המהירה של וירוס הקורונה), בשמרים שהם פטריות ומתפתחים במהירות ובחרקים שבבית הגידול שלהם יש מזון ואין איום עליהם.

גם בני אדם משתמשים בצמיחה מעריכית שכזו, במיזמים אנושיים שונים. "חוק מור" למשל, קבע שמהירות המחשבים מוכפלת כל שנה וחצי, מה שהופך את מהירותם לצומחת צמיחה אקספוננציאלית. כך גם מתנהגת ריבית דריבית, שנותנת החזר מעריכי למלווים, בתנאי כמובן שהתנאים נשארים קבועים, כולל שער הריבית.

משווקים בשיווק רב-שכבתי, כמו גם נוכלים ב"תרמיות פונזי" וב"משחקי פירמידה" - גם הם בונים את העיסקה על כך שכל מצטרף מגייס מספר אנשים, שיגייסו כל אחד כמה אחרים וכך הלאה. כך צומחת ההכנסה של כל משתתף, לא רק מרווחיו שלו, אלא גם מהמתגייסים שיצטרפו במורד השרשרת שמתחתיו - מגוייסיו, מגוייסיהם וכל מי שיגויס בהמשך.

בפיסיקה התגלה שבתגובת שרשרת גרעינית, שהיא הבסיס לכלי נשק גרעיני, פוגע כל גרעין אורניום שעבר ביקוע גרעיני, בגרעינים אחרים וגורם לביקועם, מה שיגרום לכל אחד מהם לפגוע בגרעינים אחרים ולבקעם וחוזר חלילה. אז אתם כבר יודעים איזו גדילה זו שיוצרת את הפיצוץ הנורא הזה - גדילה מעריכית, או בלעז: גידול אקספוננציאלי.


הנה סרטון שמדגים את הגדילה המעריכית (מתורגם):

https://youtu.be/AmFMJC45f1Q


התחזית של מלתוס מסוף המאה ה-19 על התפוצצות עתידית של אוכלוסיית העולם:

http://youtu.be/vZVOU5bfHrM


הכלכלה - האם היא תצמח לנצח?

https://youtu.be/mT3P0YSNonE


הסבר מתמטי (עברית):

https://youtu.be/6HsnjP0NzfE


יש מי שמסביר בעזרת הצמיחה המעריכית מדוע כדאי לבנות מסגרות פוליטיות "ללא כוכבים" (עברית):

https://youtu.be/Exg6ZdUpvkw


ושיעור באקדמיית קאן על גדילה מעריכית (עברית):

https://youtu.be/VZTDP9MvqLw?long=yes

רקורסיה היא קצת מורכבת להסבר אבל מאד פשוטה להבנה. מגדירים אותה כמיקוד של בעיה כללית אל בעיה "קטנה" יותר, אך זהה לזו המקורית. כך גם הגדרה רקורסיבית היא הגדרה שחייבת לפנות לאותה הגדרה, אבל בתנאים שונים. ותמיד יהיה שם תנאי עצירה, כדי שהרקורסיה לא תהיה אינסופית..

הגדרה אחרת לרקורסיה היא "הגדרת בעיה במונחים של עצמה".

רוצים דוגמה:
"אם הבנת מהי רקורסיה, חזור אל הדף ממנו הגעת. אם לא – קרא בדף זה מהי רקורסיה".

הדוגמה הזו מסבירה בדיוק את הרקורסיה, כי תנאי העצירה הוא "אם הבנת.." ואם לא אז חוזרים לאותה דוגמה כדי ללמוד מהי רקורסיה מחדש ולבסוף מבינים שהרקורסיה היא מה שאתה מתבקש לעשות..

גם מתכנתים משתמשים ברקורסיה והם מתארים פונקציה רקורסיבית כ"פונקציה שקוראת לעצמה". היא קוראת לעצמה עד שלא ניתן יותר לעשות זאת. נכון היה יותר לומר שפונקציה כזו קוראת לעותק של עצמה.

לרוב נותנים לרקורסיה כזו את הדוגמה של חישוב n-עצרת במתמטיקה (=מכפלת 1 כפול 2 כפול 3… עד כפול n).

ואגב, הנה משפט משעשע ונכון: "כדי להגדיר רקורסיה, קודם-כל צריך להגדיר רקורסיה.."


הנה סרטון שמדגים איך רקורסיה עובדת כשעושים בעזרתה גרפיקה ממוחשבת:

http://youtu.be/ghZKKaZkzrE


כניסה פנימה לפרקטל - צורה גרפית שנקראת "משולש סירפינסקי" שנבנתה בפונקציה רקורסיבית:

http://youtu.be/P5EkdJRtF-4


והסבר למתכנתים (עברית):

https://youtu.be/B19qH3XFnxY?long=yes

הפאי הוא מספר אי רציונאלי, מציין את היחס בין היקף מעגל לקוטרו. זהו מספר מסתורי, שמתמטיקאים וחובבי מתמטיקה מוקסמים ממנו כבר דורות רבים. ערכו של פאי שווה בקירוב ל 3.14.

