» «
בלז פסקל
מי היה בלז פסקל?



כנער במאה ה-17, שרצה לבלות זמן רב יותר עם אביו העסוק בחישובי מיסים עבור מלך צרפת, הוא המציא מכונת חישוב מכנית שתקל על אביו את החישובים החשבוניים ותפנה לו זמן לשחק איתו - עם בנו, בלז פסקל (Blaise Pascal).

ואכן, גם כשגדל היה הצרפתי בְּלֶז פסקל איש מדע רב-תחומי פעיל ומבריק. הוא פעל כמתמטיקאי, פיזיקאי ופילוסוף. מי שכבר מילדותו התעניין במספרים ובחשבון, הצליח ללמד את עצמו את חוקי הגאומטריה ומצא פתרונות מקוריים לבעיות גאומטריות שחלקן העסיקו מתמטיקאים מבוגרים. כמי שהחל מוקדם, הוא גם מת מוקדם. בגיל 39 הוא סיים את חייו, ובכל זאת הספיק לא מעט.

פסקל השתמש בכל כשרונו המתמטי כדי לבנות את מכונת החישוב המכאנית, אולי הראשונה בהיסטוריה - מכונת ה"פסקלין". המכונה שפיתח כדי לסייע בחישובי המס של אביו, נציב מס מטעם המלך, הייתה גאונית לזמנה וידעה לבצע פעולות חיבור וחיסור באמצעות גלגלי שיניים.

במאה ה-20 ידעו ראשוני המחשב להוקיר אותו כשקראו על שמו את שפת התכנות "פסקל".

אבל פסקל המגוון לא עסק רק במכונות חישוב שהקדימו את זמנן. הוא גם ניסח את הבסיס לתורת ההסתברות, ביחד עם המתמטיקאי פרמה. תורת ההסתברות שיצרו השניים היא מיסודות המדע המודרני.


הנה סרטון על חייו של פסקל:

http://youtu.be/FBd137mrWtM


הנה סרטון שמתאר את המשולש של פסקל:

http://youtu.be/YUqHdxxdbyM
סטטיסטיקה
מהי סטטיסטיקה?



סטטיסטיקה היא תחום ידע שבו אוספים ומנתחים מידע כמותי, כדי להסיק מסקנות. כך למשל אוספים נתונים על אזרחי המדינה ומנתחים אותם וכך לומדים על חייהם, עיסוקיהם, מצבם הכלכלי ועוד. או שאוספים את נתוני הקליעה של שחקני כדורסל ואחרי ניתוח מגיעים למסקנות על הבולטים שבהם ואלו שעושים עבודה פחות טובה.

הסטטיסטיקה נחשבת מדע שאינו ניסויי, אך היא משרתת היטב את אנשי המדע. הסטטיסטיקאים משתמשים בכלים מתמטיים כדי לטפל בנתונים שלקוחים במרבית המקרים מהתחומים המדעיים של מדעי הטבע ומדעי החברה ומסייעים לגלות בהם דברים חשובים, שיכולים לתרום מאד.

אך לסטטיסטיקה יש גם מגבלות לא קטנות. למשל בכך שהיא עובדת טוב על מספרים גדולים ודי רע על מספרים קטנים. לדוגמה, הבה נביט על אדם שרגלו האחת בגיגית מים רותחים ורגלו השנייה בגיגית של מים קפואים. על פי הסטטיסטיקה יהיה מצבו טוב, שכן ממוצע החום שבין המים הרותחים והמים הקפואים יהיה נורמלי. עם זאת, ברור לנו שבמציאות אדם כזה יסבול מאד... אולי משום כך היה מי שהעיד שאמר פעם בנג'מין ד'יזראלי, ראש ממשלת בריטניה, "יש שלושה סוגי שקרים: שקרים, שקרים גסים וסטטיסטיקה"...

דוגמה נוספת לבעיה של הסטטיסטיקה היא היכולת לנבא ממדגם קטן על האוכלוסיה כולה. למשל, לא פעם חוזים הסוקרים הפוליטיים את תוצאות הבחירות. הם עושים זאת בעזרת מדגם (קבוצה קטנה שאמורה לייצג את האוכלוסיה כולה). אך לא פעם, עם פרסום תוצאות האמת, מסתבר שהם טעו. ברוב המקרים הסיבה לכך היא שסטטיסטיקה היא מנבא מוגבל ולא תמיד מדויק של המציאות.


הנה הסטטיסטיקה של 24 שעות בעולם כולו:

https://youtu.be/ovHzvkoqiZA?t=16m21s&end=22m36s


סרטון שמדגים כמה שסטטיסטיקה יכולה להטעות כשמבינים ממנה דברים לא נכונים:

http://youtu.be/cKHAfiqHwZc


על הבעיות והסבירות שסטטיסטיקה תטעה:

https://youtu.be/sxYrzzy3cq8
גדילה מעריכית
מהי גדילה מעריכית או אקספוננציאלית?



אם ניקח שטרות כסף עשויי נייר ונניח אותם זה על זה, כשכל פעם אנו מכפילים את מספר השטרות שלפנינו פי שניים, נקבל כבר אחרי 42 הכפלות הר של שטרות, כה גבוה עד שיגיע מפני הקרקע של כדור הארץ ועד לירח - מרחק מדהים של 380 אלף קילומטרים!