הפאי מסומן באות היוונית π. הבבלים, ממציאי הגלגל, גילו אותו כבר לפני ששת אלפים שנה. התגלית של התופעה המרתקת של פאי, הייתה שבכל גודל מעגל שהוא, תוצאת החילוק של היקף המעגל ברדיוס שלו תהיה תמיד אותו המספר. 4000 שנה אחריהם, הצליחו מדעני מצרים העתיקה להגיע לערך מקורב של פאי. ארכימדס היווני הציג לראשונה, כבר במאה ה-3 לפני הספירה, שיטה שמאפשרת לאמוד את π.

הראשון שהצליח לחשב את פיי בדיוק גבוה היה אויילר. פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי סייע לו מאד והוא חישב את פאי עד 153 ספרות אחרי הנקודה. כמו הרבה דברים שאויילר תרם למתמטיקה, הוא גם זה שהעניק לפיי את שמו.

כיום, בעידן המחשב, המתמטיקאים עובדים על אלגוריתמים ונוסחאות אלגנטיות לחישוב פאי. השיא שנקבע עד 2011 הוא של 10 טריליון ספרות אחרי הנקודה!


הנה סרטון על משמעותו של הפיי (מתורגם):

http://youtu.be/9a5vHXsUvUw?t=13s


שיר לימודי באנגלית, להיכרות עם חישוב פאי:

http://youtu.be/eiHWHT_8WrE


מלחין שהחליט להלחין את המספר וכך לזכור אותו:

https://youtu.be/wM-x3pUcdeo


והביטוי המוסיקלי של המספר פאי ויחס הזהב שבנוי עליו:

https://youtu.be/9mozmHgg9Sk?long=yes

כנער במאה ה-17, שרצה לבלות זמן רב יותר עם אביו העסוק בחישובי מיסים עבור מלך צרפת, הוא המציא מכונת חישוב מכנית שתקל על אביו את החישובים החשבוניים ותפנה לו זמן לשחק איתו - עם בנו, בלז פסקל (Blaise Pascal).

ואכן, גם כשגדל היה הצרפתי בְּלֶז פסקל איש מדע רב-תחומי פעיל ומבריק. הוא פעל כמתמטיקאי, פיזיקאי ופילוסוף. מי שכבר מילדותו התעניין במספרים ובחשבון, הצליח ללמד את עצמו את חוקי הגאומטריה ומצא פתרונות מקוריים לבעיות גאומטריות שחלקן העסיקו מתמטיקאים מבוגרים. כמי שהחל מוקדם, הוא גם מת מוקדם. בגיל 39 הוא סיים את חייו, ובכל זאת הספיק לא מעט.

פסקל השתמש בכל כשרונו המתמטי כדי לבנות את מכונת החישוב המכאנית, אולי הראשונה בהיסטוריה - מכונת ה"פסקלין". המכונה שפיתח כדי לסייע בחישובי המס של אביו, נציב מס מטעם המלך, הייתה גאונית לזמנה וידעה לבצע פעולות חיבור וחיסור באמצעות גלגלי שיניים.

במאה ה-20 ידעו ראשוני המחשב להוקיר אותו כשקראו על שמו את שפת התכנות "פסקל".

אבל פסקל המגוון לא עסק רק במכונות חישוב שהקדימו את זמנן. הוא גם ניסח את הבסיס לתורת ההסתברות, ביחד עם המתמטיקאי פרמה. תורת ההסתברות שיצרו השניים היא מיסודות המדע המודרני.


הנה קצת על פסקל:

https://youtu.be/vu0nVuntD7g


סרטון על חייו:

https://youtu.be/IDMdnJDN1f4


הסבר המשולש של פסקל (ללא מילים):

http://youtu.be/YUqHdxxdbyM


והביוגרפיה המורחבת מעט של פסקל:

https://youtu.be/Tu1xNSEemuc

הלוגיקן והמתמטיקאי יליד אוסטריה, קורט גדל, היה גאון ומגדולי הלוגיקאים. רבים רואים בו את גדול הלוגיקאים מאז אריסטו. התגלית הגדולה בקריירה שלו הייתה צמד "משפטי אי השלמות של גדל". בתפיסה כמעט רוחנית, הוא הצליח לחשוף בעיה שאין לה פתרון בהשלטת שיטה בחשיבה המתימטית. גדל ראה בכך הוכחה לקיומה של אמת נצחית, שבן האנוש יכול לתפוס רק את הקצה שלה, מבלי יכולת להכילה.

גדל היה גם חבר קרוב ביותר של אלברט איינשטיין בסוף חייו. על אף גאונותו, הוא נחשב תמהוני וסבל מפראנויה. זוהי מחלת נפש שגם תביא למותו, כתוצאה מתת-תזונה שנבעה מחשש שמנסים להרעילו ושהביאה לכך שהפסיק לאכול לחלוטין.