המספר המדהים הזה נובע מהגידול המעריכי (Exponential growth). גידול מעריכי, גדילה אקספוננציאלית, גדילה מעריכית, צמיחה מעריכית, גידול גאומטרי, טור גאומטרי ועוד הרבה שמות דומים - כולם מייצגים קצב גידול תלול במיוחד, שגדל בהכפלות ומשום כך הוא מהיר במיוחד.

לגידול האקספוננציאלי יש דוגמאות רבות בטבע. מסתבר שאם לא יאיימו עליהם מחלות או טורפים, תגדל אוכלוסיית החיידקים גדילה מעריכית, שתחדול לגדול רק כשייגמרו חומרי המזון, או שתורעל מחומרי הפסולת שהיא תשאיר אחריה. באופן דומה יגדלו בגידול אקספוננציאלי גם אוכלוסיות של וירוסים שאין מולם חיסון, שמרים שהם פטריות ומתפתחים במהירות וחרקים שבבית הגידול שלהם יש מזון ואין איום עליהם.

גם בני אדם משתמשים בצמיחה מעריכית שכזו, במיזמים אנושיים שונים. "חוק מור" למשל, קבע שמהירות המחשבים מוכפלת כל שנה וחצי, מה שהופך את מהירותם לצומחת צמיחה אקספוננציאלית. כך גם מתנהגת ריבית דריבית, שנותנת החזר מעריכי למלווים, בתנאי כמובן שהתנאים נשארים קבועים, כולל שער הריבית.

משווקים בשיווק רב-שכבתי, כמו גם נוכלים ב"תרמיות פונזי" וב"משחקי פירמידה" - גם הם בונים את העיסקה על כך שכל מצטרף מגייס מספר אנשים, שיגייסו כל אחד כמה אחרים וכך הלאה. כך צומחת ההכנסה של כל משתתף, לא רק מרווחיו שלו, אלא גם מהמתגייסים שיצטרפו במורד השרשרת שמתחתיו - מגוייסיו, מגוייסיהם וכל מי שיגויס בהמשך.

בפיסיקה התגלה שבתגובת שרשרת גרעינית, שהיא הבסיס לכלי נשק גרעיני, פוגע כל גרעין אורניום שעבר ביקוע גרעיני, בגרעינים אחרים וגורם לביקועם, מה שיגרום לכל אחד מהם לפגוע בגרעינים אחרים ולבקעם וחוזר חלילה.


הנה סרטון מתורגם שמדגים את הגדילה המעריכית:

https://youtu.be/AmFMJC45f1Q


התחזית של מלתוס מסוף המאה ה-19 על התפוצצות עתידית של אוכלוסיית העולם:

http://youtu.be/vZVOU5bfHrM


יש מי שמסביר בעזרת הצמיחה המעריכית מדוע כדאי לבנות מסגרות פוליטיות "ללא כוכבים":

https://youtu.be/Exg6ZdUpvkw


ושיעור באקדמיית קאן על גדילה מעריכית:

https://youtu.be/VZTDP9MvqLw?long=yes
האורז על לוח השחמט
איך גרגרי אורז על לוח השחמט רוששו את המלך?



האם שאלתם את עצמכם פעם למה כדאי ללמוד מתמטיקה? - אם היה לכם ספק, אולי תסייע לכם האגדה שמסופרת בצורות שונות על ממציא משחק השחמט שהוזמן אל קיסר סין. הקיסר שאל מה ירצה כאות תודה על המשחק המופלא. לממציא השחמט הייתה בקשה מוזרה ודי צנועה: תן לי גרגרי אורז על משבצות לוח השחמט, כשבכל משבצת יש כמות כפולה של גרגרים מהקודמת לה - גרגיר אורז על המשבצת הראשונה, שני גרגירים על השנייה, ארבעה במשבצת השלישית וכן הלאה.

הקיסר, שהתרגל לבקשות גדולות יותר, שאל אם זה כל מה שירצה והממציא השיב לו בצניעות שדי לו בגרגירי האורז שביקש. ״כמה טיפש יכול אדם להיות...״ חשב ודאי הקיסר והסכים לבקשתו.

אבל מה גדול היה ההבדל שבין הקיסר הבור והממציא החכם. כל בעל ידע בסיסי במתימטיקה יזהה בחישוביו שהכמות של האורז שתונח על לוח השחמט היא בלתי נתפסת וגדלה באופן אקספוננציאלי, דוגמה מצוינת לגידול מעריכי בחשבון - מגרגר אחד ושני גרגרים במשבצות הראשונות תגדל הכמות לקילוגרם אורז במשבצת ה-15, טון אורז במשבצת ה-25, 1000 טון במשבצת ה-35 וכך הלאה.. במשבצת ה-55 יונח כל יבול האורז השנתי של העולם כולו ובמשבצת האחרונה תצטרך להיות כמות אורז שהיא גדולה מכל האורז שגדל אי-פעם בתולדות האדם!

אז אם יש לכם תכניות להמציא משהו גאוני והשליט שלכם הוא נדיב במיוחד, אולי כדאי לשקוד על לימודי המתמטיקה...


הנה סרטון שמספר על אגדת האורז ולוח השחמט:

http://youtu.be/t3d0Y-JpRRg


הנה סרטון נוסף שמסביר את הסיפור במונחים החשבוניים של הגדילה המעריכית:

http://youtu.be/D9DvjkMMULw

מתמטיקה

ג'ון נאש
מי היה המתמטיקאי שמחלת נפש לא הפריעה לו לזכות בפרס נובל?



ג'ון נאש הבן הוא מהאנשים המעניינים בעולם המדע. נאש הוא מתמטיקאי וכלכלן אמריקאי, שזכה בפרס נובל לכלכלה לשנת 1994 על מחקריו החדשניים בתורת המשחקים. הוא היה רק בן 20 כשהפרופסור שלו בפקולטה למתמטיקה באוניברסיטת פרינסטון כתב עליו "האיש הזה הוא גאון".

אבל נאש מעניין עוד יותר מגאונותו. בגיל 30 בערך הוא לקה במחלת נפש ודיבר אל דמויות שפחד מהן כמי שמסכנות את חייו. בסוף שנות ה-50 הוא אושפז בבית חולים לחולי נפש ושם אובחן כסובל מסכיזופרניה. הוא ניסה לקבל טיפול בבית חולים לחולי נפש באירופה, אך זה לא הצליח ועד 1970 הוא אושפז לסירוגין בבתי חולים שונים לחולי נפש.

בשנת 1970 חזרה אליו אשתו לאחר גירושין של שנים. הם חיו ביחד בידידות והיא תמכה במאמציו המדעיים בצד ההתמודדות עם מחלת הנפש הקשה שלו. היא חזרה להיות אשתו לכל דבר לאחר שנאש קיבל את פרס הנובל לכלכלה וב-2001 הם התחתנו בשנית.

סרט הקולנוע מעורר-ההשראה "נפלאות התבונה" שיצא ב-2001, זכה בארבעה פרסי אוסקר. בנוסף לו יצא הסרט התיעודי "שגעון מבריק", המתעד את סיפורו של נאש.

בסוף מאי 2015 הוא נספה בתאונת דרכים.


הנה סרטון על ג'ון נאש ועל תפקידו החשוב כמי שמדגים את היכולת לפעול עם מחלה נפשית:

http://youtu.be/z_eZOxJ3lKc


הנה הנאום של נאש בסרט הקולנוע, בסצנת הזכייה בפרס נובל לכלכלה:

http://youtu.be/tWkHrzf6YhQ


הנה כמה מילים שאמר נאש בראיון על העתיד שלו:

http://youtu.be/gtHwkdh8qLw
רקורסיה
מהי רקורסיה?



רקורסיה היא קצת מורכבת להסבר אבל מאד פשוטה להבנה. מגדירים אותה כמיקוד של בעיה כללית אל בעיה "קטנה" יותר, אך זהה לזו המקורית. כך גם הגדרה רקורסיבית היא הגדרה שחייבת לפנות לאותה הגדרה, אבל בתנאים שונים. ותמיד יהיה שם תנאי עצירה, כדי שהרקורסיה לא תהיה אינסופית..

הגדרה אחרת לרקורסיה היא "הגדרת בעיה במונחים של עצמה".

רוצים דוגמה:
"אם הבנת מהי רקורסיה, חזור אל הדף ממנו הגעת. אם לא – קרא בדף זה מהי רקורסיה".

הדוגמה הזו מסבירה בדיוק את הרקורסיה, כי תנאי העצירה הוא "אם הבנת.." ואם לא אז חוזרים לאותה דוגמה כדי ללמוד מהי רקורסיה מחדש ולבסוף מבינים שהרקורסיה היא מה שאתה מתבקש לעשות..

גם מתכנתים משתמשים ברקורסיה והם מתארים פונקציה רקורסיבית כ"פונקציה שקוראת לעצמה". נכון היה יותר לומר שפונקציה כזו קוראת לעותק של עצמה. לרוב נותנים לרקורסיה כזו את הדוגמה של חישוב n-עצרת במתמטיקה (=מכפלת 1 כפול 2 כפול 3… עד כפול n).

ואגב, הנה משפט משעשע ונכון: "כדי להגדיר רקורסיה, קודם-כל צריך להגדיר רקורסיה.."


הנה סרטון שמדגים איך רקורסיה עובדת כשעושים בעזרתה גרפיקה ממוחשבת:

http://youtu.be/ghZKKaZkzrE


הנה כניסה פנימה לפרקטל - צורה גרפית שנקראת "משולש סירפינסקי" שנבנתה בפונקציה רקורסיבית:

http://youtu.be/P5EkdJRtF-4
סמל האינסוף
מה מקורו של סמל האינסוף?



סמל האינסוף הוא ∞. הוא נראה כ"ספרה 8 שוכבת" ולהיסטוריונים לא ברור מדוע הוא נבחר לייצג את מושג האינסוף החמקמק כל כך.

נראה שהסמל נבחר במאה ה-17, על ידי המתמטיקאי האנגלי ג'ון ואליס, שעסק בפיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי.

מקור הרעיון לסמל זה לא ברור. אולי צורת הספרות הרומיות העתיקות CIƆ, שמסמנות את המספר 1000 שמשמעותו בתרבות הרומית "הרבה". סברה אחרת קושרת אותו לאות היוונית האחרונה, שסמל האינסוף מזכיר - אומגה ω. אחרים טוענים שצורת סמל האינסוף מזכירה את טבעת מביוס שאינה נגמרת (ראו באאוריקה בתגית "טבעת מביוס") והיא גם זו שנתנה לו את השם הלטיני "למינסקוס" (lemniscus) שפירושו רצועה.