הנה סרטון קצר על תיאוריית חוסר השלמות של גדל:

http://youtu.be/xjT6x8yZvpY


וקורט גדל, מי שכונה הלוגיקן הגדול ביותר מאז אריסטו:

http://youtu.be/B2DY8WvSOLU?t=21s

סמל האינסוף הוא ∞. הוא נראה כ"ספרה 8 שוכבת" ולהיסטוריונים לא ברור מדוע הוא נבחר לייצג את מושג האינסוף החמקמק כל כך.

אולי משום כך הוא פופולרי בתרבות המערבית ורק לאחרונה בחרה פייסבוק בסמל הזה לייצג את Meta, החברה החדשה שתנהל את כל הטכנולוגיה שלה.

נראה שהסמל נבחר במאה ה-17, על ידי המתמטיקאי האנגלי ג'ון ואליס, שעסק בפיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי.

מקור הרעיון לסמל זה לא ברור. אולי צורת הספרות הרומיות העתיקות CIƆ, שמסמנות את המספר 1000 שמשמעותו בתרבות הרומית "הרבה". סברה אחרת קושרת אותו לאות היוונית האחרונה, שסמל האינסוף מזכיר - אומגה ω. אחרים טוענים שצורת סמל האינסוף מזכירה את טבעת מביוס שאינה נגמרת (ראו באאוריקה בתגית "טבעת מביוס") והיא גם זו שנתנה לו את השם הלטיני "למינסקוס" (lemniscus) שפירושו רצועה.

יש גם הקושרים את סימן האינסוף לסמל הפגאני (האלילי) העתיק אורובורוס (Ouroboros), שהוא הנחש הבולע את זנבו. בתרבויות רבות סימן סמל האורובורוס מחזוריות אינסופית, שאומרת שהכל חוזר שוב ושוב ושום דבר לא מסתיים, אלא מתחיל מחדש..


אין סרטון על סמל האינסוף אז תירגעו:

http://youtu.be/zj4azK2DcK4


הרצאונת על האינסוף והסמל שלו:

http://youtu.be/mXnP7CtvC-A


כינוס שלם בנושא:

http://youtu.be/KDCJZ81PwVM


ומסתבר שסמל האינסוף הוא אמצעי מצויין להירגע:

http://youtu.be/cn7559OzYEs

מספר ראשוני (Prime number) הוא מספר טבעי, כלומר מספר שלם וחיובי, שמתחלק לרק בעצמו וב-1 ללא שארית. במילים אחרות, מספר ראשוני לא יכול להיות לעולם מכפלה של שני מספרים טבעיים שקטנים ממנו.

למעשה, המספרים הראשוניים הם אבני הבניין של כל המספרים, כי ממספרים ראשוניים ניתן להרכיב, על ידי פעולת כפל, כל מספר טבעי בעולם.

למספר ראשוני יש רק שני מחלקים, כלומר שכשהוא מתחלק בהם התוצאה היא מספר שלם: או המספר עצמו או 1.

המספרים הראשוניים הראשונים הם: 2, 3, 5, 7 וכן הלאה. מספרים טבעיים שאינם ראשוניים נקראים מספרים פריקים.

המספר 1 עצמו אינו ראשוני וגם לא פריק. המספר 2 הוא המספר הזוגי הראשוני היחיד שקיים. כל המספרים הזוגיים האחרים מתחלקים ב-2 ולכן הם מספרים פריקים.

הנה רשימה של 100 המספרים הראשוניים הראשונים:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541


הנה עולם המספרים הראשוניים:

http://youtu.be/9pgA-H77BLc


כך מגלים את כל המספרים הראשוניים עד מספר מסוים:

http://youtu.be/V08g_lkKj6Q


כך אפשר ללמוד את זה:

http://youtu.be/Alm6SRglB5k?t=45s


ההוכחה של אוקלידס היווני שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים:

http://youtu.be/FDFcqaYe3F0


ודיון על האינסופיות של המספרים הראשוניים:

http://youtu.be/ctC33JAV4FI

ספרת ביקורת בתעודת זהות נועדה למנוע שגיאות בכתיבת המספר. כן, בניגוד למה שרבים חושבים, אין לה כלל תפקיד של אבטחה.

לחישוב ספרת הביקורת משתמשים באלגוריתם שנקרא אלגוריתם לוהן (Luhn), על שמו של איש מעבדות IBM בשנות ה-50 שפיתח אותו.

החישוב הוא זה: הימנית מתשע ספרות של מספר הזהות בישראל היא ספרת הביקורת.

לכל אחת משמונה הספרות הראשונות נותנים משקל - כל ספרה זוגית מוכפלת ואי זוגית לא. כלומר, המשקל יהיה 1 (לספרה ראשונה), 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2.

מכפילים כל ספרה במשקל שלה ואז מחברים את כל הספרות של התוצאות יחדיו. אגב, שימו לב שאם התוצאה של הכפלת הספרה במשקלה היא בת שתי ספרות, מסכמים כל אחת משתי הספרות של התוצאה בנפרד. 12 למשל, תחובר כ-1 ואחריו 2.

את הסכום שמתקבל משלימים לכפולה הקרובה של 10, כלפי מעלה. אם הסכום שהתקבל הוא 34 למשל, ההשלמה תהיה ל-40 ולכן היא 6. זוהי ספרת הביקורת.

אז זהו. כך מחברים את ספרת הביקורת במספר תעודת הזהות שלכם. אגב, ספרת ביקורת יש גם במספר של כרטיס אשראי, מספרי ברקוד ובמספר חשבון הבנק שלכם.


הנה חישוב של מספר כרטיס אשראי (זהה לת"ז):

https://youtu.be/Yr9s5NjsVAo


ושל ספרת ביקורת בברקוד:

https://youtu.be/4C3uwfoR88c

פייר דה פרמה היה כנראה גדול חובבי המתמטיקה. הוא היה בכלל עורך דין ובמתמטיקה הוא עסק בתור תחביב. פרמה התפרסם בזכות עבודתו בתורת המספרים. בעיקר זכור "משפט פרמה" שטוען כי למשוואה מסוימת אין פתרונות שלמים שאינם אפס עבור המשתנים שלה. מתמטיקאים רבים ניסו במהלך השנים להוכיח את המשפט ורק בשנת 1994 הוא הוכח סופית.

פרמה ובלז פסקל הם שהניחו את היסודות לתורת ההסתברות. פרמה גם הניח עקרון בסיסי באופטיקה גיאומטרית, שקובע שהאור בוחר במסלול המהיר ביותר.



הנה סרטון על פרמה:

http://youtu.be/Ij01HGgxnkA


ותיאור ויזואלי למשפט האחרון של פרמה:

http://youtu.be/xG63O03lWZI

אי-ודאות היא אחד הדברים שמלווים אותנו בחיים. לא פעם אנו חשים בחוסר וודאות, מכיוון שאין לנו יכולת לחזות את מזג האוויר, תוצאות של אירועי ספורט, או תוצאות של בחירות. למצבים כאלו יש כלי שיכול לסייע - הִסְתַּבְּרוּת (Probability).

הסתברות היא מושג מתמטי שמבטא את הסבירות שמאורע מסוים יתרחש. לעיתים יש לנו מושג מה סביר שיקרה, גם אם איננו יודעים בודאות מה יקרה. תורת ההסתברות מכמתת את "הסביר" ומודדת אותו באופן מדויק.

מדידת הסתברות של מאורע מסוים היא בסקאלה שבין 0 ל־1. מאורע בלתי אפשרי מקבל הסתברות 0, בעוד הסתברות 1 ניתנת למאורע שיש ודאות מוחלטת שיקרה. לעיתים קורה שמשתמשים באחוזים, בין 0% ל־100%, כדי לבטא הסתברות.

היסטורית יש להסתברות עבר ארוך. עוד במאה ה-16 עסקו בחישובי הסתברויות. מאז הלך הענף הזה במתמטיקה והתפתח, כשהשימוש בו מסייע בתחומי הכלכלה, העסקים, ההימורים ועוד. כך למשל קובעות חברות ביטוח את מחיר ביטוח החיים על פי ההסתברות שהמבוטח ייפגע או ימות במהלך תקופת הביטוח. חזאי מזג אוויר בוחנים את ההסתברות לגשם, בכדי להציע תחזית אמינה. מהמרים נעזרים בחישובים כדי לדעת את הסיכויים שיזכו בהגרלות או משחקים וכך הלאה.


הנה סרטון על הדרך שבה ניתן לראות הסתברות (מתורגם):

https://youtu.be/Kgudt4PXs28


הדגמת ההסתברות דרך ניחושים (מתורגם):

https://youtu.be/3V2omKRX9gc


בעיית מונטי הול מדגימה יפה את ההסתברות וכמה שאינה אינטואיטיבית (עברית):

https://youtu.be/4stFDiXWuYk


מה ההסתברות לזכות בפיס כלומר בלוטו (עברית)?

https://youtu.be/_vyjrgU7hng


ודוגמה להסתברות שנוגדת את האינטואיציה שלנו (מתורגם):

https://youtu.be/Ghbkv0MKV-w

ממוצע, חציון ושכיח הם מספרים שמחושבים מתוך קבוצת מספרים:

הממוצע מתאר את "מרכז" קבוצת המספרים מבחינת גודלם. הוא המספר הדמיוני שכולם היו, אם הם היו שווים בגודלם.