יש גם הקושרים את סימן האינסוף לסמל הפגאני (האלילי) העתיק אורובורוס (Ouroboros), שהוא הנחש הבולע את זנבו. בתרבויות רבות סימן סמל האורובורוס מחזוריות אינסופית, שאומרת שהכל חוזר שוב ושוב ושום דבר לא מסתיים, אלא מתחיל מחדש..


אין סרטון על סמל האינסוף אז תירגעו:

http://youtu.be/zj4azK2DcK4


הרצאונת על האינסוף והסמל שלו:

http://youtu.be/mXnP7CtvC-A


וכינוס שלם בנושא:

http://youtu.be/KDCJZ81PwVM


מסתבר שסמל האינסוף הוא אמצעי מצויין להירגע:

http://youtu.be/cn7559OzYEs
מגדלי האנוי
מהם מגדלי האנוי?



מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.

החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".

אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..


ישנם כללים להעברה:

א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.

ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.


הנה סרטון שמראה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:

http://youtu.be/BMkOBNZHcIs


מספר ראשוני
מהם המספרים הראשוניים?



מספר ראשוני (Prime number) הוא מספר טבעי, כלומר מספר שלם וחיובי, שמתחלק לרק בעצמו וב-1 ללא שארית. במילים אחרות, מספר ראשוני לא יכול להיות לעולם מכפלה של שני מספרים טבעיים שקטנים ממנו.

למעשה, המספרים הראשוניים הם אבני הבניין של כל המספרים, כי ממספרים ראשוניים ניתן להרכיב, על ידי פעולת כפל, כל מספר טבעי בעולם.

למספר ראשוני יש רק שני מחלקים, כלומר שכשהוא מתחלק בהם התוצאה היא מספר שלם: או המספר עצמו או 1.

המספרים הראשוניים הראשונים הם: 2, 3, 5, 7 וכן הלאה. מספרים טבעיים שאינם ראשוניים נקראים מספרים פריקים.

המספר 1 עצמו אינו ראשוני וגם לא פריק. המספר 2 הוא המספר הזוגי הראשוני היחיד שקיים. כל המספרים הזוגיים האחרים מתחלקים ב-2 ולכן הם מספרים פריקים.

הנה רשימה של 100 המספרים הראשוניים הראשונים:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541


הנה עולם המספרים הראשוניים:

http://youtu.be/9pgA-H77BLc


כך מגלים את כל המספרים הראשוניים עד מספר מסוים:

http://youtu.be/V08g_lkKj6Q


כך אפשר ללמוד את זה:

http://youtu.be/Alm6SRglB5k?t=45s


הנה ההוכחה של אוקלידס היווני שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים:

http://youtu.be/FDFcqaYe3F0


דיון על האינסופיות של המספרים הראשוניים:

http://youtu.be/ctC33JAV4FI
מהו אלגוריתם?



אם התפלאתם כיצד יודעים שירותים כמו ספוטיפיי או אפל מיוזיק להציע לכם שירים ואמנים שאינכם מכירים ולקלוע לטעם שלכם, או שנדהמתם מהסדרות והסרטים שנטפליקס מציע לכם לצפות בהם ומכמה שהם מתאימים לטעמכם, הרי שאתם מתפעלים מאלגוריתמים. אם אתם נדהמים מזה שאתם מוקפים בפייסבוק באנשים שחושבים כמוכם, או הפוך, ממש בדיוק הפוך מכם - אלה אלגוריתמים. זה העידן של האלגוריתמים, התוכנות שמנהלות לימוד מתמיד של הטעם שלכם, הדיעות שלכם, ההתנהגות, החיפושים בגוגל ומה לא - הכל כדי לשרת אתכם היטב. טוב, לגבי החלק האחרון לא בטוח שהוא מדויק... אולי נכון יותר לומר ש הכל כדי לשרת את הרווחים של התאגידים הללו ואת המשקיעים ובעלי המניות שלהם.

אבל רגע, מה הם אלגוריתמים בכלל?

אלגוריתם (Algorithm) הוא דרך שכוללת צעדים מדויקים לביצוע של משימה או לפתרון בעיה. אלגוריתם יהיה מוצג תמיד במספר סופי של צעדים לפתרון של בעיה. הוא תמיד יפתור אותה ובעיקר - הוא יחסוך את הצורך לפתור כל פעם בעיה מחדש. הוא פתרון כולל לבעיה שאותה הוא פותר.

רובנו מכירים מחיי היום-יום אלגוריתמים פשוטים כמו מתכונים למטבח (כן אדוני השף, מתכון הוא אלגוריתם פשוט וקלאסי שכולנו משתמשים בו, אפילו כדי להכין חביתה). גם הוראות לביצוע פעולות שונות או DIY מספרי "עשה זאת בעצמך" הם אלגוריתמים.

ועדיין, לרוב משתמשים במונח "אלגוריתם" כדי לכנות פתרון מתמטי או דרך לביצוע של משימה בעולם המחשבים ומערכות דיגיטליות מתקדמות. כמו התאמה לפי טעם אישי, מכירה מקוונת של מוצרים שאמזון מעריכה שסביר שתרצו לקנות, להציע לך שירים שכנראה יגרמו הנאה, או סרטים וסדרות כאלה, או חברים ופוסטים בפייסבוק שיגרמו לך להגיב ולהיות מעורב בדיון ועוד.

אז כן. האלגוריתם הוא רכיב תוכנה שנועד לייצר פעולה מסוימת וכשהוא מדויק לכיוון של ללמוד אותנו, המשתמשים בתוכנה, באתר, אפליקציה או שירות כלשהו, אז הוא כבר הופך למכונה לומדת - משהו שמתעקש ללמוד עלינו דברים שאפילו אנחנו לא יודעים על עצמנו. זה הכוח של הכלי הזה ואת הכוח הזה הוא מעביר לבעליו. כך יכולים התאגידים החזקים בעולם להתאים לנו פרסומות מטורגטות, שישמשו אותנו ולכן יכניסו להם סכומי כסף אדירים. כך הם יכולים לסחור בידע שהאלגוריתמים הללו הקנו להם עלינו, כדי להרוויח הרבה יותר משאי-פעם הרוויחו חברות תוכנה או שירותי אינטרנט.

אגב, ודאי יפתיע אתכם שהמילה הכל כך טרנדית ואופנתית הזו, "אלגוריתם", מקורה הוא משיבוש שמו של מוחמד אבן מוסא "אל-ח'ואריזמי", שהיה מתמטיקאי פרסי מהמאה ה-9.


הנה סרטון שמסביר בצורה פשוטה יחסית מהו אלגוריתם:

http://youtu.be/6hfOvs8pY1k


האלגוריתם הוא המלך בעולם המחשבים ולכן התכנות חייב להתחיל ממנו:

https://youtu.be/MRPpYX8SOA8



אלגוריתמים לפתרון הקוביה ההונגרית:

http://youtu.be/RQo8WoHQIz8


בחיוך מסוים - מסתבר שיש אלגוריתם אפילו לתרמילאים שרוצים לשרוד:

https://youtu.be/PQKOpvypN2Y


ותכנית חינוכית על אלגוריתמים:

https://youtu.be/nMJ8R9K9EQw?long=yes
מי המציא את האלגוריתם?
מיהו ממציא האלגוריתם?


כל מי שהתחבר היום לאינטרנט ודאי יתעניין לדעת שחוקר ערבי מהמאה ה-9 הוא שהמציא את אחד הכלים החשובים בעידן המחשבים המודרניים של המאה ה-21. קראו לו מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי (Muammad ibn Ms al-Khwrizm) והוא היה אחד מגדולי החוקרים במדע המוקדם. אמנם שפת אימו הייתה פרסית אך עבודתו המדעית נכתבה בערבית, שפת המדע בתקופתו. ספריו המתורגמים ללטינית היו מהמשפיעים והחשובים במדע האירופי וספר האלגברה שכתב היה מספרי הלימוד והמחקר החשובים באוניברסיטאות אירופה עד המאה ה-16.

המתמטיקאי, אסטרונום והגיאוגרף אל-חואריזמי נולד בשנת 780 בערך בעיר חיווה שבאוזבקיסטן של היום. משם עברה משפחתו להתגורר באזור בגדאד, שם פעל אל-ח'ואריזמי כל חייו ופרסם את רוב כתביו.

שיבוש שמו של אל-ח'ואריזמי בתרגום ללטינית הפך לאחד המושגים החשובים בתחום המחשבים המודרני - מושג האלגוריתם. הוא גם זה שפיתח את תורת האלגברה, עוד מילה שנולדה משיבוש שמו של ספרו "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה" ("חשבון ההשלמה וההקבלה"). אל-ח'ואריזמי הוא שהפיץ את השימוש בספרה אפס ותרם בכך תרומה עצומה לשימוש בספרות המוכרות לנו כספרות החשבון, אלו הספרות ההודיות-ערביות שהחליפו את הספרות הרומיות.

כגיאוגרף פעיל הוא שכלל את מחקריו של תלמי היווני ויצר את מפת העולם הראשונה, בעזרת 70 גאוגרפים שעבדו תחתיו.

כאסטרונום חקר אל חואריזמי את האצטרולב ושעון השמש. לאות כבוד קראו על שמו את מכתש "אל-ח'ואריזמי" שעל הירח.


הנה סיפורו של ממציא האלגוריתם:

https://youtu.be/Ar7CNsJUm58
כמה מנגינות אפשר להמציא בכלל?



מספר המנגינות האפשריות הוא עצום, אבל ראשית כדאי שנקבע מה האורך שאנו רוצים לבדוק. אם מנגינה היא בת 8 צלילים, הרי שניתן לחבר כמעט 80 מיליארד מנגינות כאלה, מבלי לחזור על עצמן. אם תרצו לדעת את המספר המדויק של המנגינות האפשריות באורך כזה, במרווחים של 12 חצאי טונים בסולם, מדובר ב-78,364,164,096 אפשרויות בדיוק.

אז האם אין כמעט סיכוי שמנגינות יהיו כל כך דומות לאחרות? - אז זהו, שלא פעם זה קורה ואנחנו שמים לב ששירים מזכירים שירים אחרים שאנו מכירים.

התשובה היא תבניות. על אף שלכאורה יש לנו ביליוני אפשרויות של מנגינות שניתן לחבר, אנחנו נוטים לחבר מנגינות דומות ומוסיקה דומה לזו שכבר יש ושממנה אנו נהנים. אנחנו נוטים להשתמש בתבניות מוכרות לנו, כי אלה תבניות שאנו מתחברים אליהן תרבותית, מוסיקלית, מראש. הרי אם נכתוב שיר רוק, הרי שככל הנראה אנו חובבי רוק ומכירים שירי רוק, כך שמראש השיר יהיה בסגנון ועם מאגר ההשפעות "הרוקיות" ששמענו בעבר. לפעמים עלולות להיות בדמיון הזה אפילו היבטים משפטיים, של הפרת זכויות יוצרים.