החציון הוא המספר האמצעי בגודלו מבין קבוצת מספרים, כשהיא מסודרת לפי הסדר.

השכיח הוא המספר שניתן למצוא הכי הרבה בקבוצת מספרים.

אפילו שנראה אולי שמדובר בסתם עניינים של חישוב, ההבדלים בין המושגים הללו חשובים מאד. פעמים רבות מזכירים את הממוצע בהקשרים כלכליים. למשל כשמציינים שהשכר הממוצע במשק עלה. יש בכך נסיון לומר שאנשים מרוויחים שכר גבוה יותר, אבל מספיק שהמנהלים העלו את שכרם כדי "למשוך" את השכר הממוצע למעלה ולתת אשליה של עליה בשכר הכללי. מבט בחציון ייתן תמונה מדויקת יותר, כי שכרו של האדם האמצעי בין המשתכרים לא משתנה ומשקף טוב יותר את מצב השכר הכללי.


הנה "שיר הממוצע" שמסביר מהו הממוצע (Mean) והחציון (Median), שכיח (mode):

http://youtu.be/QH2obAPwfqk


עוד שיר שמלמד את המושגים הללו:

http://youtu.be/uydzT_WiRz4


על ההבדלים המתמטיים ביניהם:

http://youtu.be/onSebaCChTg


וסרטון שמסביר כמה הממוצע הוא דבר מטעה וכמה כדאי להכיר את החציון למשל (עברית):

http://youtu.be/cKHAfiqHwZc

המתמטיקאי החשוב ביותר של המאה ה-18 היה לאונרד אוֹילֶר השווייצרי, שאת רוב חייו בילה ברוסיה ובגרמניה. עם 886 ספרים ומאמרים שפרסם בחייו, חלק גדול מהם בשנים שבהן סבל מעיוורון, הוא נחשב מהפוריים שבמתמטיקאים.

אוילר תרם תרומה מכרעת לתחומים רבים ומגוונים במתמטיקה. הוא גם היה זה שהכניס לשימוש סימנים מתמטיים רבים שמקובלים כיום, כמו למשל, בקביעת האות היוונית פיי לסימון היחס בין הקף של מעגל לקוטר שלו. אוילר הוא גם המייסד של תורת הגרפים, שחשיבותה בחייו לא נראתה אולי גדולה מדי, אך בעידן המודרני יש לגרפים חשיבות רבה וכמעט אי-אפשר לראות התנהלות מדעית, הנדסית וכלכלית ללא הגרפים שמציגים רעיונות ותהליכים כל כך טוב.

חידת גשרי קניגסברג היא חידה שבה יש מערכת גשרים (בעיר אמיתית, אגב) שבה רצה אוילר למצוא מסלול שעובר בכל הגשרים ופעם אחת בלבד בכל גשר.


הנה סרטון שמציג את בעיית גשרי קניגסברג (מתורגם):

https://youtu.be/nZwSo4vfw6c


קביעתו החכמה של אוילר לגבי פתרונה (עברית):

http://youtu.be/-LqxT1SMgR0?t=3m13s


יצוג מוסרט של בעיית הגשרים של קניגסברג:

http://youtu.be/2qBZ1-9VuLA


וסרטון קצר על לאונרד אוילר:

http://youtu.be/Ty6ejK1rAkg

מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.

החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".

אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..


ישנם כללים להעברה:

א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.

ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.


הנה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:

http://youtu.be/BMkOBNZHcIs

אינסוף הוא מספר שהוא כה גדול, עד שאין אפשרות למדוד אותו. הוא מסומן בסימן המזכיר את הספרה 8 שוכבת.

בחלל אנו אומרים שהמרחק אל קצה היקום הוא אינסופי, לא בגלל שאנו יודעים שאין ליקום סוף, אלא מפני שלא נראה שאי-פעם נוכל למדוד אותו.

במתמטיקה יכול האינסוף (Infinity) להיות גם גודל של קבוצה שאינה סופית, שאין לה סוף, כמו למשל מספר הספרות שאחרי הנקודה במספר פיי, שמתחיל ב-3.14159 ונמשך עוד ועוד, ברצף של מספרים ללא סוף...

האינסוף המתמטי יכול גם לתאר משהו שמשמעותו היא "כמה שנרצה", כרצוננו.


הנה דיון על היקום ה"אינסופי":

https://youtu.be/dG1JpC5jels


כמה גדול הוא האינסוף (מתורגם)?

https://youtu.be/UPA3bwVVzGI


באנגלית על האינסוף (מתורגם):

https://youtu.be/45pTq0ADz6o


הסבר מתקדם על האינסוף במתמטיקה (עברית):

https://youtu.be/JJvv2HbXAd0


הרצאה ממש מלומדת על האינסוף (מתורגם):

https://youtu.be/bOC07fLNEhk


ודיון מעט ארוך על האינסוף ומה שאחריו:

https://youtu.be/SrU9YDoXE88?long=yes

הפרקטל הוא צורה שככל שנביט בה קרוב יותר, נראה את אותה הצורה חוזרת על עצמה בכל קנה מידה. זוהי צורה גאומטרית שמורכבת פנימה, שוב ושוב, מעותקים של עצמה, מוקטנים יותר ויותר. ככל שנתבונן לתוך חלקי הפרקטל, נראה שם תמיד חלקים הדומים לו, כך שכל פרט זעיר בצורה, דומה לצורה המקורית והגדולה ביותר.