כמובן שיש אנשים שנוטים יותר אל המוכר, גם אם לא במודע, ויש מקוריים יותר, פורצי דרך, אנשים שגם כשהם פועלים בסגנון מסוגלים להמציא לחנים מעניינים ומקוריים יותר. אבל זה כבר הבדל בין אנשים, יכולתם הקוגניטיבית והיצירתית ולא מתמטיקה. כי כמו "חוק העדר" שמושך את מרבית האנשים, מבלי שהם שמים לב לכך, להיצמד לאנשים, למשל על חוף ים ענקי וריק, ולא ללכת לשבת רחוק מכולם, כך גם כאן - מרבית המלחינים לא באמת יתרחקו מ"המוכר והטוב", מבחינתם.


הנה סרטון ארוך שמסביר את העניין בצורה מעניינת ורחבה אף יותר:

https://youtu.be/DAcjV60RnRw?long=yes


שימו לב לתבנית הרמונית בת 4 אקורדים, שמשמשת שוב ושוב לכתיבה של אינספור להיטי ענק:

https://youtu.be/oOlDewpCfZQ
איך ליצור רצועת מביוס לבד?
מהו הניסוי המתמטי במשטח נייר עם צד אחד בלבד?
האם אפשר ליצור משטח נייר עם צד אחד בלבד?


הנה ניסוי מדהים שמראה איך המתמטיקה היא דבר שאפשר להרגיש בידיים וכמה שהיא מופלאה. כל מה שצריך הוא פיסת נייר ארוכה ונייר דבק.


הנה סרטון עם הניסוי ליצירת רצועת מביוס לבד:

http://youtu.be/EaG4_EgIZPE
מי היה פייר דה פרמה?



פייר דה פרמה היה כנראה גדול חובבי המתמטיקה. הוא היה בכלל עורך דין ובמתמטיקה הוא עסק בתור תחביב. פרמה התפרסם בזכות עבודתו בתורת המספרים. בעיקר זכור "משפט פרמה" שטוען כי למשוואה מסוימת אין פתרונות שלמים שאינם אפס עבור המשתנים שלה. מתמטיקאים רבים ניסו במהלך השנים להוכיח את המשפט ורק בשנת 1994 הוא הוכח סופית.

פרמה ובלז פסקל הם שהניחו את היסודות לתורת ההסתברות. פרמה גם הניח עקרון בסיסי באופטיקה גיאומטרית, שקובע שהאור בוחר במסלול המהיר ביותר.



הנה סרטון על פרמה:

http://youtu.be/Ij01HGgxnkA




הנה תיאור ויזואלי למשפט האחרון של פרמה:

http://youtu.be/xG63O03lWZI
מי המתמטיקאי שהראה את חוסר השלמות של המתמטיקה?



הלוגיקן והמתמטיקאי יליד אוסטריה, קורט גדל, היה גאון ומגדולי הלוגיקאים. רבים רואים בו את גדול הלוגיקאים מאז אריסטו. התגלית הגדולה בקריירה שלו הייתה צמד "משפטי אי השלמות של גדל". בתפיסה כמעט רוחנית, הוא הצליח לחשוף בעיה שאין לה פתרון בהשלטת שיטה בחשיבה המתימטית. גדל ראה בכך הוכחה לקיומה של אמת נצחית, שבן האנוש יכול לתפוס רק את הקצה שלה, מבלי יכולת להכילה.

גדל היה גם חבר קרוב ביותר של אלברט איינשטיין בסוף חייו. על אף גאונותו, הוא נחשב תמהוני וסבל מפראנויה. זוהי מחלת נפש שגם תביא למותו, כתוצאה מתת-תזונה שנבעה מחשש שמנסים להרעילו ושהביאה לכך שהפסיק לאכול לחלוטין.


הנה סרטון קצר על תיאוריית חוסר השלמות של גדל:

http://youtu.be/xjT6x8yZvpY


והנה סרטון על קורט גדל, מי שכונה הלוגיקן הגדול ביותר מאז אריסטו:

http://youtu.be/B2DY8WvSOLU?t=21s
מהו פאי?



הפאי הוא מספר אי רציונאלי, מציין את היחס בין היקף מעגל לקוטרו. זהו מספר מסתורי, שמתמטיקאים וחובבי מתמטיקה מוקסמים ממנו כבר דורות רבים. ערכו של פאי שווה בקירוב ל 3.14.

הפאי מסומן באות היוונית π. הבבלים, ממציאי הגלגל, גילו אותו כבר לפני ששת אלפים שנה. התגלית של התופעה המרתקת של פאי, הייתה שבכל גודל מעגל שהוא, תוצאת החילוק של היקף המעגל ברדיוס שלו תהיה תמיד אותו המספר. 4000 שנה אחריהם, הצליחו מדעני מצרים העתיקה להגיע לערך מקורב של פאי. ארכימדס היווני הציג לראשונה, כבר במאה ה-3 לפני הספירה, שיטה שמאפשרת לאמוד את π.

הראשון שהצליח לחשב את פיי בדיוק גבוה היה אויילר. פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי סייע לו מאד והוא חישב את פאי עד 153 ספרות אחרי הנקודה. כמו הרבה דברים שאויילר תרם למתמטיקה, הוא גם זה שהעניק לפיי את שמו.

כיום, בעידן המחשב, המתמטיקאים עובדים על אלגוריתמים ונוסחאות אלגנטיות לחישוב פאי. השיא שנקבע עד 2011 הוא של 10 טריליון ספרות אחרי הנקודה!


הנה סרטון על משמעותו של הפיי:

http://youtu.be/9a5vHXsUvUw?t=13s


והנה שיר לימודי באנגלית, להיכרות עם חישוב פאי:

http://youtu.be/eiHWHT_8WrE
איך ארטוסתנס גילה את קוטר כדור הארץ? ואת המספרים הראשוניים?



המתמטיקאי, הגאוגרף והאסטרונום היווני ארטוסתנס (Eratosthenes), שחי במאה השלישית לפני הספירה, חי את רוב חייו באלכסנדריה שבמצרים. שם הוא היה הספרן הראשי ומי שניהל את הספרייה הגדולה של אלכסנדריה.

בין השגיו המדעיים נחשבת השיטה למציאת כל המספרים הראשוניים. לשם כך הוא פיתח את "הנפה של ארטוסתנס" - אלגוריתם פשוט ויעיל למציאת כל המספרים הראשוניים עד למספר שלם מסוים.

אבל ארטוסתנס נודע במיוחד בהישגו החשוב ביותר - מדידת ההיקף של כדור הארץ. הוא הצליח לדייק בסטיה של 15% בלבד מההיקף האמיתי של כדור הארץ. זוהי רמת דיוק מצוינת לתקופתו. בחישובים שלו התעלה ארטוסתנס במשך מאות שנים על חוקרים שכשלו בכך. שיטתו נחשבת למדויקת אף מזו של תלמי, האסטרונום החשוב ביותר בעת העתיקה, ש-500 שנה אחריו, חישב את היקף כדור-הארץ באופן שגוי.


סרטון מתורגם שמספר כיצד גילה ארתוסטנס את קוטר כדור הארץ:

http://youtu.be/F8UFGu2M2gM?t=1m25s


סיפורו באנגלית מוצג באלכסנדריה על ידי קרל סאגן האגדי:

https://youtu.be/3EspZtA7C3o


והנה מדע הגיאודזיה שנולד מתגליתו של ארטוסתנס (מתורגם):

http://youtu.be/wKzhaTFmS5w


מי פתר את חידת גשרי קניגסברג?



המתמטיקאי החשוב ביותר של המאה ה-18 היה לאונרד אוֹילֶר השווייצרי, שאת רוב חייו בילה ברוסיה ובגרמניה. עם 886 ספרים ומאמרים שפרסם בחייו, חלק גדול מהם בשנים שבהן סבל מעיוורון, הוא נחשב מהפוריים שבמתמטיקאים.

אוילר תרם תרומה מכרעת לתחומים רבים ומגוונים במתמטיקה. הוא גם היה זה שהכניס לשימוש סימנים מתמטיים רבים שמקובלים כיום, כמו למשל, בקביעת האות היוונית פיי לסימון היחס בין הקף של מעגל לקוטר שלו. אוילר הוא גם המייסד של תורת הגרפים, שחשיבותה בחייו לא נראתה אולי גדולה מדי, אך בעידן המודרני יש לגרפים חשיבות רבה וכמעט אי-אפשר לראות התנהלות מדעית, הנדסית וכלכלית ללא הגרפים שמציגים רעיונות ותהליכים כל כך טוב.

חידת גשרי קניגסברג היא חידה שבה יש מערכת גשרים (בעיר אמיתית, אגב) שבה רצה אוילר למצוא מסלול שעובר בכל הגשרים ופעם אחת בלבד בכל גשר.


הנה סרטון שמציג את בעיית גשרי קניגסברג:

https://youtu.be/nZwSo4vfw6c


הנה קביעתו החכמה של אוילר לגבי פתרונה:

http://youtu.be/-LqxT1SMgR0?t=3m13s


הנה ייצוג של בעיית הגשרים של קניגסברג בסרטון:

http://youtu.be/2qBZ1-9VuLA


הנה סרטון קצר על לאונרד אוילר:

http://youtu.be/Ty6ejK1rAkg
מה זה ממוצע? ומהו חציון? ומה זה שכיח?



ממוצע, חציון ושכיח הם מספרים שמחושבים מתוך קבוצת מספרים:

הממוצע מתאר את "מרכז" קבוצת המספרים מבחינת גודלם. הוא המספר הדמיוני שכולם היו, אם הם היו שווים בגודלם.

החציון הוא המספר האמצעי בגודלו מבין קבוצת מספרים, כשהיא מסודרת לפי הסדר.

השכיח הוא המספר שניתן למצוא הכי הרבה בקבוצת מספרים.

אפילו שנראה אולי שמדובר בסתם עניינים של חישוב, ההבדלים בין המושגים הללו חשובים מאד. פעמים רבות מזכירים את הממוצע בהקשרים כלכליים. למשל כשמציינים שהשכר הממוצע במשק עלה. יש בכך נסיון לומר שאנשים מרוויחים שכר גבוה יותר, אבל מספיק שהמנהלים העלו את שכרם כדי "למשוך" את השכר הממוצע למעלה ולתת אשליה של עליה בשכר הכללי. מבט בחציון ייתן תמונה מדויקת יותר, כי שכרו של האדם האמצעי בין המשתכרים לא משתנה ומשקף טוב יותר את מצב השכר הכללי.