בגרפיקה ממוחשבת עושים המון שימוש בפרקטלים. הסיבה היא שנוסחאות מתמטיות קלות יחסית מאפשרות ליצור הרים ומרקמים מורכבים ליצירה בצורה אחרת. גם בפיזיקה משתמשים בפרקטלים למחקרים על תורת הכאוס וכדומה.

בטבע אפשר לראות מבנים שונים שדומים לפרקטלים. מבנים בטבע כמו צורת הכרובית, מבנה העורקים של העלה, התפצלות כלי הדם בגוף, פתית שלג או צורת קו חוף (במיוחד של הפיורדים בנורווגיה) - כל אלה מזכירים מאד את הפרקטלים ומראים שבטבע יש שיטה גם בדברים שאינם מובנים בצורה מתמטית.


הנה סרטון הסבר למושג הפרקטל (מתורגם):

http://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q


הסבר מילולי על הפרקטלים - מהתבניות היותר מעניינות שבטבע (עברית):

http://youtu.be/ofA2tBvcbhw?t=3m38s


המתמטיקה של הפרקטלים בסרטון מקסים לפי ז'אנר הסרט האפל (מתורגם):

https://youtu.be/0C75vRVL5lE


הפרקטלים שבטבע:

https://youtu.be/XwWyTts06tU


עוד פרקטלים בטבע:

https://youtu.be/dZM45mfJQ40


להדגמת הרקורסיה הפשוטה, הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר:

http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s


ופרקטל מתמטי ללא סוף, בגרפיקה ממוחשבת ואנימציה מוסיקה נהדרים:

https://youtu.be/hRrBnI5L0u8?long=yes

איך הגיעו הספרות הערביות לחשבון בכל העולם?
מי הביא את ספרות החשבון הערביות למערב?


מה מקורם של עשרת הסימנים (9,8,7,6,5,4,3,2,1,0) המוכרים כל כך בחשבון?

האם הן ספרות ערביות, כמו שמכנים אותן לא פעם?

ובכן, ספרות החשבון שהן כה חשובות במתמטיקה העולמית נקראות כיום ספרות הודיות-ערביות או הינדו-ערביות. השיטה העשרונית היא עתיקה מאד ומופיעה אפילו בתנ"ך, אבל את ספרות החשבון ואת שיטת הספירה שבהן משתמש העולם כולו אנו חבים להודים.

ההודים היו גם הראשונים שהקצו סימן למספר אפס. שיטת סימון הספרות ההודיות חוללה מהפכה בחישובים המתמטיים ואפשרה לראשונה חישובים במספרים גדולים מאד. החידוש בשיטת הספרות הזו היה הייצוג של המספרים על ידי מיקומה של הספרה, מיחידות ועשרות, מאות, אלפים וכן הלאה... עובדה זו פישטה את השימוש במספרים וקידמה את המתמטיקה באופן משמעותי.

מההודים למדו את הספרות הללו מתמטיקאים ומדענים ערביים. ספר בערבית שפרסם במאה ה-8 המתמטיקאי הפרסי הנודע וממציא האלגוריתם מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי, הביא לאימוץ ספרות החשבון ההודיות באופן משמעותי בידי הערבים. ח'ואריזמי היה זה שהכניס את המתמטיקה לשימוש בעולם המדע הערבי, המדע המתקדם ביותר של ימי הביניים. הוא גם הטמיע את ספרת האפס, שהפכה להיות מהחשובות והשימושיות במתמטיקה העשרונית ובמדע.

כ-300 שנה לאחר מכן, כשכבשו במאה ה-11 המורים (ערבים מצפון אפריקה) את ספרד, הם הביאו את הספרות לאירופה. בתחילת המאה ה-13 השתמש בהן המתמטיקאי האיטלקי הידוע לאונרדו פיבונאצ'י ב"ספר החשבונייה" (Liber abbaci) שפירסם. כך, בדיוק בשלב שבו אירופה הופכת למרכז מדעי ותרבותי, יהיה זה פיבונאצ'י שיפיץ את הספרות ההודיות ערביות לשימוש באירופה ובכך ידחוף להחלפה סופית של הספרות הרומיות, המיושנות והלא יעילות לחישובים מורכבים. ובכך הם יהפכו לספרות החשבון שבהן משתמשים בעולם כולו עד היום.