הנה סרטון עם "שיר הממוצע" שמסביר מהו הממוצע (Mean) והחציון (Median), שכיח (mode):

http://youtu.be/QH2obAPwfqk


הנה עוד שיר שמלמד את המושגים הללו:

http://youtu.be/uydzT_WiRz4


הנה סרטון שמסביר את ההבדלים ביניהם מתמטית:

http://youtu.be/onSebaCChTg


הנה סרטון שמסביר כמה הממוצע הוא דבר מטעה וכמה כדאי להכיר את החציון למשל:

http://youtu.be/cKHAfiqHwZc
מהו האינסוף ומי גילה אותו?



אינסוף הוא מספר שהוא כה גדול, עד שאין אפשרות למדוד אותו. הוא מסומן בסימן המזכיר את הספרה 8 שוכבת.

בחלל אנו אומרים שהמרחק אל קצה היקום הוא אינסופי, לא בגלל שאנו יודעים שאין ליקום סוף, אלא מפני שלא נראה שאי-פעם נוכל למדוד אותו.

במתמטיקה יכול האינסוף (Infinity) להיות גם גודל של קבוצה שאינה סופית, שאין לה סוף, כמו למשל מספר הספרות שאחרי הנקודה במספר פיי, שמתחיל ב-3.14159 ונמשך עוד ועוד, ברצף של מספרים ללא סוף...

האינסוף המתמטי יכול גם לתאר משהו שמשמעותו היא "כמה שנרצה", כרצוננו.


הנה דיון על היקום ה"אינסופי":

https://youtu.be/dG1JpC5jels


כמה גדול הוא האינסוף (מתורגם)?

https://youtu.be/UPA3bwVVzGI


הנה הסבר באנגלית על האינסוף:

https://youtu.be/45pTq0ADz6o


הסבר מתקדם על האינסוף במתמטיקה:

https://youtu.be/JJvv2HbXAd0


הרצאה ממש מלומדת על האינסוף:

https://youtu.be/bOC07fLNEhk


ודיון מעט ארוך על האינסוף ומה שאחריו:

https://youtu.be/SrU9YDoXE88?long=yes
מהו פרדוקס קו החוף?



האם ניסיתם פעם למדוד אורכו של משהו? - זה לא אמור להיות קשה, נכון?

אבל חופים הם לפעמים בעיה של ממש למודדים.. וזה לא רק לפעמים - חופים הם בעיקרון בעיה למודדים! - הם מדגימים היטב את הרעיון שהמימד הוא לא מוחלט אלא תלוי בסקלה שבה אנו מסתכלים או מודדים.

למה אנו מכוונים?

כשאנו מודדים את אורכו של קו חוף, נגלה תופעה מאד מוזרה - ככל נתקרב לקו החוף, יילך אורכו ויגדל. פרדוקס קו החוף הוא ההבחנה המדעית שאין לנו יכולת למדוד באמת את אורכו של קו חוף. כי ככל שהסרגל שלנו יהיה קטן יותר, ניאלץ נמדוד את החוף מקרוב יותר, הפיתולים שלו יימדדו ויאריכו את האורך הנמדד של קו החוף.

במילים אחרות - קו החוף יילך ויגדל, ככל שנמדוד אותו ביחידות קטנות יותר. למה זה קורה? - כי סרגל הוא ישר ולא ניתן להשתמש בו כדי למדוד פיתולים הקטנים יותר מאורכו. לפיכך, ככל שהסרגל הוא קטן יותר, נוכל למדוד אתו בתוך הפיתולים ואורכו הסופי של החוף יגדל משמעותית.

כמובן שפרדוקס קו החוף לא מדבר רק על חופים, אלא על כל דבר שאינו ישר. נוכל לראות תופעה דומה גם במדידה של אורך העיגול, של פני השטח של אלמוג, של מידות המוח וכדומה.

פרדוקס קו החוף הוא אחת הדוגמאות שהציג במחקריו המתמטיקאי בנואה מנדלברוט. הוא הדגים בעזרתו כיצד יכול השימוש בפרקטלים, אותם יצורים מתמטיים של דמיון עצמי, שמכילים את עצמם, לסייע בתיאור תופעות טבע, במקרה הזה את מבנה קו החוף. קראו עליהם באאוריקה בתגית "פרקטלים".


הנה סרטון שמנסה להסביר את פרדוקס קו החוף:

https://youtu.be/kFjq8PX6F7I


כך הבעיה מוצגת במדידת אורכם של חופי אוסטרליה:

http://youtu.be/I_rw-AJqpCM
מהם פרקטלים?
מהו המספר גוגול?
מה תרם למדע טיכו ברהה?
מהי השיטה הבינארית?
מהו משולש סירפינסקי?


אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

העולם הוא צבעוני ומופלא, אאוריקה כאן בשביל שתגלו אותו...

אלפי נושאים, תמונות וסרטונים, מפתיעים, מסקרנים וממוקדים.

ניתן לנווט בין הפריטים במגע, בעכבר, בגלגלת, או במקשי המקלדת

בואו לגלות, לחקור, ולקבל השראה!

אֵאוּרִיקַה - האנציקלופדיה של הסקרנות!

שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.