כדי להבין את גודל החידוש בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, המייחסת משמעות למיקום הספרה במספר, נשווה אותה לשיטת הספירה הרומית שהייתה פופולרית ביותר בעולם באותה התקופה. השיטה הרומית התבססה על עיקרון ההקבצה לפיו יש לחבר את הספרות המוצגות לקבלת המספר הסופי, בשיטה זו למיקום הספרות אין השפעה על המספר עצמו. לדוגמא בספרות רומיות המספר 18 נכתב כך: XVIII. האות X - מייצגת את המספר 10. האות V - מייצגת את המספר 5. והאות I - מייצגת את המספר 1. שיטת ההקבצה משמעותה שהמספר XVIII מיוצג על ידי חיבור הספרות X+V+I+I+I, כלומר, 10+5+1+1+1, ותוצאת חיבור הספרות היא המספר המיוצג ובמקרה שלנו - 18.

ישנן כמה בעיות בשיטת הספרות הרומית, אחת מהם היא שהיא מקשה מאוד על שימוש במספרים גדולים, לדוגמא המספר 1888 יכתב בספרות רומיות כ-MDCCCLXXXVIII. לעומת זאת בשיטת הספירה ההינדו-ערבית, הספרות מקבלות משקל שונה בגלל המיקום שלהם. ספרה במיקום 2 תקבל אפס אחד נוסף, ספרה במיקום 3 תקבל 2 אפסים, ספרה במיקום 4 תקבל 3 אפסים וכן הלאה. לדוגמא הסימון 1888 משמעותו בעצם 1000+800+80+8. ומובן מדוע השימוש בספרות ההודיות-ערביות, מבוססות המיקום, נוח יותר להבנה, לכתיבה ולביצוע חישובים מתמטיים, בהשוואה לשיטה הרומית.


הנה סרטון שמספר על הספרות ההודיות-ערביות:

http://youtu.be/gulApUKih2w?t=1m34s


המספרים הללו יצרו את מערכת המספרים המודרנית (מתורגם):

https://youtu.be/cZH0YnFpjwU


הספרות הרומיות שהיו נהוגות לפני כן (מתורגם):

https://youtu.be/1Rhd1OQcTGA


תולדות המתמטיקה העתיקה והמצאת האפס בידי ההודי ברהמהגופטה (עברית):

https://youtu.be/vOA4nelKn7s


תרומתו של פיבונאצ'י:

http://youtu.be/03uC9bhX0Rc


מצגת וידאו שמלמדת על הספרות ההודיות-ערביות:

http://youtu.be/gs4DCei79N8


הסבר להיגיון שבספרות, כשבכל אחת יש את מספר הזוויות שהיא מציינת:

http://youtu.be/XvekfZ0uTpc


ותולדות החשבון או ההיסטוריה של המתמטיקה, שמראה את חשיבותן בהתפתחות המדע הזה:

http://youtu.be/cy-8lPVKLIo

לא שחסרים מספרים גדולים במתמטיקה, אבל המפורסם שבמספרים הגדולים הוא ללא ספק הגוגול (Googol). גוגול הוא המספר שהיה ההשראה לשם שבחרו מקימי חברת האינטרנט גוגל, אחת החברות המצליחות בכל הזמנים, לחברה שהקימו. אבל אפילו הרווחים האדירים של חברת האינטרנט "גוגל" לא מתקרבים אליו.. גוגול הוא 10¹⁰⁰ (10 בחזקת 100) והוא נכתב כ-1 עם מאה אפסים.

השם "גוגול" הוצע למספר העצום על ידי האחיין בן ה-9 של המתמטיקאי אדוארד קסנר. קסנר רצה להמחיש מספר גדול באמת לתלמידי המתמטיקה שלו ונדרש לשם "חיבה" בשבילו. הוא הצליח - כיום כל תלמיד מתמטיקה מכיר אותו.

רוצים לדעת כמה גדול הוא הגוגול? - דמיינו שאם נספור את כל האטומים הקיימים ביקום כולו המספר גוגול עדיין יהיה גדול מהם, זאת מכיוון שעל פי הערכות המדענים מספר האטומים שביקום כולו הוא כ- 10⁸⁰

מיד אחרי שקנסר ואחיינו הגדירו את הגוגל הם הגדירו גם את המספר גוגלפלקס (Googolplex). המוגדר כספרה 1 ואחריה Googol אפסים. ניתן להציג אותו בצורה מתמטית גם כך 10^googol או כך 10 ^(10100).


הנה המדען הגאון קרל סגן מראה בצורה ברורה כמה עצום גודלם של המספרים גוגול וגוגולפלקס:

https://youtu.be/0lFQOmb6mVs


עוד סרטון על המספרים גוגול וגוגולפלקס:

https://youtu.be/8GEebx72-qs


ואפשר פשוט לשיר את גוגול והוא יירשם מעצמו:

https://youtu.be/5JOAoiX1LHA

משולש שרפינסקי, שנקרא גם ספוג שרפינסקי או משולש סירפינסקי, הוא אחד הפרקטלים המפורסמים. את ההיכרות עימו עשו המתמטיקאים בשנת 1915. המשולש קיבל את שמו מהמתמטיקאי הפולני שתיאר אותו לראשונה, ואצלב שרפינסקי.

משולש שרפינסקי הוא דוגמה מצוינת ופשוטה במיוחד לפרקטל, צורה שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה, עד אינסוף. הוא בנוי משלושה עותקים שלו שהוקטנו בחצי שוב ושוב.


הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר, להדגמת הרקורסיה הפשוטה:

http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s


סרט אפל מתורגם ומדהים על הפרקטלים ומשולש שרפינסקי בתוכם (מתורגם):

https://youtu.be/0C75vRVL5lE


סרטון בגרפיקת מחשב של "משולש סירפינסקי" שנבנה ברקורסיה בתלת-מימד:

http://youtu.be/P5EkdJRtF-4


משולש שרפינסקי מסוכריות של החג הנוצרי המעט מפחיד "ליל כל הקדושים":

http://youtu.be/z8ZWlUamNPI


וכך יוצרים פרקטלים כמו משולש סרפינסקי:

http://youtu.be/XwWyTts06tU?t=1m22s

לאונרדו מפיזה, או פיבונאצ'י כמו שקרא לעצמו, היה כנראה גדול המתמטיקאים של ימי הביניים. במיוחד הוא ידוע כמי שגילה את סדרת המספרים המכונה על שמו "סדרת פיבונאצ'י".

כל איבר בסדרת פיבונאצ'י שווה לסכום של שני האיברים הקודמים לו. הוא לא הפסיק להתפעל מהקסם המתמטי של הסדרה הזו, כמו זה שביחסים בין ריבועי המספרים או ביופי של מה שהיא יוצרת בגאומטריה למשל, אבל אפילו הוא לא שיער כמה תופעות טבע מאופיינות במספרי פיבונאצ'י, כמו למשל העובדה שמספר עלי הכותרת בצמחים רבים הוא תמיד מספר פיבונצ'י, כמו 5, 8, 13 וכדומה.

מפתיע? - אז שימו לב לתופעה מרתקת אפילו יותר.. מסתבר שמספר הגרעינים שבפרח החמניה הם מספרי פיבונצ'י עוקבים. אם תביטו היטב, הם נראים כמו 2 ספירלות, שאחת היא בעלת 89 גרעינים והשנייה בת 55 גרעינים - שני מספרים עוקבים בסדרה (אגב, זה כך גם באצטרובלי עץ האורן).

ולמה זה קורה? - ובכן, נראה שהספירלות הללו מופיעות בפרחים כאלה ובאיצטרובלים, כדי למנוע מצב שבו הגרעינים יהיו צפופים מדי ויתקשו להתפתח. לכן הטבע מרבה אותם במספרי פיבונצ'י וכך נוצר המספר המרבי של גרעינים, מה שיבטיח שכפול מוצלח והמשך הדורות.

וזה לא הדבר היחיד שבו פיבונצ'י נראה בצמחים כאלו. מסתבר שאפילו זווית הגדילה של העלים על הגבעול, זו שמאפשרת לעלים החדשים לצמוח באופן שיקבלו הכי הרבה אור שמש, אפילו היא מתמטית ומדויקת. למעשה היא ידועה בתור יחס הזהב, כ-1.618. אם נחלק 360 מעלות של הגבעול העגול במספר 1.618 נקבל בדיוק את המיקומים שהטבע בחר לגדילת העלים על הגבעול. בינגו! - שוב הטבע הצטיין במתמטיקה והשתמש במספרי פיבונצ'י וביחס הזהב שנובע ממנו כדי להיטיב את גדילת הצמחים.

אז האמת שאין כאן פלא, חוץ מפלאי הטבע כמובן. סדרת פיבונאצ'י, שאנו כה מתפעלים ממנה כאן, היא הדרך שבה מאורגנים ומשוכפלים ביעילות מרכיבים רבים בטבע ובה פועלים ביעילות רבה כוחות טבעיים שונים. כשאנו מוצאים בחמניה את מספרי פיבונאצ'י, לכל היותר נוכל לומר שהחמניה "גדלה כמו שצריך".. אז אולי זה מופלא, אבל לא יותר מהפלא הבלתי נתפס של היקום כולו!


הנה המתמטיקה של החמניות:

https://youtu.be/z9d1mxgZ0ag


היופי המתמטי שגלום בסדרת מספרים פשוטה לכאורה זו (מתורגם):

https://youtu.be/SjSHVDfXHQ4


והגרעינים האלה שעל פרח החמנייה - ככה הם הופכים לגרעינים שחורים (עברית):

https://youtu.be/xLCkC0oOFqw